專題三“正方形中的旋轉(zhuǎn)相似問題”專題探究

2022中考復(fù)習(xí)壓軸題“正方形中的旋轉(zhuǎn)相似問題”專題探究【原題】已知：CN平分正方形ABCD的外角∠DCE，M是BC邊上的一點，MN⊥AM.求證：AM＝MN【一、題中有法】解題總策略：加減、進(jìn)退、分合、動靜。策略口訣：少則加之，多則減之，能進(jìn)則進(jìn)，難進(jìn)則退，分析解構(gòu)，整合組塊，以動破靜，以靜制動。1.加法：少則加之，圖中有部分全等條件，將之添加補(bǔ)全即可得證。法（1）：如下圖，添加AC'=CM，得ΔMCN?ΔAC'M。

法（2）：作NF⊥CE，由∠FCN=45°得CF=NF，由∠B=∠NFM=90°得ΔABM∽ΔMFN，再由之繼續(xù)推導(dǎo)，如下圖。2.動法：以動破靜。法（3）：由條件MN⊥AM，結(jié)論MN=AM，知其所在全等三角形是旋轉(zhuǎn)90度。如下圖所示：我們可以換個旋轉(zhuǎn)中心，將ΔMCN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90度，如下圖，作MC'⊥AC即可證ΔMCN?ΔMC'A。法（4）：再換個旋轉(zhuǎn)中心，將ΔMCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90度，如下圖，可證由ΔMCN?M'CN'再證四邊形AMM'N'是平行四邊形（兩組對邊平行）。法（5）：再換個旋轉(zhuǎn)方向，將ΔMCN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90度，如下圖，可證由ΔMCN?M'CN'再證四邊形AMN'M'是平行四邊形（兩組對邊平行）。法（6）：再用翻變換，如下圖，考慮到延長AC后，CE平分∠NCN'，把△MCN沿ME翻折，可證等腰△AMN'（AM=MN'）。法（7）：與上圖相對應(yīng)，考慮到延長NC，CB平分∠ACA'，把△ABM沿BC翻折，可證等腰△MA'N（MN=MA'），如下圖。法（8）：把ΔABM逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再作M'N∥BC、M'A'∥MN、M'C'∥CN，由∠A'=∠CMN=∠BAM得∠ΔABM∽ΔA'BM'，且有平行四邊形MNM'A'，CNM'C'，CM=A'C'，推導(dǎo)如下。法（9）：若把ΔABM旋轉(zhuǎn)如下圖（注意因為沒有等線，不可以直接旋轉(zhuǎn)，應(yīng)作平行線B'M、B'N），請讀者自行推導(dǎo)。3.進(jìn)法：能進(jìn)則進(jìn)。法（10）：從∠AMN=90°前進(jìn)，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理。4.合法：整合組塊。法（11）：連接AC、AN，出現(xiàn)四點共圓基本模型，由∠AMN=∠ACN=90°，知A、M、C、N四點共圓，易得∠ANM=∠ACB=45°，得AM=MN?！径㈩}中有題】原題還能延伸出其它相關(guān)問題嗎？1.條件置換：把條件作對等變換，如線段上的點運(yùn)動到其延長線上，正方形變?yōu)檎切蔚取＃?）圖形中點M是BC邊上的動點，把M點的運(yùn)動位置變換到BC的延長線上（如下圖），結(jié)論還成立嗎？上面的方法還能應(yīng)用嗎？（2）繼續(xù)把M點的位置變換到B點的左側(cè)時（如下圖），還成立嗎？嘗試發(fā)現(xiàn)，不管是結(jié)論還是作輔助線的方法都完全一樣，證明過程也基本相同。（3）把正方形變成正三角形。已知：CN平分正三角形ABC的外角∠ACE，M是BC邊上的一點，∠AMN=60°.求證：AM＝MN若把正方形變成其它正多邊形同樣成立。2.條件疊加：附加其它條件和問題，使問題信息容量加大，綜合性更強(qiáng)。（4）如下圖，連結(jié)AN交CD于F，連結(jié)MF，還可以得到哪些新的結(jié)論？容易想到∠MAN＝∠MNA＝45°，再看有沒有包含已做過的圖形？MF與BM、DF有什么關(guān)系？請解答：添加條件“正方形邊長為4，DF=1，求BM的長?！?.條件弱化：把條件的特殊性去掉，使之更一般化。（5）猜想：AM=MN是因為正方形的條件使圖中存在全等關(guān)系，那么正方形改為矩形，AM與MN還能保持相等嗎？CN平分∠DCE需要改變嗎？題目原圖實質(zhì)是等腰直角ΔABC進(jìn)行相似變換得ΔAMN，由一轉(zhuǎn)成雙相似模型可推得ΔACN∽ΔABM，因此∠ACN=∠ABM=Rt∠，這是圖形的根本特征，正方形條件只是提供了等腰直角ΔABC，D點擦去也無關(guān)緊要。自然得出：如“正方形”變成“矩形”，“等腰直角ΔABC”中“等腰”的特殊性就沒有了，就會變成把“直角ΔABC”進(jìn)行相似變換，如下圖，題目變?yōu)椋阂阎壕匦蜛BCD中，BC=2AB，M是BC邊上的一點，AM⊥MN，AC⊥CN.求證：MN＝2AM再看證明方法，前面的方法可以再一次使用：作MF∥AC，構(gòu)造相似三角形。還有更簡單的方法：作以AN為直徑的輔助圓。如下圖：（6）把M點的位置擴(kuò)展到直線BC上，仍然成立。題目中D點是多余的，可以把題目精簡為：已知：ΔABC中，∠B=90°，BC=2AB，M是直線BC邊上的一點，AM⊥MN，AC⊥CN.求證：MN＝2AM（7）繼續(xù)一般化：已知：ΔABC中，BC=nAB，M是直線BC邊上的一點，∠B=∠AMN=∠ACN.求證：MN＝nAM【三、題中有理】哲學(xué)思考是對世界的深度認(rèn)識，解決問題的過程中可以體驗并感悟事物變化規(guī)律及其蘊(yùn)含的哲理，培育理性精神和處事智慧。上圖體現(xiàn)了事物的普遍聯(lián)系，由MN⊥AM可知全等三角形的三組對應(yīng)邊都是垂直關(guān)系，整個三角形是旋轉(zhuǎn)90度的關(guān)系。下圖是ΔMCN繞M點旋轉(zhuǎn)90度。下圖是ΔMCN繞C點旋轉(zhuǎn)90度。下圖是ΔMCN沿ME翻折。以上可以體現(xiàn)事物是在運(yùn)動變化過程中產(chǎn)生聯(lián)系的，并且運(yùn)動方式是多種多樣的。下圖可以看成是ΔMCN繞CM的中點旋轉(zhuǎn)180度，也可以看成是ΔABM繞B點旋轉(zhuǎn)90度，體現(xiàn)了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中發(fā)展變化的和諧統(tǒng)一。下圖是構(gòu)造輔助圓，把相關(guān)元素集中到同一圓中，證法簡潔漂亮。圓具有最完美的對稱性，圓中的元素能產(chǎn)生豐富而緊密的聯(lián)系，因此使問題清晰明了易解。下圖把M點運(yùn)動到BC的延長線上，結(jié)論與方法不變。下圖把正方形換成正三角形，結(jié)論與方法不變。