專題28坐標與圖形變化之軸對稱（含解析）

第第頁專題28坐標與圖形變化之軸對稱（含解析）專題28坐標與圖形變化之軸對稱

1．已知點A（2，3），點B與點A關于y軸對稱，點C與點A關于x軸對稱．

(1)在所給的平面直角坐標系中作出△ABC．

(2)求線段BC的長．

2．在由邊長為1的小正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系．已知格點△ABC（三角形的三個頂點都在正方形網(wǎng)格的頂點上）如圖，

(1)畫出△ABC關于軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1、B1、C1的坐標；

(2)求△A1B1C1的面積；

(3)在軸上有一個動點P，直接寫出PB＋PC的最小值．

3．如圖，在平面直角坐標系中，，，．

(1)的面積為___________；

(2)在圖中作出關于軸的對稱圖形；

(3)寫出點的坐標：（_____，___），（______，____），（_____，_______）

4．如圖，的頂點分別為，先將以第一象限的角平分線所在直線為對稱軸通過軸對稱得到，再將以x軸為對稱軸通過軸對稱得到．

(1)畫出；

(2)寫出三點的坐標；

(3)一般地，某一點經(jīng)過這樣的兩次軸對稱變換后得到的點的坐標為__________．

5．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點在網(wǎng)格的格點上．

(1)寫出點A，B的坐標：A，B．

(2)在圖中作△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1．

(3)求△ABC的面積．

6．在平面直角坐標系中，已知的位置如圖所示，

(1)請畫出關于軸對稱的（其中點，，分別是點，，的對應點，不寫畫法）；

(2)寫出點，，的坐標．

7．如圖，已知在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為．

（1）畫出．

（2）若與關于x軸對稱，點A，B，C的對應點分別是點D，E，F(xiàn)，畫出，并寫出點D，E，F(xiàn)的坐標．

8．已知在平面直角坐標系中，如圖所示，，，．

(1)作出關于y軸對稱的圖形；

(2)求出的面積；

(3)在邊上找一點D，連接，使得．（請僅用無刻度直尺按要求畫圖）

9．如圖，在直角坐標系中，

（1）請寫出三個頂點的坐標；

（2）在x軸上找一點P，使的值最小，請在圖中表示出點P的位置并寫出點P的坐標．

10．已知：．

（1）在圖中所示的坐標系中描出各點，畫出，并求的面積．

（2）若各頂點的橫坐標不變，縱坐標都乘以，在同一坐標系中描出對應的點，，，并依次連結這三個點得，并寫出與有怎樣的位置關系？

11．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點均在正方形網(wǎng)格的格點上．

（1）畫出關于軸對稱的；

（2）在軸上找到一點，使得最小．

12．按要求作圖并填空：

(1)作出△ABC關于x軸對稱的；

(2)作出過點（-1，0）且平行于y軸的直線l，則點P（a，b）關于直線l的對稱點的坐標為______．

(3)在x軸上畫出點Q，使QA+QC最小．

13．如圖，△ABC的三個頂點在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．

（1）畫出△ABC及關于y軸對稱的△A1B1C1；

（2）寫出點A的對應點A1的坐標是，點B的對應點B1的坐標是，點C的對應點C1的坐標是；

（3）請直接寫出第四象限內以AB為邊且與△ABC全等的三角形的第三個頂點（不與C重合）的坐標___________．

14．在平面直角坐標系xOy中，的位置如圖所示．

（1）分別寫出各個頂點的坐標

（2）分別寫出頂點A關于x軸對稱的點的坐標、頂點B關于y軸對稱的點的坐標及頂點C關于原點對稱的點的坐標；

（3）求的面積．

15．如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．

（1）在圖中作出△ABC關于m（直線m上的橫坐標都為﹣2）的對稱圖形△A1B1C1；

（2）線段上有一點P（﹣，），直接寫出點P關于直線m對稱的點的坐標．

（3）線段BC上有一點M（a，b），點M關于直線m的對稱點N（c，d），請直接寫出a，c的關系：；b，d的關系：．

16．如圖，△ABC的三個頂點坐標分別是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．

（1）△ABC向上平移4個單位長度得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；

（2）請畫出與△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2；

（3）請寫出A1的坐標，并用恰當?shù)姆绞奖硎揪€段AA1上任意一點的坐標．

17．如圖，在直角坐標系中，已知點，，

（1）已知與關于軸對稱，請在圖中畫出；

（2）若將向右平移4個單位，再向上平移2個單位.請寫出點平移后的對應點的坐標.

18．在平面直角坐標系中，的位置如圖所示.

（1）分別寫在各個頂點的坐標：（，）；（，）；（，）；

（2）頂點關于軸對稱的點的坐標（，）；頂點關于原點對稱的點的坐標（，）；

（3）的面積為．

19．如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）

⑴作出與△ABC關于y軸對稱△A1B1C1，并寫出三個頂點的坐標為：A1（），B1（），C1（）；

⑵在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標；

⑶在y軸上是否存在點Q，使得S△AOQ=S△ABC，如果存在，求出點Q的坐標，如果不存在，說明理由．

參考答案：

1．(1)見解析

(2)

【分析】（1）利用軸對稱變換的性質分別作出點B，點C即可，關于x軸對稱的兩個點，橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；關于y軸對稱的兩個點，縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；

（2）利用網(wǎng)格和勾股定理求出即可．

【詳解】（1）解：如圖，△ABC即為所求；

（2）解：BC2．

【點睛】本題考查軸對稱變換作圖，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質找到點的坐標．

2．(1)見解析，A1（5，2）、B1（2，1）、C1（3，4）

(2)4

(3)

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質即可畫出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1、B1、C1的坐標；

（2）根據(jù)網(wǎng)格利用割補法即可求△A1B1C1的面積；

（3）BC1交y軸于點P即可．

【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求；

A1（5，2）、B1（2，1）、C1（3，4）；

（2）解：如圖，

（3）解：連接BC1，與y軸的交點即為點P，此時PB＋PC最小，

．

所以PB＋PC的最小值為．

【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，解題的關鍵是掌握軸對稱的性質．

3．(1)7.5

(2)見解析

(3)（1，5），（1，0），（4，3）．

【分析】（1）利用三角形的面積公式求解即可；

（2）先做出A，B，C關于y軸的對稱點，然后順次連接即可；

（3）根據(jù)點的位置直接寫出坐標即可．

【詳解】（1）解：S△ABC=．

（2）解：如圖即為所求．

（3）解：（1，5），（1，0），（4，3）．

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、軸對稱、三角形的面積等知識點，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．

4．(1)見解析

(2)

(3)

【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；

（2）根據(jù)（1）所作圖形寫出對應點的坐標即可；

（3）根據(jù)點A到的坐標變化情況求解即可．

【詳解】（1）解：的位置如圖；

（2）解：由圖可知：；

（3）∵點A坐標為（1，3），，

∴一點經(jīng)過這樣的兩次軸對稱變換后得到的點的坐標為．

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化—軸對稱，畫軸對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識．

5．(1)

(2)畫圖見解析

(3)6

【分析】（1）根據(jù)在坐標系內的位置直接寫出的坐標即可；

（2）分別確定關于軸的對稱點再順次連接即可；

（3）由長方形的面積減去周圍三角形的面積即可得到答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)在坐標系內的位置可得：

故答案為：

（2）解：如圖，是所求作的三角形，

（3）解：

【點睛】本題考查的是坐標與圖形，畫軸對稱圖形，坐標系內三角形面積的計算，掌握“畫關于軸對稱的圖形及利用間接的方法求解坐標系內三角形的面積”是解本題的關鍵.

6．(1)見解析

(2)，，

【分析】（1）找到點關于軸對稱的對應點，順次連接，則即為所求；

（2）根據(jù)坐標系寫出點的坐標即可

【詳解】（1）如圖所示，

（2），，

【點睛】本題考查了作軸對稱圖形，關于坐標軸對稱的點的坐標特征，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵，關于y軸對稱的兩個點，縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)．

7．（1）見解析；（2）見解析，

【分析】（1）分別描出點A、B、C，然后依次連接即可；

（2）分別作出點A、B、C關于x軸對稱的點，然后依次連接，最后由圖像得到點D、E、F的坐標即可．

【詳解】解：（1）如圖；

（2）就是所求作的圖形；

．

【點睛】本題主要考查圖形與坐標及軸對稱，熟練掌握圖像與坐標及軸對稱是解題的關鍵．

8．(1)見解析

(2)8

(3)見解析

【分析】（1）利用關于y軸對稱的點的坐標特征寫出A、B、C的對應點、、的坐標，然后描點，順次連接起來，即可；

（2）利用三角形面積公式計算；

（3）由于x軸垂直平分，則與x軸的交點為D，所以，于是有．

【詳解】（1）如圖，為所作；

（2）的面積．

（3）如圖，點D為所作．

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，等邊對等角，作圖軸對稱變換：幾何圖形都可看做是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的．

9．（1）A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)；（2）點P的位置見圖，點P的坐標為P(2,0)．

【分析】（1）觀察圖形據(jù)坐標意義可直接寫出三個頂點的坐標；

（2）先作A關于x軸的對稱點，連接與x軸的交點就是點P，此時PA+PB的值最小；求點P的坐標，可根據(jù)(1,-1)，B(4,2)兩點的坐標即可得出解析式，再令x=0求解y的值，即可得出答案．

【詳解】（1）由圖可得三個頂點的坐標為A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)；

（2）如下圖，

先作A關于x軸的對稱點，連接與x軸的交點就是點P，的值最小，

∵點A(1,1)

∴點(1,-1)

設直線的解析式為

將(1,-1)，B(4,2)代入解析式，得

解得：

直線的解析式為

令，得

點P的坐標為（2，0）．

【點睛】此題考查作圖-軸對稱變換，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，解題的關鍵是確定P點的位置．

10．（1）圖見解析，3；（2）與關于x軸對稱

【分析】（1）根據(jù)點坐標確定其在坐標系中的位置，順次連線即可得到，利用割補法求面積；

（2）根據(jù)點A、B、C縱坐標都乘以，得到對應的點，，的坐標，再確定各點位置，即可得到兩個三角形的關系．

【詳解】（1）如圖，即為所求，；

（2）∵，

∴（0，-1），（2,0），（4,4），

∴與關于x軸對稱．

【點睛】此題考查點坐標的確定，坐標與圖形，圖形的變換關系，正確根據(jù)點的坐標確定其在直角坐標系中的位置是解題的關鍵．

11．（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質先描出三個頂點，依次連接即可；

（2）過x軸作B點的對稱點，連接與x軸的交點即為P點．

【詳解】（1）就是所求作的圖形；

（2）點就是所求作的點．

【點睛】本題考查坐標與圖形變化—軸對稱．正確得出對應點位置是解題關鍵．

12．(1)見解析

(2)（-2-a，b）

(3)見解析

【分析】（1）按照軸對稱的性質，分別找出點A、B、C的對稱點，連接即可；

（2）先畫出直線l，再結合軸對稱的性質求出坐標即可；

（3）結合（1），連接，與x軸的交點即為Q，此時QA+QC最?。?/p>

【詳解】（1）（1）如圖所示，即為所求；

（2）設點的橫坐標為，則，

∴，

∴；

故答案為：（-2-a，b）；

（3）如圖所示、點Q即為所求．

【點睛】本題考查了軸對稱作圖與坐標變換，熟練掌握軸對稱作圖的方法是解題的關鍵．

13．（1）見解析；（2）（-3，3），（3，-3），（-1，-3）；（3）（3，-1）

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C關于y軸的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；

（2）根據(jù)平面直角坐標系寫出各點的坐標即可；

（3）根據(jù)以AB為公共邊且與△ABC全等的三角形的第三個頂點的位置，寫出其坐標即可．

【詳解】（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；

（2）A1（-3，3），B1（3，-3），C1（-1，-3），

故答案為：（-3，3），（3，-3），（-1，-3）；

（3）如圖，△△，且點在第四象限內，

∴（3，-1）；

故答案為：（3，-1）．

【點睛】本題主要考查了運用軸對稱變換進行作圖、坐標確定位置的運用以及全等三角形的性質，熟練掌握網(wǎng)格結構并準確找出對應點的位置是解題的關鍵．

14．（1）A(-4，3)，B(3，0)，C(-2，5)；（2）(-4，-3)，(-3，0)，(2，-5)；（3）10．

【分析】（1）根據(jù)平面直角坐標系中，點的位置，直接寫出坐標，即可；

（2）根據(jù)點關于x軸，y軸，原點對稱，點的坐標特征，即可求解；

（3）根據(jù)割補法，即可求出答案．

【詳解】（1）由題意得：A(-4，3)，B(3，0)，C(-2，5)；

（2）∵頂點A關于x軸對稱的點是

∴(-4，-3)，

∵頂點B關于y軸對稱的點是，

∴(-3，0)，

∵頂點C關于原點對稱的點是，

∴(2，-5)；

（3）的面積=5×7-×3×7-×2×2-×5×5=10．

【點睛】本題主要考查圖形與點的坐標，掌握關于x軸，y軸，原點對稱的點的坐標特征，是解題的關鍵．

15．（1）見解析；（2）（﹣，）；（3）a+c＝﹣4；b＝d

【分析】(1)分別作出△ABC關于直線m的對稱點，再順次連接即可得；

(2)根據(jù)軸對稱的性質，可得點P關于直線m對稱的點的坐標；

(3)根據(jù)軸對稱的性質知M、N兩點的縱坐標相等，橫坐標的平均數(shù)等于﹣2可得．

【詳解】(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求；

(2)線段上有一點P(﹣，)，由軸對稱的性質可得，點P關于直線m對稱的點的橫坐標為，縱坐標為，

∴點P關于直線m對稱的點的坐標是(﹣，)，

故答案為：(﹣，)；

(3)由軸對稱的性質知：b=d，，即，

故答案為：，b=d．

【點睛】此題主要考查了作圖--軸對稱變換，關鍵是熟練掌握軸對稱的性質，確定組成圖形的關鍵點的對稱點和對應點位置．

16．（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【分析】（1）直接利用平移的性質得出對應點位置，進而得出答案；

（2）直接利用軸對稱的性質得出對應點位置，進而得出答案；

（3）利用所畫圖象得出A1的坐標，進而表示線段AA1上任意一點的坐標．

【詳解】（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求；

（2）如圖所示：△A2B2C2即為所求；

（3）由題可得，A1（2，3），線段AA1上任意一點的坐標為（2，y）（﹣1≤y≤3）．

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的變化－軸對稱變換以及平移變換作圖，正確得出對應點位置是解題關鍵．

17．（1）見解析；（2）

【分析】（1）根據(jù)關于y軸對稱的點，橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，先分別標記A、B、C的對應點A1、B1、C1，依次連接即可；

（2）根據(jù)圖形平移的方式和對應點的平移方式相同，可求出點向右平移4個單位，再向上平移2個單位的對應點的坐標.

【詳解】（1）如圖所示：

（2）點的坐標為，它向右平移4個單位，再向上平移2個單位的點為，故答案為：.

【點睛】本題考查坐標與圖形變化——軸對稱，坐標與圖形變化——平移.（1）中能利用軸對稱的性質得出A、B、C的對應點A1、B1、C1的坐