專題20-立體幾何綜合-2020年高考數(shù)學(xué)母題題源解密(山東、海南專版)(原卷版)

專題20立體幾何綜合【母題題文】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【試題解析】（1）因?yàn)榈酌?，所以．又底面為正方形，所以，因此底面．因?yàn)?，平面，所以平面．由已知得．因此平面．?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，．由（1）可設(shè)，則．設(shè)是平面的法向量，則即可取．所以．設(shè)與平面所成角為，則．因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以與平面所成角的正弦值的最大值為．【命題意圖】高考對本部分內(nèi)容的考查以能力為主，重點(diǎn)考查線面關(guān)系、面面關(guān)系、線面角及二面角的求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，空間想象能力及運(yùn)算求解能力等．【命題方向】高考對該部分內(nèi)容的考查主要有兩種形式：一是利用立體幾何的知識證明線面關(guān)系、面面關(guān)系；二是考查學(xué)生利用空間向量解決立體幾何的能力，考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面的法向量等，難度屬于中等偏上，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握空間向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，把空間立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.【答題模板】運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）寫出向量坐標(biāo)；（4）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．【方法總結(jié)】1.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量判定方法設(shè)直線l的方向向量為a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分別為μ=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，則（1）線面平行：l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2＋b1b2＋c1c2=0；（2）線面垂直：l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2；（3）面面平行：α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3；（4）面面垂直：α⊥β?μ⊥v?μ·v=0?a2a3＋b2b3＋c2c3=0.注意：用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線a∥b，只需證明向量a=λb（λ∈R）即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.2.利用向量求異面直線所成的角把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵，一般地，異面直線AC，BD的夾角β的余弦值為cosβ=.注意：兩條異面直線所成的角α不一定是兩直線的方向向量的夾角β，即cosα=|cosβ|.3.利用向量求直線與平面所成的角（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．注意：直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，即注意函數(shù)名稱的變化．設(shè)直線l的方向向量為a=(a1，b1，c1)，平面α的法向量為μ=(a3，b3，c3)，直線l與平面α的夾角為，則.4.利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．注意：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角．設(shè)平面α，β的法向量分別為μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夾角為θ(0≤θ≤π)，則.5.用向量解決探索性問題的方法（1）確定點(diǎn)在線段上的位置時(shí)，通常利用向量共線來求．（2）確定點(diǎn)在平面內(nèi)的位置時(shí)，充分利用平面向量基本定理表示出有關(guān)向量的坐標(biāo)而不是直接設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題．1．（2020·海南期中）已知在正方體中，，分別為，上的點(diǎn)，且滿足，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．（2020·四川成都·月考）已知三棱錐，平面，且，在中，，，且滿足，則三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．3．（2020·云南昆明一中月考）已知球面上，，三點(diǎn)，如果，且球的體積為，則球心到平面的距離為（）A． B． C． D．4．（2020·浙江省東陽中學(xué)其他）已知長方體的高，則當(dāng)最大時(shí)，二面角的余弦值為（）A． B． C． D．5．（2020·湖南雅禮中學(xué)月考）已知三棱錐中，為中點(diǎn)，平面，，，則下列說法中正確的是（）A．若為的外心，則B．若為等邊三角形，則C．當(dāng)時(shí)，與平面所成角的范圍為D．當(dāng)時(shí)，為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則在三角形內(nèi)的軌跡長度為6．（2020·湖南月考）在正方體中，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（）A．B．平面C．異面直線與所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍7．（2020·福建省福州第一中學(xué)開學(xué)考試）在矩形中，，，沿對角線翻折，形成三棱錐．下列判斷正確的是（）A．“”是“”的充分條件B．“”是“”的必要條件C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為D．三棱錐外接球的表面積不是定值8．（2020·湖南長沙·月考）如圖，已知圓錐底面圓的直徑與側(cè)棱?構(gòu)成邊長為的正三角形，點(diǎn)是底面圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，則、、、四點(diǎn)所在球面的半徑是______.

9．（2020·福建廈門一中月考）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，平面，，，，，則球O的表面積為________；若D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作球O的截面，則截面面積的范圍是________．10．（2020·貴州省思南中學(xué)期中）如圖，在三棱錐中，，，，，．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．11．（2020·湖南長沙一中月考）如圖，四邊形為平行四邊形，，點(diǎn)在上，，且.以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.12．（2020·海南期中）如圖，在多面體中，是邊長為4的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：平面（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角為直二面角？若存在，試指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．13．（2020·江西南昌二中月考）如圖，是邊長為2的正三角形，平面，分別為的中點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，證明：平面；（2）判斷三棱錐的體積是否為定值？14．（2020·四川成都·月考）如圖（1）所示，是中邊上的高線，且，將沿翻折，使得平面平面，如圖（2）.（1）求證：；（2）圖（2）中，是上一點(diǎn)，連接?，當(dāng)與底面所成角的正切值為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.15．（2020·渝中·重慶巴蜀中學(xué)月考）如圖甲，在中，，，，，分別在，上，且滿足，將沿折到位置，得到四棱錐，如圖乙．（1）已知，為，上的動(dòng)點(diǎn)，求證：；（2）在翻折過程中，當(dāng)二面角為60°時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．16．（2020·云南昆明一中月考）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為的正方形，，，.（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求的值；若不存在，請說明理由17．（2020·福建廈門一中月考）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，，分別為，的中點(diǎn)，過的平面與側(cè)面交于.（1）求證：；（2）若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值.18．（2020·廣東月考）如圖，四邊形為直角梯形，，，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，且，如圖，將繞邊翻折形成三棱錐.（1）證明：在三棱錐中，；（2）求三棱錐體積的最大值，并求此時(shí)與面所成角的正弦值.19．（2020·江西二模）如圖所示，底面為菱形的直四棱柱被過三點(diǎn)的平面截去一個(gè)三棱錐(圖一)得幾何體(圖二)，E為的中點(diǎn)．(1)點(diǎn)F為棱上的動(dòng)點(diǎn)，試問平面與平面是否垂直?請說明理由；(2)設(shè)，當(dāng)點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)，求銳二面角的余弦值．20．（2020·湖南郴州·月考）如圖，四棱錐中，是邊長為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點(diǎn)，滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（2020·浙江溫州·月考）如圖，已知三棱錐中，，D為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求與平面所成角的正弦值.22．（2020·湖南長沙·月考）三棱柱中，平面，且，，，為中點(diǎn).（1）求四面體的體積；（2）求平面與所成銳二面角的余弦.23．（2020·湖南月考）如圖，在四棱錐中，.（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.24．（2020·陜西西安·月考）如圖，已知正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）證明：平面平面；（3）若正方體的棱長為2，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)直線與平面所成的角記為，求的最大值.25．（2020·天津紅橋·期中）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD//BC//FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.（I）證明：平面AMD⊥平面CDE；（II）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.26．（2020·徐州市銅山區(qū)大許中學(xué)月考）一副標(biāo)準(zhǔn)的三角板（如圖1）中，ABC為直角，A=60°，DEF為直角，DE=EF，BC=DF，把BC與DF重合，拼成一個(gè)三棱錐（如圖1），設(shè)M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)．

（1）求證：平面ABC平面EMN；（2）若AC=4，二面角E-BC-A為直二面角，求直線EM與平面ABE所成們的正弦值．27．（2020·湖北期中）如圖，是邊長為3的正方形，平面，，，與平面所成角為.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.28．（2020·廣東