極限存在準(zhǔn)則-兩個重要極限公式省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個主要極限第一章（Existencecriterionforlimits&Twoimportantlimits）二、兩個主要極限一、極限存在兩個準(zhǔn)則三、內(nèi)容小結(jié)1/219/16/202311.單調(diào)有界準(zhǔn)則數(shù)列單調(diào)增加單調(diào)降低準(zhǔn)則I單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)上升有上界數(shù)列必有極限單調(diào)下降有下界數(shù)列必有極限說明:(1)在收斂數(shù)列性質(zhì)中曾證實：收斂數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂．(2)利用準(zhǔn)則Ⅰ來判定數(shù)列收斂必須同時滿足數(shù)列單調(diào)和有界這兩個條件．2/219/16/20232(3)準(zhǔn)則Ⅰ只能判定數(shù)列極限存在性，而未給出求極限方法．比如，數(shù)列，即使有界但不單調(diào)；，即使是單調(diào)，但其無界，易知，這兩數(shù)列均發(fā)散．?dāng)?shù)列(4)對于準(zhǔn)則I，函數(shù)極限依據(jù)自變量不一樣改變過程也有類似準(zhǔn)則，只是準(zhǔn)則形式上略有不一樣.比如，準(zhǔn)則I′

設(shè)函數(shù)在點某個左鄰域內(nèi)單調(diào)在左極限必存在．而且有界，則3/219/16/20233作為準(zhǔn)則Ⅰ應(yīng)用，我們討論一個主要極限：首先，證是單調(diào)．＝＝所以，數(shù)列是單調(diào)增加．4/219/16/20234顯然，單調(diào)性證實可證得數(shù)列是單調(diào)增加．設(shè)數(shù)列因為數(shù)列是單調(diào)增加，所以數(shù)列是單調(diào)降低.又其次，證有界．類似于，則則.綜上，依據(jù)極限存在準(zhǔn)則Ⅰ可知，數(shù)列是收斂.5/219/16/20235通慣用字母來表示這個極限，即也能夠證實，當(dāng)取實數(shù)而趨于或時，函數(shù)極限都存在且都等于，即利用變量代換，可得更普通形式6/219/16/20236例1解:例2求解:7/219/16/202372.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則II證:由條件(2),當(dāng)時,當(dāng)時,令則當(dāng)時,有由條件(1)即故8/219/16/20238我們可將準(zhǔn)則II推廣到函數(shù)情形：準(zhǔn)則II′且注意:準(zhǔn)則II和準(zhǔn)則II′統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則..,極限是輕易求與而且與關(guān)鍵是結(jié)構(gòu)出利用夾逼準(zhǔn)則求極限9/219/16/20239例3解：由夾逼準(zhǔn)則得10/219/16/202310解:

利用夾逼準(zhǔn)則.且由思索題：？1211lim222=???è?++++++￥?pppnnnnnnL11/219/16/202311夾逼準(zhǔn)則不但說明了極限存在，而且給出了求極限方法．下面利用它證實另一個主要圓扇形AOB面積證:

當(dāng)即亦即時，顯然有△AOB

面積＜＜△AOD面積故有注極限公式：12/219/16/202312當(dāng)時注13/219/16/202313例4求解:例5求（書本例7）解:令則所以原式注:利用變量代換，可得更普通形式14/219/16/202314例6求（書本例5）解:例7求（補充題）解:15/219/16/202315內(nèi)容小結(jié)1.極限存在兩個準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.2.兩個主要極限或注:代表相同表示式16/219/16/202316課后練習(xí)習(xí)題1-61（2）（4）

2（2）（4）（6）3（3）思索與練習(xí)1.填空題(1～4)17/219/16/202317解：原式=2.求18/219/16/2023183.證實證實：對任一，有，則當(dāng)時，有于是,（1）當(dāng)時，由夾逼準(zhǔn)則得（2）當(dāng)時，一樣有19/219/16/202319故極限存在，4.設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利