概率與統(tǒng)計(jì)高考大題專(zhuān)項(xiàng)練-2022屆高考數(shù)學(xué)(理科)一輪復(fù)習(xí)

高考大題專(zhuān)項(xiàng)(六)概率與統(tǒng)計(jì)1.(2020北京,18)某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng),分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案:方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持,對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,獲得數(shù)據(jù)如下表:方案男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;(2)從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為p0,假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生,除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p1,試比較p0與p1的大小.(結(jié)論不要求證明)2.(2020全國(guó)3,理18)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):空氣質(zhì)量等級(jí)鍛煉人次[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?空氣質(zhì)量情況人次≤400人次>400好不好附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.3.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP是由中宣部主管,以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端+手機(jī)客戶(hù)端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺(tái),2019年1月1日上線(xiàn)后便成為黨員干部群眾學(xué)習(xí)的“新助手”.為了調(diào)研某地黨員在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP的學(xué)習(xí)情況,研究人員隨機(jī)抽取了200名該地黨員進(jìn)行調(diào)查,將他們某兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP上所得的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如表所示:分?jǐn)?shù)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)頻數(shù)601002020頻率0.30.50.10.1(1)由頻率分布表可以認(rèn)為,這200名黨員這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP上的得分Z近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為這200名黨員得分的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),σ2近似為這200名黨員得分的方差,求P(57.4<Z≤83.8);(2)以頻率估計(jì)概率,若從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取4人,記抽得這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP上的得分不低于80分的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):5≈2.2,6≈2.4,7≈2.6,若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.4.微信運(yùn)動(dòng)是由騰訊開(kāi)發(fā)的一個(gè)類(lèi)似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾賬號(hào),很多手機(jī)用戶(hù)加入微信運(yùn)動(dòng)后,為了讓自己的步數(shù)能領(lǐng)先于朋友,運(yùn)動(dòng)的積極性明顯增強(qiáng).微信運(yùn)動(dòng)公眾號(hào)為了解用戶(hù)的一些情況,在微信運(yùn)動(dòng)用戶(hù)中隨機(jī)抽取了100名用戶(hù),統(tǒng)計(jì)了他們某一天的步數(shù),數(shù)據(jù)整理如下:x/萬(wàn)步0≤x≤0.40.4<x≤0.80.8<x≤1.21.2<x≤1.61.6<x≤2.02.0<x≤2.42.4<x≤2.8y/人5205018331(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),在如圖所示的坐標(biāo)平面中作出其頻率分布直方圖,并在縱軸上標(biāo)明各小長(zhǎng)方形的高;(2)若視頻率分布為概率分布,在微信運(yùn)動(dòng)用戶(hù)中隨機(jī)抽取3人,求至少2人步數(shù)多于1.2萬(wàn)步的概率;(3)若視頻率分布為概率分布,在微信運(yùn)動(dòng)用戶(hù)中隨機(jī)抽取2人,其中每日走路不超過(guò)0.8萬(wàn)步的有X人,超過(guò)1.2萬(wàn)步的有Y人,設(shè)ξ=|X-Y|,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.5.某市舉辦了一次“詩(shī)詞大賽”,分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié),已知共有20000名學(xué)生參加了預(yù)賽,現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本,得到如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).得分(百分制)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人數(shù)1020302515(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良,若從樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人,求恰有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率.(2)由樣本數(shù)據(jù)分析可知,該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替),且σ2=361.利用該正態(tài)分布,估計(jì)該市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績(jī)高于72分的人數(shù).(3)預(yù)賽成績(jī)不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽,復(fù)賽規(guī)則如下:①參加復(fù)賽的學(xué)生的初始分都設(shè)置為100分;②參加復(fù)賽的學(xué)生可在答題前自己決定答題數(shù)量n,每一題都需要“花”掉一定分?jǐn)?shù)來(lái)獲取答題資格(即用分?jǐn)?shù)來(lái)買(mǎi)答題資格),規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.2k(k=1,2,…,n);③每答對(duì)一題得2分,答錯(cuò)得0分;④答完n道題后參加復(fù)賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績(jī).已知學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.75,且每道題答對(duì)與否都相互獨(dú)立,則當(dāng)他的答題數(shù)量n為多少時(shí),他的復(fù)賽成績(jī)的期望值最大?參考數(shù)據(jù):若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9973.6.棋盤(pán)上標(biāo)有第0,1,2,…,100站,棋子開(kāi)始位于第0站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲,若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到跳到第99站或第100站時(shí),游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第n站的概率為Pn.(1)當(dāng)游戲開(kāi)始時(shí),若拋擲均勻硬幣3次后,求棋手所走步數(shù)之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)證明:Pn+1-Pn=-12(Pn-Pn-1)(1≤n≤(3)求P99,P100的值.參考答案高考大題專(zhuān)項(xiàng)(六)概率與統(tǒng)計(jì)1.解(1)該校男生支持方案一的概率為200200+400=1(2)3人中恰有2人支持方案一分兩種情況,①僅有兩個(gè)男生支持方案一,②僅有一個(gè)男生支持方案一,一個(gè)女生支持方案一,所以3人中恰有2人支持方案一概率為:1=13(3)p1<p0.2.解(1)由所給數(shù)據(jù),該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如下表:空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為1100(100×20+300×35+500×45)=350(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表:空氣質(zhì)量情況人次≤400人次>400好3337不好228根據(jù)列聯(lián)表得K2=100×(33×由于5.820>3.841,故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).3.解(1)由題意得:μ=65×0.3+75×0.5+85×0.1+95×0.1=75,σ2=(65-75)2×0.3+(75-75)2×0.5+(85-75)2×0.1+(95-75)2×0.1=30+10+40=80,∵σ=80=45≈8.∴P(57.4<Z≤83.8)=P(μ-2σ<Z≤μ+σ)≈0.6827+0.9545(2)從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取1人,抽得的人得分不低于80分的概率為40200=15.由題意得,X的可能取值為0,1,2,3,4,且X~B∴P(X=0)=C4P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4P(X=4)=C4所以X的分布列為X01234P25625696161所以E(X)=4×4.解(1)根據(jù)題意,補(bǔ)充下表,x/萬(wàn)步0≤x≤0.40.4<x≤0.80.8<x≤1.21.2<x≤1.61.6<x≤2.02.0<x≤2.42.4<x≤2.8y/人5205018331頻率0.050.200.500.180.030.030.01頻率0.1250.51.250.450.0750.0750.025根據(jù)表中數(shù)據(jù),作出頻率分布直方圖如下:(2)由題意知,步數(shù)多于1.2萬(wàn)步的頻率為0.25,所以認(rèn)定步數(shù)多于1.2萬(wàn)步的概率為0.25,所以至少有2人多于1.2萬(wàn)步的概率為P=C32×142×34+C33×143=532,綜上所述,至少2人步數(shù)多于1(3)由題知微信好友中任選一人,其每日走路步數(shù)不超過(guò)0.8萬(wàn)步的概率為14,超過(guò)1.2萬(wàn)步的概率為1且當(dāng)X=Y=0或X=Y=1時(shí),ξ=0,P(ξ=0)=12當(dāng)X=1,Y=0或X=0,Y=1時(shí),ξ=1,P(ξ=1)=C21×14×12+C21×14×12=12,當(dāng)X=所以ξ的分布列為ξ012P311E(ξ)=1×12+5.解(1)由題意得樣本中成績(jī)不低于60分的學(xué)生共有40人,其中成績(jī)優(yōu)良的人數(shù)為15人,記“從樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人,恰有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良”為事件A,則P(A)=C(2)由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值為:x=10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,則μ=53,由σ2=361,得σ=19,所以P(Z>72)=P(Z>μ+σ)=12(1-P(μ-σ<Z≤μ+σ))≈0.15865,所以,估計(jì)該市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中,成績(jī)高于72分的人數(shù)為20000×0.15865=即全市參賽學(xué)生中預(yù)賽成績(jī)高于72分的人數(shù)為3173.(3)以隨機(jī)變量ξ表示甲答對(duì)的題數(shù),則ξ~B(n,0.75),且E(ξ)=0.75n,記甲答完n題所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,則X=2ξ,∴E(X)=2E(ξ)=1.5n,依題意為了獲取答n道題的資格,甲需要“花”掉的分?jǐn)?shù)為:0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n),設(shè)甲答完n題后的復(fù)賽成績(jī)的期望值為f(n),則f(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n∈N*,所以當(dāng)n=7時(shí),f(n)取最大值104.9.即當(dāng)他的答題數(shù)量n=7時(shí),他的復(fù)賽成績(jī)的期望值最大.6.(1)解由題意可知,隨機(jī)變量X的可能取值有3,4,5,6.P(X=3)=123=18,P(P(X=5)=C32×123=所以,隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:X3456P1331所以,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×18+4×38+5(2)證明根據(jù)題意,棋子要到第(n+1)站,有兩種情況,由第n站跳1站得到,其概率為12Pn,也可以由第(n-1)站跳2站得到,其概率為12Pn-1,所以,Pn+1=12Pn+12Pn-1.等式兩