江西省南昌市高三三模數(shù)學(xué)（理）試題

NCS20230607項(xiàng)目第三次模擬測(cè)試卷理科數(shù)學(xué)一?選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合,進(jìn)而求得,由,求出即可.【詳解】解:因?yàn)榛?所以,又有,所以.故選:C2.若虛數(shù)z使得是實(shí)數(shù)，則z滿足（）A.實(shí)部是 B.實(shí)部是 C.虛部是 D.虛部是【答案】A【解析】【分析】設(shè)（且），計(jì)算，由其為實(shí)數(shù)求得后可得．【詳解】設(shè)（且），，是實(shí)數(shù)，因此，（舍去），或．故選：A．3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】模擬程序運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)結(jié)構(gòu)中各變量值的變換情況即可得到結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)：，，不滿足；第二次循環(huán)：，，不滿足；第二次循環(huán)：，，滿足，結(jié)束循環(huán)，輸出.故選:B4.平面向量，若，則（）A.6 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求得，再利用平面向量模的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所以，因?故選：B．5.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函數(shù)的正零點(diǎn)，再由在正零點(diǎn)附近函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷出答案．【詳解】根據(jù)題意，，令，可得的正零點(diǎn)依次為，，，當(dāng)時(shí)，，則，排除B，D，當(dāng)時(shí)，，則，排除C，所以只有A項(xiàng)符合，故選：A．6.八一廣場(chǎng)是南昌市的心臟地帶，八一南昌起義紀(jì)念塔是八一廣場(chǎng)的標(biāo)志性建筑，塔座正面鐫刻“八一南昌起義簡(jiǎn)介”碑文，東、西、南三門(mén)各有一副反映武裝起義的人物浮雕，塔身正面為“八一起義紀(jì)念塔”銅胎鎏金大字，塔頂由一支直立的巨型“漢陽(yáng)造”步槍和一面八一軍旗組成．現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在八一廣場(chǎng)上對(duì)八一南昌起義紀(jì)念塔的高度進(jìn)行測(cè)量，并繪制出測(cè)量方案示意圖，A為紀(jì)念塔最頂端，B為紀(jì)念塔的基座（B在A的正下方），在廣場(chǎng)內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取C、D兩點(diǎn)，測(cè)得的長(zhǎng)為m．已知興趣小組利用測(cè)角儀可測(cè)得的角有，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出紀(jì)念塔高度的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)解三角形的條件，逐項(xiàng)判斷可解三角形求出塔高度的選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由可以解，又，可求塔高度，故選項(xiàng)A能計(jì)算出紀(jì)念塔高度；對(duì)于B，在中，由，無(wú)法解三角形，在中，由，無(wú)法解三角形，在中，已知兩角無(wú)法解三角形，所以無(wú)法解出任意三角形，故選項(xiàng)B不能計(jì)算出紀(jì)念塔高度；對(duì)于C，由，，可以解，可求，又，即可求塔高度，故選項(xiàng)C能計(jì)算出紀(jì)念塔高度；對(duì)于D，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由題意知，平面，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面?/p>

平面，所以，則，由，知,，故可知的大小，由，，可解，可求，又，可求塔高度，故選項(xiàng)D能計(jì)算出紀(jì)念塔高度；故選：B.7.“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論?代數(shù)學(xué)?非歐幾何?復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn).我們高中階段也學(xué)習(xí)過(guò)很多高斯的數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法等等.已知某數(shù)列的通項(xiàng)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分離常數(shù)后可得，再利用倒序相加法，即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，，，即.故選：D．8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中.在已知的條件下，則下列選項(xiàng)中可以確定其值的量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即可得，利用已知條件即可確定的值.【詳解】根據(jù)圖象可知，函數(shù)的圖象是由向右平移個(gè)單位得到的；由圖可知，利用整體代換可得，所以，若為已知，則可求得.故選：B9.函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，運(yùn)用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得，當(dāng)時(shí)根據(jù)二次不等式的解法討論的范圍進(jìn)而即得.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，即，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，，所以，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，由，解得，此時(shí)當(dāng)時(shí)恒成立，所以的解集為，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，又，所以，此時(shí)適合題意；綜上，關(guān)于的不等式的解集為，則.故選：C.10.不與x軸重合的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則C的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用可求得離心率.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，即，所以，因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，即，化簡(jiǎn)得，故.故選：C.11.如圖所示，兩個(gè)全等的矩形ABCD與ABEF所在的平面互相垂直，AB＝2，BC＝1，點(diǎn)P為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球體積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】確定球心在平面的投影為中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理得到，確定半徑的最小值，再確定的位置使其滿足條件，計(jì)算體積得到答案.【詳解】為直角三角形，故球心在平面的投影為中點(diǎn).設(shè)球半徑為，，則，當(dāng)，即球心與重合時(shí)，最小為，矩形ABCD與ABEF所在的平面互相垂直，則在平面的投影為中點(diǎn)，需滿足是外心，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為直角三角形，滿足條件..故選：C12.設(shè)函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)滿足：①；②，③，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由①，②解出，，解出；結(jié)合③轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題解出.【詳解】函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)滿足：①；②，即，且，則，則，且，，所以，又因?yàn)棰?，則，令，不防設(shè)，，則轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，在點(diǎn)處取最小值.由解得，代入解得.故選：.二?填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中的系數(shù)是______.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)賦值即可得展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)所以展開(kāi)式中的系數(shù)是.故答案為：.14.兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)用平面切割圓錐可以得到不同的曲線.用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；用平行于圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支.已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形(為圓錐的頂點(diǎn))，過(guò)的中點(diǎn)作截面與圓錐相交得到拋物線，將放置在合適的平面直角坐標(biāo)系中可得到方程，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)所給定義作出圖象，確定拋物線所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，即可求解.【詳解】如圖，取底面圓的圓心為，作于點(diǎn)，因?yàn)?所以根據(jù)線面平行的判定定理可知，過(guò)的中點(diǎn)作截面與圓錐相交得到拋物線過(guò)，且,作出拋物線的圖象如下，則有點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，故答案為:.15.小明每天從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē).他各記錄了次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車(chē)平均用時(shí)分鐘，樣本方差為；騎自行車(chē)平均用時(shí)分鐘，樣本方差為.假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)和騎自行車(chē)用時(shí)都服從正態(tài)分布，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是______.①；②；③若小明計(jì)劃前到校，應(yīng)選擇坐公交車(chē)；④若小明計(jì)劃前到校，應(yīng)選擇騎自行車(chē)【答案】②③④【解析】【分析】首先利用正態(tài)分布，確定和，再結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，和的原則，即可求解.【詳解】對(duì)于①，由條件可知，，根據(jù)對(duì)稱性可知，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，,，所以，故②正確；對(duì)于③，，所以，故③正確；對(duì)于④，，，所以，故④正確.故答案為：②③④16.已知數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)遞推公式將偶數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項(xiàng)，再運(yùn)用遞推公式求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再求和.【詳解】由遞推公式，得，即，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比等比數(shù)列，，，；故答案為：.三.解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.在中，，，為內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，.（1）若，求的面積；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再在中求出，利用正弦定理求出，最后由面積公式計(jì)算可得；（2）在中利用余弦定理求出，令，則，表示出，，再由正弦定理求出，即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：在中，因?yàn)椋?，所?由，可得.又，則.在中，因?yàn)?，，所以，則，解得，從而【小問(wèn)2詳解】解：在中，由，解得或（舍去）.令，則在中.在中，，所以，則，即，得.因?yàn)?，所以，從?18.如圖，四棱錐的底面ABCD為菱形，，為等邊三角形，點(diǎn)Q為棱PB上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：；（2）若平面ABCD，平面AQD與平面CQD的夾角余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）通過(guò)證明平面，即可根據(jù)定義證出；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直平面ABCD所在直線為z軸，建系，根據(jù)平面AQD與平面CQD的夾角公式列方程，化簡(jiǎn)求得.【小問(wèn)1詳解】連接BD交AC于點(diǎn)O，連接．是的中點(diǎn)，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫鍭BCD，平面，所以平面平面，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直平面ABCD所在直線為z軸，建立如圖所示坐標(biāo)系．設(shè)OB＝1．，，，，，設(shè)，則，，則，，，，，設(shè)平面AQD的法向量為，，故可設(shè)，同理可求得平面的法向量為，設(shè)平面AQD與平面CQD的夾角為，，則．即，．19.隨著春季學(xué)期開(kāi)學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）運(yùn)用古典概型求概率即可.（2）根據(jù)已知條件計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的分布列及期望.（3）運(yùn)用條件概率及概率加法公式計(jì)算可證明結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，所以．【小問(wèn)2詳解】由題意知，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為，張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為，張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為，記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳個(gè)數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為X12P所以X的數(shù)學(xué)期望【小問(wèn)3詳解】證明：由題知，所以，所以，所以，即：，所以，即.20.已知函數(shù)（a∈R）．（1）討論的單調(diào)性：（2）證明：對(duì)任意，存在正數(shù)b使得．且2lna+b＜0．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）的單調(diào)性可知，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，令，得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上可知，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，由零點(diǎn)存在性定理知，使得，取，則，且.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，考查推理，論證，運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程思想，化歸于轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想，本題的關(guān)鍵是根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷，21.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l交C丁A．B兩點(diǎn)．當(dāng)l⊥x軸時(shí)，△ABF2的面積為3．（1）求C的方程；（2）是否存在定圓E，使其與以AB為直徑的圓內(nèi)切？若存在，求出所有滿足條件的圓E的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率及△ABF2的面積為3，列出兩個(gè)基本量的方程求解即可；（2）根據(jù)對(duì)稱性可知，圓E的圓心在軸上，利用直線l特殊位置時(shí)求出符合條件的圓E的方程，一般情況下前進(jìn)性驗(yàn)證即可.【小問(wèn)1詳解】已知橢圓C的離心率為，所以；由當(dāng)l⊥x軸時(shí)，△ABF2的面積為3，得，即，又，所以，又，則，橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)l⊥x軸時(shí)，以AB為直徑的圓的圓心為F1，半徑；當(dāng)l為x軸時(shí)，以AB為直徑的圓的圓心為O，半徑；因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)F1，所以以AB為直徑的所有圓關(guān)于軸兩兩對(duì)稱的，根據(jù)對(duì)稱性可知，圓E與以AB為直徑的圓內(nèi)切時(shí)，圓心在E，半徑為R,當(dāng)以AB為直徑圓在圓E內(nèi)部與E相切時(shí)，則，，故，又，所以，，即，，圓E的方程為；當(dāng)以AB為直徑的圓在圓E外部與E相切時(shí)，則，，故，又，所以，，即，，圓E方程為；當(dāng)直線l斜率不為零時(shí)，設(shè)直線l的方程為,，，聯(lián)立，得，則，，所以AB的中點(diǎn)即以AB為直徑的圓的圓心，半徑，當(dāng)圓E的方程為時(shí)，，此時(shí)，所以以AB為直徑的圓與E相切.當(dāng)圓E的方程為時(shí)，，此時(shí)，所以以AB為直徑的圓與E相切.綜上圓E的方程或.【點(diǎn)睛】與圓錐曲線相關(guān)的圓問(wèn)題方法點(diǎn)睛因?yàn)閳A的方程在圓錐曲線的求解過(guò)程中計(jì)算量比較大