保定市高二下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（承智班）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年河北省保定市定州中學(xué)高二(下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷(承智班)一、單項(xiàng)選擇題1．已知四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱都相等，底面是邊長為的正方形,底面中心為O，以PO為直徑的球經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)，則該球的體積為（）A． B． C． D．2．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn),若=，=，=．則下列向量中與相等的向量是（）A．﹣++ B． C． D．﹣﹣+3．設(shè)a=,b=log23，c=(）0.3，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c4．已知復(fù)數(shù)z=1﹣i,則=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i5．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，且滿足2a+3b=6,則+的最小值是（）A． B． C． D．46．已知集合M=｛y｜y=2x，x＞0},N=｛x｜y=lgx}，則M∩N為()A．（0，+∞) B．（1，+∞） C．[2，+∞) D．[1,+∞）7．函數(shù)y=log3(3﹣x）的定義域?yàn)椋ǎ〢．（﹣∞，3］ B．（﹣∞,3） C．（3，+∞） D．［3,+∞）8．已知集合,Q=｛y｜x2+y2=4，x,y∈R}，則P∩Q=（）A．｛﹣2,1｝ B． C．φ D．Q9．在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，則△ABC是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形10．下列所給4個(gè)圖象中，與所給3件事吻合最好的順序?yàn)椋ǎ?）小明離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué)；（2）小明騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；（3）小明出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn),后來為了趕時(shí)間開始加速．A．（4)（1）（2） B．（4）（2）(3） C．（4)（1）（3） D．(1）(2）（4）11．如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是平行四邊形，則該幾何體的表面積為（）A．15+3 B．9 C．30+6 D．1812．在等比數(shù)列｛an｝中，an＞0,a1+a2=1，a3+a4=9，則a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．81二、填空題13．設(shè)函數(shù)f（x）=x2+lnx，若曲線y=f(x）在點(diǎn)(1，f（1)）處的切線方程為y=ax+b，則a+b=．14．從4名男同學(xué)、3名女同學(xué)中選3名同學(xué)組成一個(gè)小組,要求其中男、女同學(xué)都有，則共有種不同的選法．（用數(shù)字作答）15．已知函數(shù)f（x）=在R上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．16．已知α是第二象限的角，tanα=，則cosα=．三、解答題17．已知奇函數(shù)f(x）=．(1）求實(shí)數(shù)m的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出y=f（x）的圖象．（2）若函數(shù)f(x）在區(qū)間［﹣1，｜a|﹣2］上單調(diào)遞增，試確定a的取值范圍．18．為方便市民休閑觀光，市政府計(jì)劃在半徑為200米，圓心角為120°的扇形廣場(chǎng)內(nèi)（如圖所示），沿△ABC邊界修建觀光道路,其中A、B分別在線段CP、CQ上，且A、B兩點(diǎn)間距離為定長米．(1）當(dāng)∠BAC=45°時(shí)，求觀光道BC段的長度；（2）為提高觀光效果，應(yīng)盡量增加觀光道路總長度，試確定圖中A、B兩點(diǎn)的位置,使觀光道路總長度達(dá)到最長？并求出總長度的最大值．19．如圖，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形．側(cè)棱長為5，平面ABCD⊥平面A1ACC1，AB=3，∠BAD=60°，點(diǎn)E是△ABD的重心，且A1E=4．(1）求證:平面A1DC1∥平面AB1C；（2)求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），它與曲線C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B兩點(diǎn)．（1）求|AB|的長；（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離．

2016—2017學(xué)年河北省保定市定州中學(xué)高二（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（承智班)參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題1．已知四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱都相等,底面是邊長為的正方形，底面中心為O，以PO為直徑的球經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn),則該球的體積為()A． B． C． D．【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出以PO為直徑的球的半徑，再計(jì)算球的體積．【解答】解：如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為的正方形，以PO為直徑的球M經(jīng)過側(cè)棱中點(diǎn)N,則球的半徑為MN=OC=AC=×AB=×2=1,所以該球的體積為V=π×13=．故選：C．2．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn),若=，=，=．則下列向量中與相等的向量是(）A．﹣++ B． C． D．﹣﹣+【考點(diǎn)】相等向量與相反向量．【分析】由題意可得=+=+=+［﹣]，化簡得到結(jié)果．【解答】解：由題意可得=+=+=+=+（﹣）=+(﹣）=﹣++，故選A．3．設(shè)a=，b=log23，c=（）0。3，則()A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得a＜0，b＞1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得0＜c＜1，從而可得a、b、c的大小關(guān)系．【解答】解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得a=＜=0，b=log23＞log22=1由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得0＜c=（）0。3＜（)0=1∴a＜c＜b故選B．4．已知復(fù)數(shù)z=1﹣i，則=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】把復(fù)數(shù)z代入化簡,復(fù)數(shù)的分子化簡即可．【解答】解:將z=1﹣i代入得,故選A．5．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，且滿足2a+3b=6，則+的最小值是()A． B． C． D．4【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵實(shí)數(shù)a＞0，b＞0,且滿足2a+3b=6，則+=(2a+3b）=≥=，當(dāng)且僅當(dāng)b=a=．故選：C．6．已知集合M=｛y｜y=2x，x＞0}，N=｛x｜y=lgx｝，則M∩N為（）A．(0，+∞） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．［1，+∞）【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出M中值域確定出M，求出N中x的范圍確定出N,找出M與N的交集即可．【解答】解：由y=2x,x＞0，得到y(tǒng)＞1,即M=（1，+∞)，由N中y=lgx，得到x＞0，即N=(0,+∞)，則M∩N=(1，+∞)，故選：B．7．函數(shù)y=log3（3﹣x）的定義域?yàn)椋ǎ〢．（﹣∞，3] B．（﹣∞,3） C．（3，+∞） D．[3，+∞)【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式,解出即可．【解答】解：由題意得：3﹣x＞0，解得:x＜3，故選:B．8．已知集合，Q={y|x2+y2=4，x，y∈R},則P∩Q=（）A．｛﹣2，1} B． C．φ D．Q【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】先把P、Q兩個(gè)集合化簡到最簡形式，依據(jù)交集的定義求出P∩Q．【解答】解：∵={x|x≥﹣2｝，Q={y｜x2+y2=4，x，y∈R}={y|﹣2≤y≤2},∴P∩Q=｛x｜x≥﹣2}∩{y|﹣2≤y≤2｝={y|﹣2≤y≤2}=Q，故選D．9．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,若2c2=2a2+2b2+ab，則△ABC是(）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷；余弦定理．【分析】已知2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，聯(lián)立解得cosC=﹣．由0＜C＜π，可得．【解答】解：∵2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴可解得cosC=﹣．∵0＜C＜π，∴．故選：D．10．下列所給4個(gè)圖象中，與所給3件事吻合最好的順序?yàn)椋ǎ?）小明離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué);（2)小明騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；（3）小明出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn),后來為了趕時(shí)間開始加速．A．（4)（1）（2) B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4）【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)小明所用時(shí)間和離開家距離的關(guān)系進(jìn)行判斷．根據(jù)回家后，離家的距離又變?yōu)?，可判斷（1）的圖象開始后不久又回歸為0;由途中遇到一次交通堵塞,可判斷中間有一段函數(shù)值沒有發(fā)生變化；由為了趕時(shí)間開始加速,可判斷函數(shù)的圖象上升速度越來越快．【解答】解：（1)離家不久發(fā)現(xiàn)自己作業(yè)本忘記在家里，回到家里，這時(shí)離家的距離為0，故應(yīng)先選圖象(4)；（2)騎著車一路以常速行駛，此時(shí)為遞增的直線，在途中遇到一次交通堵塞,則這段時(shí)間與家的距離必為一定值，故應(yīng)選圖象（1）；（3)最后加速向?qū)W校，其距離隨時(shí)間的變化關(guān)系是越來越快,故應(yīng)選圖象（2）．故答案為:（4）（1）（2），故選：A．11．如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形,側(cè)視圖是平行四邊形，則該幾何體的表面積為()A．15+3 B．9 C．30+6 D．18【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中三視圖可以確定，該幾何體是以側(cè)視圖為底面的直四棱柱,根據(jù)已知三視圖中標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)，求出棱柱的底面積和側(cè)面積，即可得到答案．【解答】解：由已知中三視圖該幾何體為四棱柱，其底面底邊長為2+=3,側(cè)視圖的高為:，故底面積S=2×3=6，又因?yàn)槔庵母邽?，故側(cè)面積為：（2+3+2+3）×3=30．∴幾何體的表面積為：．故選：C．12．在等比數(shù)列{an｝中，an＞0,a1+a2=1，a3+a4=9，則a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．81【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)已知條件求出公比，再對(duì)a4+a5整理，利用整體代換思想即可求解．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q．則由已知得:a1（1+q）=1,①a1q2（1+q）═9②?q2=9．又∵an＞0，∴q=3．所以:a4+a5=a1?q3（1+q)=1×33=27．故選：B．二、填空題13．設(shè)函數(shù)f（x)=x2+lnx，若曲線y=f（x）在點(diǎn)(1，f（1））處的切線方程為y=ax+b，則a+b=1．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】先求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線的斜率，求出切線方程,從而得到a與b的值．【解答】解：∵f（x)=x2+lnx∴f(1）=12+ln1=1即切點(diǎn)為(1，1）而f′（x）=2x+則f′（1)=2+1=3即切線的斜率為3∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1,f（1））處的切線方程為y﹣1=3（x﹣1）即y=3x﹣2即a=3，b=﹣2∴a+b=3﹣2=1故答案為:114．從4名男同學(xué)、3名女同學(xué)中選3名同學(xué)組成一個(gè)小組,要求其中男、女同學(xué)都有，則共有30種不同的選法．（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．【分析】不考慮特殊情況有C73，只選男同學(xué)C43，只選女同學(xué)C33，由對(duì)立事件的選法，可求．【解答】解：不考慮特殊情況有C73,利用對(duì)立事件的選法，故有C73﹣C43﹣C33=30，故答案為30．15．已知函數(shù)f（x）=在R上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[,)．【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】分類討論，分別利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),求得a的范圍,再把這2個(gè)a的范圍取并集，即得所求．【解答】解：若函數(shù)f（x）=在R上是單調(diào)增函數(shù),則，求得a無解．若函數(shù)f(x）=在R上是單調(diào)減函數(shù)，則，求得≤a＜，綜上可得，≤a＜，故答案為:[，）．16．已知α是第二象限的角，tanα=，則cosα=﹣．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合α是第二象限的角，求出cosα的值．【解答】解:α是第二象限的角，tanα=﹣，∴sinα=﹣cosα;∴sin2α+cos2α=+cos2α=cos2α=1，∴cos2α=;又cosα＜0，∴cosα=﹣．故答案為：．三、解答題17．已知奇函數(shù)f（x)=．（1)求實(shí)數(shù)m的值，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫出y=f（x）的圖象．(2)若函數(shù)f（x)在區(qū)間[﹣1，｜a|﹣2]上單調(diào)遞增，試確定a的取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì);函數(shù)的圖象．【分析】（1）由奇函數(shù)的定義,對(duì)應(yīng)相等求出m的值；畫出圖象．(2）根據(jù)函數(shù)的圖象知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，從而得到|a|﹣2的一個(gè)不等式,解不等式就求得a的取值范圍．【解答】解:（1）當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣(x)2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x又f(x）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f(x)=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，∴m=2y=f（x）的圖象如右所示（2）由（1）知f（x）=，由圖象可知，f（x)在［﹣1,1]上單調(diào)遞增，要使f(x)在［﹣1，｜a｜﹣2］上單調(diào)遞增，只需解之得﹣3≤a＜﹣1或1＜a≤318．為方便市民休閑觀光,市政府計(jì)劃在半徑為200米，圓心角為120°的扇形廣場(chǎng)內(nèi)（如圖所示）,沿△ABC邊界修建觀光道路,其中A、B分別在線段CP、CQ上，且A、B兩點(diǎn)間距離為定長米．（1)當(dāng)∠BAC=45°時(shí)，求觀光道BC段的長度;(2）為提高觀光效果，應(yīng)盡量增加觀光道路總長度,試確定圖中A、B兩點(diǎn)的位置,使觀光道路總長度達(dá)到最長？并求出總長度的最大值．【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理即可得解BC的值．（2)設(shè)CA=x,CB=y,x,y∈（0，200］，利用余弦定理可求，結(jié)合基本不等式可求x+y≤120,從而可求觀光道路總長度最長值．【解答】解：（1）在△ABC中，由已知及正弦定理得,即，∴．（2)設(shè)CA=x,CB=y，x，y∈(0，200］，在△ABC中，AB2=AC2+CB2﹣2AC?CB?cos120°，即,∴,故x+y≤120，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=60時(shí),x+y取得最大值，∴當(dāng)A、B兩點(diǎn)各距C點(diǎn)60米處時(shí)，觀光道路總長度達(dá)到最長，最長為．19．如圖，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形．側(cè)棱長為5，平面ABCD⊥平面A1ACC1，AB=3，∠BAD=60°，點(diǎn)E是△ABD的重心，且A1E=4．(1）求證：平面A1DC1∥平面AB1C;（2)求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面平行的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出四邊形A1ACC1是平行四邊形，從而A1C1∥AC．進(jìn)而四邊形ADC1B1是平行四邊形,從而AB1∥DC1，進(jìn)而AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1,由此能證明平面A1DC1∥平面AB1C．（2）設(shè)AC∩BD=O,推導(dǎo)出A1E⊥AC,從而A1E⊥平面ABCD．以E為原點(diǎn)，分別以AC，A1E所在直線為x，z軸，以過點(diǎn)E與BD平行的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．【解答】證明：（1)因?yàn)锳A1平行等于CC1，所以四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以A1C1∥AC．又因?yàn)锳D平行等于B1C1,所以四邊形ADC1B1是平行四邊形，所以AB1∥DC1．因?yàn)锳C,AB1?平面A1DC1，A1C1，DC1?平面A1DC1，所以AC∥平面A1DC1,AB1∥平面A1DC1，又因?yàn)锳C∩AB1=A，AC，AB1?平面AB1C,所以平面A1DC1∥平面AB1C．解：（2）設(shè)AC∩BD=O，由題意可知△ABD是等邊三角形．因?yàn)?，?/p>