高考數(shù)學一輪復習試題第4節(jié) 空間直線、平面的垂直

第4節(jié)空間直線、平面的垂直考試要求從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α1.三個重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.()(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯誤.(2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤.(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯誤.(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的所有直線，則α⊥β，故(4)錯誤.2.(2022·百校大聯(lián)考)若m，n，l為空間三條不同的直線，α，β，γ為空間三個不同的平面，則下列為真命題的是()A.若m⊥l，n⊥l，則m∥nB.若m⊥β，m∥α，則α⊥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β答案B解析A中，m，n可能平行，相交或異面；C中，α與β可能平行或相交；D中，α與β可能平行或相交.故選B.3.(多選)已知兩條不同的直線l，m和不重合的兩個平面α，β，且l⊥β，下面四個命題正確的是()A.若m⊥β，則l∥m B.若α∥β，則l⊥αC.若α⊥β，則l∥α D.若l⊥m，則m∥β答案AB解析對于A，由l⊥β，m⊥β，可得l∥m，故A正確；對于B，若l⊥β，α∥β，可得l⊥α，故B正確；對于C，若l⊥β，α⊥β，則l∥α或l?α，故C錯誤；對于D，若l⊥β，l⊥m，則m∥β或m?β，故D錯誤.4.(2021·浙江卷)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點，則()A.直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1答案A解析連接AD1(圖略)，則易得點M在AD1上，且M為AD1的中點，AD1⊥A1D.因為AB⊥平面AA1D1D，A1D?平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AB∩AD1＝A，AB，AD1?平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又BD1?平面ABD1，顯然A1D與BD1異面，所以A1D與BD1異面且垂直.在△ABD1中，由中位線定理可得MN∥AB，又MN?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.易知直線AB與平面BB1D1D成45°角，所以MN與平面BB1D1D不垂直.所以選項A正確.5.(多選)如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，AE⊥PC，垂足為E，點F是PB上一點，則下列判斷中正確的是()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC答案ABD解析對于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，而BC?底面圓面，則PA⊥BC，又由圓的性質(zhì)可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則BC⊥平面PAC，所以A正確；對于B，由A項可知BC⊥AE，由題意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC?平面PCB，所以AE⊥平面PCB.而EF?平面PCB，所以AE⊥EF，所以B正確；對于C，由B項可知AE⊥平面PCB，因而AC與平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C錯誤；對于D，由B項可知，AE⊥平面PCB，AE?平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正確.6.在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心.答案(1)外(2)垂解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，圖1在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心.(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G.因為PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，圖2所以PC⊥AB.因為PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，所以AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高.同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心.

考點一直線、平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.感悟提升(1)證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性；③面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì).訓練1如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.證明∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB.又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中點，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(2021·全國乙卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，且PB⊥AM.(1)證明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱錐P－ABCD的體積.(1)證明∵PD⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，∴PD⊥AM.∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB，PD?平面PBD，∴AM⊥平面PBD.又AM?平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD.(2)解∵M為BC的中點，∴BM＝eq\f(1,2)AD.由題意可知AB＝DC＝1.∵AM⊥平面PBD，BD?平面PBD，∴AM⊥BD，由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，易得△BAM∽△ADB，所以eq\f(BM,AB)＝eq\f(AB,AD)，即eq\f(\f(1,2)AD,1)＝eq\f(1,AD)，得AD＝eq\r(2)，所以S矩形ABCD＝AD·DC＝eq\r(2)×1＝eq\r(2)，則四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f(1,3)S矩形ABCD·PD＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),3).感悟提升(1)面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化①兩種方法：(i)面面垂直的定義；(ii)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).②一個轉(zhuǎn)化：在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.(2)面面垂直性質(zhì)的應用①兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.②兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線垂直于第三個平面.訓練2如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝∠AA1C＝90°，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)求證：AA1⊥A1B；(2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60°，求點C到平面A1ABB1的距離.(1)證明因為平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.又AA1?平面AA1C1C，所以BC⊥AA1.因為∠AA1C＝90°，所以AA1⊥A1C.又因為BC∩A1C＝C，所以AA1⊥平面A1BC.又A1B?平面A1BC，所以AA1⊥A1B.(2)解由(1)可知A1A⊥平面A1BC，A1A?平面A1ABB1，所以平面A1BC⊥平面A1ABB1，且交線為A1B，所以點C到平面A1ABB1的距離等于△CA1B的A1B邊上的高，設(shè)其為h.在Rt△AA1C中，A1A＝2，∠A1AC＝60°，則A1C＝2eq\r(3).由(1)得BC⊥A1C，所以在Rt△A1CB中，BC＝3，A1B＝eq\r(21)，h＝eq\f(BC·A1C,A1B)＝eq\f(6\r(3),\r(21))＝eq\f(6\r(7),7).故點C到平面A1ABB1的距離為eq\f(6\r(7),7).考點三平行、垂直關(guān)系的綜合應用例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點.求證：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.證明(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC.因為ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以EF∥DG.又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.感悟提升三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.求解時應注意垂直的性質(zhì)及判定的綜合應用.如果有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.訓練3如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F.(1)求證：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平面ABCD.證明(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB?平面PDC，CD?平面PDC，所以AB∥平面PDC.又因為AB?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因為AF⊥EF，(1)中已證AB∥EF，所以AB⊥AF.又AB⊥AD，由點E在棱PC上(異于點C)，所以點F異于點D，所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.幾何法求空間角一、幾何法求線面角求線面角的三個步驟：一作(找)角，二證明，三計算，其中作(找)角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.例1如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點.(1)證明：△PBC是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且當直線PC與平面ABC所成角的正切值為eq\r(2)時，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.(1)證明∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動點.∴BC⊥AC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形.(2)解如圖，過A作AH⊥PC于H，連接BH，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角.∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是直線PC與平面ABC所成的角，∴tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(2)，又PA＝2，∴AC＝eq\r(2)，∴在Rt△PAC中，AH＝eq\f(PA·AC,\r(PA2＋AC2))＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝eq\f(AH,AB)＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)＝eq\f(\r(3),3)，故直線AB與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).二、幾何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△PBC為正三角形，M，N分別為PD，BC的中點，PN⊥AB.(1)求三棱錐P－AMN的體積；(2)求二面角M－AN－D的正切值.解(1)∵PB＝PC，∴PN⊥BC，又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD.∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，M為PD的中點，∴PN＝eq\r(3)，VP－AMN＝VD－AMN＝VM－ADN，∴VP－AMN＝eq\f(1,2)VP－ADN＝eq\f(1,4)VP－ABCD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×4×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).(2)如圖，取DN的中點E，連接ME，∵M，E分別為PD，DN的中點，∴ME∥PN.∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD.過E作EQ⊥AN，連接MQ，又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ，∠MQE即為二面角M－AN－D的平面角，∴tan∠MQE＝eq\f(ME,QE).∵PN＝eq\r(3)，∴ME＝eq\f(\r(3),2).∵AN＝DN＝eq\r(5)，AD＝2，∴QE＝eq\f(1,2)×eq\f(2×2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，∴tan∠MQE＝eq\f(\r(15),4).即該二面角的正切值為eq\f(\r(15),4).1.(2021·北京豐臺區(qū)二模)已知α，β，γ是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是()A.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βB.若a⊥α，b⊥α，則a∥bC.若a∥α，b∥α，則a∥bD.若a∥α，a∥β，則α∥β答案B解析A中，若α⊥γ，β⊥γ，α，β可能相交也可能平行，錯誤；B中，a⊥α，b⊥α，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷a∥b，正確；C中，若a∥α，b∥α，a，b的位置不定，錯誤；D中，若a∥α，a∥β，α，β可能相交也可能平行，錯誤.2.(2022·廣州一模)已知α，β是兩個不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，下列條件中，可以得到l⊥α的是()A.l⊥m，l⊥n，m?α，n?αB.l⊥m，m∥αC.α⊥β，l∥βD.l∥m，m⊥α答案D解析對于A，l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，則l與α相交、平行或l?α，故A錯誤；對于B，l⊥m，m∥α，則l與α相交、平行或l?α，故B錯誤；對于C，α⊥β，l∥β，則l與α相交、平行或l?α，故C錯誤；對于D，l∥m，m⊥α，則l⊥α，故D正確.3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，B1C的中點，則EF與平面ABCD所成角的正切值為()A.2 B.eq\r(2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)答案D解析如圖，取BC的中點O，連接OE，OF，∵F是B1C的中點，∴OF∥B1B，∴FO⊥平面ABCD，∴∠FEO是EF與平面ABCD所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則FO＝1，EO＝eq\r(2)，∴EF與平面ABCD所成的角的正切值為eq\f(\r(2),2).4.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因為AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.5.(多選)(2021·南京二模)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)M為BC的中點，則下列說法不正確的是()A.A1M⊥BDB.A1M∥平面CC1D1DC.A1M⊥AB1D.A1M⊥平面ABC1D1答案ABD解析如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對于A，假設(shè)A1M⊥BD，因為A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD，又A1A∩A1M＝A1，所以BD⊥平面A1AM，所以BD⊥AM.而BD⊥AC，所以AM∥AC，顯然不正確，故A不正確；對于B，假設(shè)A1M∥平面CC1D1D，因為平面A1MCD1∩平面CC1D1D＝CD1，A1M?平面CC1D1D，所以A1M∥CD1.因為A1B∥CD1，所以A1M∥A1B，顯然不正確，故B不正確；對于C，因為MB⊥平面ABB1A1，所以MB⊥AB1.又A1B⊥AB1，A1B∩BM＝B，所以AB1⊥平面A1BM，所以A1M⊥AB1，故C正確；對于D，假設(shè)A1M⊥平面ABC1D1，因為A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以A1M∥A1D，顯然不成立，故D不正確.6.(多選)(2021·廣州調(diào)研)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則()A.A，M，N，B四點共面B.平面ADM⊥平面CDD1C1C.直線BN與B1M所成的角為60°D.BN∥平面ADM答案BC解析如圖所示，對于A中，直線AM，BN是異面直線，故A，M，N，B四點不共面，故A錯誤；對于B中，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正確；對于C中，取CD的中點O，連接BO，ON，則B1M∥BO，所以直線BN與B1M所成的角為∠NBO.易知三角形BON為等邊三角形，所以∠NBO＝60°，故C正確；對于D中，因為BN∥平面AA1D1D，顯然BN與平面ADM不平行，故D錯誤.7.已知平面α，β和直線m，給出以下條件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m?α；(4)α⊥β；(5)α∥β，當條件________成立時，有m∥β；當條件________成立時，有m⊥β(填所選條件的序號)答案(3)(5)(2)(5)解析根據(jù)面面平行的特征可得，若m?α，α∥β，則m∥β；根據(jù)線面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，則m⊥β.8.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2eq\r(3)的正三角形，AA1＝3，AA1⊥AC，D為A1C1的中點，BD＝3eq\r(3)，則二面角A1－AC－B的正切值為________.答案－eq\r(3)解析取AC的中點E，連接ED，EB.∵D為A1C1的中點，△ABC是邊長為2eq\r(3)的正三角形，∴DE＝AA1＝3，BE＝3，DE⊥AC，BE⊥AC，∴∠BED為二面角A1－AC－B的平面角.在△BED中，DE＝3，BE＝3，BD＝3eq\r(3)，∴由余弦定理得cos∠BED＝eq\f(32＋32－（3\r(3)）2,2×3×3)＝－eq\f(1,2)，∴∠BED＝120°，∴tan∠BED＝－eq\r(3).9.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E，要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________.答案eq\f(1,2)解析設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.又eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\f(1,2)×heq\r(22＋（\r(2)）2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),6).由△B1DF的面積相等得eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).10.如圖，平面ABCD⊥平面ABE，且四邊形ABCD為正方形，AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F(xiàn)為AC的中點.(1)求證：AC⊥平面BEF；(2)求直線AD與平面ACE所成的角的正弦值.(1)證明因為AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，由余弦定理得BE＝eq\r(AB2＋AE2－2AB·AE·cos60°)＝eq\r(3)，所以AB2＋BE2＝AE2，所以BE⊥AB.由于平面ABCD⊥平面ABE，且兩個平面相交于AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又因為AC⊥BF，BE∩BF＝B，BE，BF?平面BEF，所以AC⊥平面BEF.(2)解根據(jù)VD－ACE＝VE－ACD，S△ACD＝eq\f(1,2)，AC＝eq\r(2)，EA＝EC＝2，則S△ACE＝eq\f(\r(7),2).因為VD－ACE＝VE－ACD，設(shè)D到平面ACE的距離為h，則eq\f(1,3)·S△ACE·h＝eq\f(1,3)·S△ACD·BE，解得h＝eq\f(\r(21),7).設(shè)直線AD與平面ACE所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(h,AD)＝eq\f(\r(21),7).所以直線AD與平面ACE所成的角的正弦值為eq\f(\r(21),7).11.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為四邊形，△ABD是邊長為2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.(1)求證：PD⊥平面ABCD；(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值為eq\f(\r(6),6)，求PD的長.(1)證明如圖所示，E為BD的中點，連接AE，△ABD是正三角形，則AE⊥BD.∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AE?平面ABCD，故AE⊥平面PBD.∵PD?平面PBD，故AE⊥PD.∵PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB?平面ABCD，故PD⊥平面ABCD.(2)解如圖所示，過點E作EF⊥PB于點F，連接CF.∵BC⊥CD，BC＝CD，E為BD的中點，故EC⊥BD，故EC⊥平面PBD，∴CE⊥PB.又EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF，∴CF⊥PB，故∠EFC為二面角C－PB－D的平面角.∵cos∠EFC＝eq\f(\r(6),6)，故tan∠EFC＝eq\r(5)，又EC＝1，故EF＝eq\f(\r(5),5)，sin∠PBD＝eq\f(EF,EB)＝eq\f(\r(5),5)，tan∠PBD＝eq\f(1,2)，即eq\f(PD,BD)＝eq\f(1,2)，則PD＝1.12.(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是()答案BC解析設(shè)正方體的棱長為2.對于A，如圖(1)所示，連接AC，則MN∥AC，故∠POC(或其補角)為異面直線OP，MN所成的角.在直角三角形OPC中，OC＝eq\r(2)，CP＝1，故tan∠POC＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立，故A錯誤；圖(1)對于B，如圖(2)所示，取MT的中點為Q，連接PQ，OQ，則OQ⊥MN，PQ⊥MN，所以MN⊥平面OPQ，又OP?平面OPQ，故MN⊥OP，故B正確；圖(2)對于C，如圖(3)，連接BD，則BD∥MN，由B的判斷可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正確；圖(3)對于D，如圖(4)，取AD的中點Q，AB的中點K，連接AC，PQ，OQ，PK，OK，則AC∥MN.因為DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO(或其補角)為異面直線PO，MN所成的角.圖(4)因為正方體的棱長為2，故PQ＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，OQ＝eq\r(AO2＋AQ2)＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，PO＝eq\r(PK2＋OK2)＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，QO2<PQ2＋OP2，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D錯誤.13.(多選)(2022·海南模擬)棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，B1C1的中點.下列說法正確的是()A.P點在直線BC1上運動時，三棱錐A－D1PC體積不變B.Q點在直線EF上運動時，直線GQ始終與平面AA1C1C平行C.平面B1BD⊥平面ACD1D.三棱錐D－EFG的體積為eq\f(3,8)答案ABC解析對于A，P在直線BC1上運動時，△AD1P的面積為矩形ABC1D1的面積的一半，C到平面ABC1D1的距離不變，又VA－D1PC＝VC－AD1P，