選修45第二節(jié)不等式的證明市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

選修4-5不等式選講第二節(jié)不等式證明明考向提能力1/32

[備考方向要明了]考

什

么1.了解證實(shí)不等式基本方法：比較法、綜正當(dāng)、分析法、反證法、放縮法，并能用它們證實(shí)一些簡(jiǎn)單不等式．2.能利用三個(gè)正數(shù)算術(shù)平均—幾何平均不等式證實(shí)一些簡(jiǎn)單不等式，處理最大(小)值問題；了解基本不等式推廣形式(n個(gè)正數(shù)形式)．3.能夠利用三維柯西不等式證實(shí)一些簡(jiǎn)單不等式，處理最大(小)值問題.2/32怎

么

考從高考內(nèi)容上來看，不等式證實(shí)主要考查比較法與綜正當(dāng)．多考查作差法與基本不等式應(yīng)用，題目難度不大，屬中等題.3/324/32[精析考題][例1]

(·福建高考)設(shè)不等式|2x－1|＜1解集為M.(1)求集合M;(2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b大小．5/32[自主解答]

(1)由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0,故ab＋1＞a＋b.6/32本例條件不變，試比較logm(ab＋1)與logm(a＋b)(m＞0且m≠1)大?。猓骸?＜a＜1,0＜b＜1，∴(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.當(dāng)m＞1時(shí)，y＝logmX在(0，＋∞)上遞增，∴l(xiāng)ogm(ab＋1)＞logm(a＋b)當(dāng)0＜m＜1時(shí)logmX在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴l(xiāng)ogm(ab＋1)＜logm(a＋b)．7/32[巧練模擬]———————(課堂突破保分題，分分必保！)8/329/3210/32[沖關(guān)錦囊]比較法證實(shí)不等式最慣用是作差法，其基本步驟是(1)作差；(2)變形；(3)判斷差符號(hào)；(4)下結(jié)論．其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積形式或平方和形式，再結(jié)合不等式性質(zhì)判斷出差正負(fù).11/32[精析考題][例2]

(·安徽高考)(1)設(shè)x≥1，y≥1，證實(shí)x＋y＋≤＋＋xy；(2)設(shè)1＜a≤b≤c，證實(shí)logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.12/3213/3214/3215/32[巧練模擬]———————(課堂突破保分題，分分必保！)16/3217/324．(·南通二調(diào))設(shè)x，y，z為正數(shù)，求證：2(x3＋y3＋

z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．18/32證實(shí)：因?yàn)閤2＋y2≥2xy≥0，所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，三式相加即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，又因?yàn)閤y(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．19/3220/322．分析法證實(shí)不等式注意事項(xiàng)：用分析法證實(shí)不等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤地作為“逆推”，分析法過程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說，分析法思維是逆向思維，所以在證題時(shí)，應(yīng)正確使用“要證”、“只需證”這么連接“關(guān)鍵詞”.21/322