2020中考數(shù)學(xué)真題分類匯編 專題13 二次函數(shù)

二次函數(shù)一.選擇題1.（2020?廣東省?3分）把函數(shù)y=（x﹣1）2+2的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為A．y=x2+2

B．y=（x﹣1）2+1C．y=（x﹣2）2+2

D．y=（x﹣1）2+3【答案】C【解析】左加右減，向右x變?yōu)閤-1，y=（x﹣1﹣1）2+2y=（x﹣2）2+2

．【考點】函數(shù)的平移問題．2.（2020?廣東省?3分）如題10圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0．其中正確的結(jié)論有A．4個

B．3個

C．2個

D．1【答案】B【解析】由a＜0，b＞0，c＞0可得①錯誤；由△＞0可得②正確；由x=-2時，y＜0可得③正確．當(dāng)x=1時，a+b+c＞0，當(dāng)x=-2時，4a-2b+c＞0即-4a+2b-c＞0，兩式相減得5a-b+2c＞0，即5a+2c＞b，∵b＞0，∴5a+b+2c＞0可得④正確．【考點】二次函數(shù)的圖象性質(zhì)．3.（2020?貴州省安順市?3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣3，0）與（1，0）兩點，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是3．則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，這兩個整數(shù)根是（）A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可以得到關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）的兩個整數(shù)根，從而可以解答本題．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣3，0）與（1，0）兩點，∴當(dāng)y＝0時，0＝ax2+bx+c的兩個根為﹣3和1，函數(shù)y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣1，又∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一個根為﹣5，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，∴這兩個整數(shù)根是﹣4或2，故選：B．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的關(guān)系解答．4.（2020?廣西省玉林市?3分）把二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換，所得圖象的解析式為y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，則m的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．6【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征得出原二次函數(shù)的頂點為（1，﹣4a），即可得出原二次函數(shù)為y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，和y＝ax2+bx+c比較即可得出b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入（m﹣1）a+b+c≤0，即可得到m≤6．【解答】解：∵把二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換，所得圖象的解析式為y＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函數(shù)的頂點為（1，﹣4a），∴原二次函數(shù)為y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，∴m的最大值為6，故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，作關(guān)于x軸的對稱的點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，得到b＝﹣2a，c＝﹣3a是解題的關(guān)鍵．5（2020?湖北襄陽?3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而減?。渲姓_的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析判斷即可．【解答】解：①∵拋物線開口向上，且與y軸交于負(fù)半軸，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，結(jié)論①正確；②∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵拋物線經(jīng)過點（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，結(jié)論②正確；③∵拋物線與x軸由兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，結(jié)論③正確；④∵拋物線開口向上，且拋物線對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小，結(jié)論④錯誤；故選：B．【點評】本題主要考查拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象與函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．6.（2020?湖北孝感?3分）將拋物線C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1個單位長度，得到拋物線C2，拋物線C2與拋物線C3關(guān)于x軸對稱，則拋物線C3的解析式為（）A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2【分析】根據(jù)拋物線C1的解析式得到頂點坐標(biāo)，根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得拋物線C2的得到坐標(biāo)，而根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)可得到拋物線C3所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【解答】解：∵拋物線C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴拋物線C1的頂點為（1，2），∵向左平移1個單位長度，得到拋物線C2，∴拋物線C2的頂點坐標(biāo)為（0，2），∵拋物線C2與拋物線C3關(guān)于x軸對稱，∴拋物線C3的開口方向相反，頂點為（0，﹣2），∴拋物線C3的解析式為y＝﹣x2﹣2，故選：A．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點坐標(biāo)是如何平移得到的即可，關(guān)于x軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)，難度適中．7（2020?湖南省常德?3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先由拋物線與x周董交點個數(shù)判斷出結(jié)論①，利用拋物線的對稱軸為x＝2，判斷出結(jié)論②，先由拋物線的開口方向判斷出a＜0，進(jìn)而判斷出b＞0，再用拋物線與y軸的交點的位置判斷出c＞0，判斷出結(jié)論③，最后用x＝﹣2時，拋物線在x軸下方，判斷出結(jié)論④，即可得出結(jié)論．【解答】解：由圖象知，拋物線與x軸有兩個交點，∴方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2﹣4ac＞0，故①由圖象知，拋物線的對稱軸直線為x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②由圖象知，拋物線開口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正確，由圖象知，當(dāng)x＝﹣2時，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④即正確的結(jié)論有3個，故選：B．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖形與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與y軸的交點，拋物線的對稱軸，掌握拋物線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8（2020?湖南省長沙市·3分）“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長沙特色小吃，臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復(fù)雜，其中在進(jìn)行加工煎炸臭豆腐時，我們把“焦脆而不糊”的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，“可食用率”P與加工煎炸時間t（單位：分鐘）近似滿足的函數(shù)關(guān)系為：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系和實驗數(shù)據(jù)，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳時間為（）A．3.50分鐘 B．4.05分鐘 C．3.75分鐘 D．4.25分鐘【分析】將圖象中的三個點（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函數(shù)關(guān)系p＝at2+bt+c中，可得函數(shù)關(guān)系式為：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根據(jù)加工煎炸臭豆腐的最佳時間為拋物線頂點的橫坐標(biāo)，求出即可得結(jié)論．【解答】解：將圖象中的三個點（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函數(shù)關(guān)系p＝at2+bt+c中，，解得，所以函數(shù)關(guān)系式為：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由題意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳時間為拋物線頂點的橫坐標(biāo)：t＝﹣＝﹣＝3.75，則當(dāng)t＝3.75分鐘時，可以得到最佳時間．故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．9.（2020?湖南省株洲市·4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，點A（x1，y1），B（x2，y2）在該二次函數(shù)的圖象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，則（）A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1.y2的大小無法確定【分析】首先分析出a，b，x1的取值范圍，然后用含有代數(shù)式表示y1，y2，再作差法比較y1，y2的大?。窘獯稹拷猓骸遖﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵點A（x1，y1），B（x2，y2）在該二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象上，∴，．∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故選：B．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和函數(shù)值的大小比較，判斷出字母系數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．10（2020?黑龍江省哈爾濱市?3分）將拋物線y＝x2向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，所得到的拋物線為（）A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線y＝x2向上平移3個單位所得拋物線的解析式為：y＝x2+3；由“左加右減”的原則可知，將拋物線y＝x2+3向右平移5個單位所得拋物線的解析式為：y＝（x﹣5）2+3；故選：D．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．11（2020?黑龍江省牡丹江市?3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸正半軸交于A，B兩點，與y軸負(fù)半軸交于點C．若點B（4，0），則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①abc＞0；②4a+b＞0；③M（x1，y1）與N（x2，y2）是拋物線上兩點，若0＜x1＜x2，則y1＞y2；④若拋物線的對稱軸是直線x＝3，m為任意實數(shù)，則a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，則4b+3c＞0．A．5 B．4 C．3 【分析】根據(jù)圖象得出a＜0，c＜0，b＞0，可判斷①；再由圖象可得對稱軸在直線x＝2右側(cè)，可得，可判斷②；再根據(jù)二次函數(shù)在y軸右側(cè)時的增減性，判斷③；根據(jù)拋物線對稱軸為直線x＝3，得出b＝﹣6a，再利用作差法判斷④；最后根據(jù)AB≥3，則點A的橫坐標(biāo)大于0或小于等于1，得出a+b+c≥0，再由當(dāng)x＝4時，得出16a+4b+c＝0，變形為a＝，代入，可得4b+5c≥0，結(jié)合c的符號可判斷⑤．【解答】解：如圖，拋物線開口向下，與y軸交于負(fù)半軸，對稱軸在y軸右側(cè)，∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，∴abc＞0，故①正確；如圖，∵拋物線過點B（4，0），點A在x軸正半軸，∴對稱軸在直線x＝2右側(cè)，即，∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正確；∵M(jìn)（x1，y1）與N（x2，y2）是拋物線上兩點，0＜x1＜x2，可得：拋物線y＝ax2+bx+c在上，y隨x的增大而增大，在上，y隨x的增大而減小，∴y1＞y2不一定成立，故③錯誤；若拋物線對稱軸為直線x＝3，則，即b＝﹣6a，則a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正確；∵AB≥3，則點A的橫坐標(biāo)大于0或小于等于1，當(dāng)x＝1時，代入，y＝a+b+c≥0，當(dāng)x＝4時，16a+4b+c＝0，∴a＝，則，整理得：4b+5c≥0，則4b+3c≥﹣2c，又c＜0，﹣2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正確，故正確的有4個．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖象得出二次函數(shù)表達(dá)式各系數(shù)的符號．12（2020?黑龍江省齊齊哈爾市?3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（4，0），其對稱軸為直線x＝1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、增減性以及與x軸y軸的交點，綜合判斷即可．【解答】解：拋物線開口向上，因此a＞0，與y軸交于負(fù)半軸，因此c＜0，故ac＜0，所以①正確；拋物線對稱軸為x＝1，與x軸的一個交點為（4，0），則另一個交點為（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正確；x＞1時，y隨x的增大而增大，所以③正確；拋物線與x軸有兩個不同交點，因此關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是正確判斷的前提．13.（2020年德州市）11．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是圖象上的兩點，則y1＞y2 B．3a+c＝0 C．方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個不相等的實數(shù)根 D．當(dāng)x≥0時，y隨x的增大而減小【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，a＜0，∴點（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1的對稱點為（3，0），則拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（3，0），點（﹣2，y1）與（4，y1）是對稱點，∵當(dāng)x＞1時，函數(shù)y隨x增大而減小，故A選項不符合題意；把點（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，①×3+②得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B選項不符合題意；當(dāng)y＝﹣2時，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由圖象得：縱坐標(biāo)為﹣2的點有2個，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個不相等的實數(shù)根，故C選項不符合題意；∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，a＜0，∴當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而減?。还蔇選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14（2020年遼寧省遼陽市）10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于點D．點P從點A出發(fā)，沿A→D→C的路徑運動，運動到點C停止，過點P作PE⊥AC于點E，作PF⊥BC于點F．設(shè)點P運動的路程為x，四邊形CEPF的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，可得AB＝4，根據(jù)CD⊥AB于點D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，點P從點A出發(fā)，沿A→D→C的路徑運動，運動到點C停止，分兩種情況討論：根據(jù)PE⊥AC，PF⊥BC，可得四邊形CEPF是矩形和正方形，設(shè)點P運動的路程為x，四邊形CEPF的面積為y，進(jìn)而可得能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系式，從而可以得函數(shù)的圖象．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于點D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四邊形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵點P運動的路程為x，∴AP＝x，則AE＝PE＝x?sin45°＝x，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣x，∵四邊形CEPF的面積為y，∴當(dāng)點P從點A出發(fā)，沿A→D路徑運動時，即0＜x＜2時，y＝PE?CE＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∴當(dāng)0＜x＜2時，拋物線開口向下；當(dāng)點P沿D→C路徑運動時，即2≤x＜4時，∵CD是∠ACB的平分線，∴PE＝PF，∴四邊形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y＝（4﹣x）2＝（x﹣4）2．∴當(dāng)2≤x＜4時，拋物線開口向上，綜上所述：能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是：A．故選：A．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．15.（2020?湖北襄陽?3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而減?。渲姓_的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析判斷即可．【解答】解：①∵拋物線開口向上，且與y軸交于負(fù)半軸，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，結(jié)論①正確；②∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵拋物線經(jīng)過點（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，結(jié)論②正確；③∵拋物線與x軸由兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，結(jié)論③正確；④∵拋物線開口向上，且拋物線對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小，結(jié)論④錯誤；故選：B．【點評】本題主要考查拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象與函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．16（2020?湖北孝感?3分）將拋物線C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1個單位長度，得到拋物線C2，拋物線C2與拋物線C3關(guān)于x軸對稱，則拋物線C3的解析式為（）A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2【分析】根據(jù)拋物線C1的解析式得到頂點坐標(biāo)，根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得拋物線C2的得到坐標(biāo)，而根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)可得到拋物線C3所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【解答】解：∵拋物線C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴拋物線C1的頂點為（1，2），∵向左平移1個單位長度，得到拋物線C2，∴拋物線C2的頂點坐標(biāo)為（0，2），∵拋物線C2與拋物線C3關(guān)于x軸對稱，∴拋物線C3的開口方向相反，頂點為（0，﹣2），∴拋物線C3的解析式為y＝﹣x2﹣2，故選：A．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點坐標(biāo)是如何平移得到的即可，關(guān)于x軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)，難度適中．17（2020?湖南省常德?3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 【分析】先由拋物線與x周董交點個數(shù)判斷出結(jié)論①，利用拋物線的對稱軸為x＝2，判斷出結(jié)論②，先由拋物線的開口方向判斷出a＜0，進(jìn)而判斷出b＞0，再用拋物線與y軸的交點的位置判斷出c＞0，判斷出結(jié)論③，最后用x＝﹣2時，拋物線在x軸下方，判斷出結(jié)論④，即可得出結(jié)論．【解答】解：由圖象知，拋物線與x軸有兩個交點，∴方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2﹣4ac＞0，故①正確，由圖象知，拋物線的對稱軸直線為x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②由圖象知，拋物線開口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正確，由圖象知，當(dāng)x＝﹣2時，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④即正確的結(jié)論有3個，故選：B．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖形與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與y軸的交點，拋物線的對稱軸，掌握拋物線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．18.（2020?貴州省貴陽市?3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣3，0）與（1，0）兩點，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是3．則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，這兩個整數(shù)根是（）A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可以得到關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）的兩個整數(shù)根，從而可以解答本題．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣3，0）與（1，0）兩點，∴當(dāng)y＝0時，0＝ax2+bx+c的兩個根為﹣3和1，函數(shù)y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣1，又∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一個根為﹣5，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，∴這兩個整數(shù)根是﹣4或2，故選：B．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的關(guān)系解答．19.（2020?貴州省遵義市?4分）拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-2．拋物線與x軸的一個交點在點（-4，0）和點（-3，0）之間，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的個數(shù)有（）①4a-b=0；②c≤3a；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c=2有兩個不相等實數(shù)根；④b2+2b＞4ac．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸可判斷①；由拋物線與x軸的交點及拋物線的對稱性以及由x=-1時y＞0可判斷②，由拋物線與x軸有兩個交點，且頂點為（-2，3），即可判斷③；利用拋物線的頂點的縱坐標(biāo)為3得到，即可判斷④．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴4a-b=0，所以①正確；∵與x軸的一個交點在（-3，0）和（-4，0）之間，∴由拋物線的對稱性知，另一個交點在（-1，0）和（0，0）之間，∴x=-1時y＞0，且b=4a，即a-b+c=a-4a+c=-3a+c＞0，∴c＞3a，所以②錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，且頂點為（-2，3），∴拋物線與直線y=2有兩個交點，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=2有兩個不相等實數(shù)根，所以③正確；∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2，3），∴，∴b2+12a=4ac，∵4a-b=0，∴b=4a，∴b2+3b=4ac，∵a＜0，∴b=4a＜0，∴b2+2b＞4ac，所以④正確；故選：C．20（2020?河北省?2分）如圖，現(xiàn)要在拋物線y＝x（4﹣x）上找點P（a，b），針對b的不同取值，所找點P的個數(shù)，三人的說法如下，甲：若b＝5，則點P的個數(shù)為0；乙：若b＝4，則點P的個數(shù)為1；丙：若b＝3，則點P的個數(shù)為1．下列判斷正確的是（）A．乙錯，丙對 B．甲和乙都錯 C．乙對，丙錯 D．甲錯，丙對【分析】求出拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，4），由二次函數(shù)的性質(zhì)對甲、乙、丙三人的說法分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，4），∴在拋物線上的點P的縱坐標(biāo)最大為4，∴甲、乙的說法正確；若b＝3，則拋物線上縱坐標(biāo)為3的點有2個，∴丙的說法不正確；故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、拋物線的頂點坐標(biāo)等知識；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．21（2020年濱州市）11．（3分）對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（A.B.c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實數(shù)），⑥當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【解答】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＜0，故①錯誤；②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；③當(dāng)x＝2時，y＝4a+2b+c＜0，故③錯誤；④當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，∴3a+c＞0，故④正確；⑤當(dāng)x＝1時，y的值最小，此時，y＝a+b+c，而當(dāng)x＝m時，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正確，⑥當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故⑥錯誤，故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．10.二.填空題1.（2020?湖北武漢?3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＜0）經(jīng)過A（2，0），B（﹣4，0）兩點，下列四個結(jié)論：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根為x1＝2，x2＝﹣4；②若點C（﹣5，y1），D（π，y2）在該拋物線上，則y1＜y2；③對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a﹣b；④對于a的每一個確定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p為常數(shù)，p＞0）的根為整數(shù)，則p的值只有兩個．其中正確的結(jié)論是①③（填寫序號）．【分析】根據(jù)題目中的拋物線和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＜0）經(jīng)過A（2，0），B（﹣4，0）兩點，∴當(dāng)y＝0時，0＝ax2+bx+c的兩個根為x1＝2，x2＝﹣4，故①正確；該拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣1，函數(shù)圖象開口向下，若點C（﹣5，y1），D（π，y2）在該拋物線上，則y1＞y2，故②錯誤；當(dāng)x＝﹣1時，函數(shù)取得最大值y＝a﹣b+c，故對于任意實數(shù)t，總有at2+bt+c≤a﹣b+c，即對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a﹣b，故③正確；對于a的每一個確定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p為常數(shù)，p＞0）的根為整數(shù)，則兩個根為﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三個，故④錯誤；故答案為：①③．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．2（2020?江蘇省淮安市?3分）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，4）．【分析】把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點式形式，然后寫出頂點坐標(biāo)即可．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴頂點坐標(biāo)為（﹣1，4）．故答案為：（﹣1，4）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點式解析式求頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3.（2020?廣東省廣州市?3分）對某條線段的長度進(jìn)行了3次測量，得到3個結(jié)果（單位：）9.9，10.1，10.0，若用作為這條線段長度的近以值，當(dāng)______時，最?。畬α硪粭l線段的長度進(jìn)行了次測量，得到個結(jié)果（單位：），若用作為這條線段長度的近似值，當(dāng)_____時，最?。敬鸢浮?1).10.0；(2).．【解析】【分析】（1）把整理得：，設(shè)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出當(dāng)時有最小值；（2）把整理得：，設(shè)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出當(dāng)取最小值時的值．【詳解】解：（1）整理得：，設(shè)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，函數(shù)有最小值，即：當(dāng)時，的值最小，故答案為：10.0；（2）整理得：，設(shè)，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時，有最小值，即：當(dāng)時，的值最小，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)，整理成二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)—何時取最小值來解決即可．4（2020?江蘇省連云港市?3分）加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率y與加工時間x（單位：min）滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，則最佳加工時間為3.75min．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得．【解答】解：根據(jù)題意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，當(dāng)x＝﹣＝3.75時，y取得最大值，則最佳加工時間為3.75min．故答案為：3.75．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題是解題的關(guān)鍵．5（2020?江蘇省南京市?2分）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m為常數(shù)）的結(jié)論：①該函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝﹣x2的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點（0，1）；③當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減??；④該函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)y＝x2+1的圖象上．其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．【解答】解：①∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m為常數(shù)）與函數(shù)y＝﹣x2的二次項系數(shù)相同，∴該函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝﹣x2的圖象形狀相同，故結(jié)論①正確；②∵在函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，則y＝﹣m2+m2+1＝1，∴該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點（0，1），故結(jié)論②正確；③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝m，當(dāng)x＞m時，y隨x的增大而減小，故結(jié)論③錯誤；④∵拋物線開口向下，當(dāng)x＝m時，函數(shù)y有最大值m2+1，∴該函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)y＝x2+1的圖象上．故結(jié)論④正確，故答案為①②④．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6.（2020?湖北襄陽?3分）汽車剎車后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛時間t（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式是s＝15t﹣6t2．則汽車從剎車到停止所用時間為1.25秒．【分析】利用配方法求二次函數(shù)最值的方法解答即可．【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，∴汽車從剎車到停下來所用時間是1.25秒．故答案為：1.25．【點評】考查了二次函數(shù)最值的應(yīng)用，此題主要利用配方法求最值的問題，根據(jù)已知得出頂點式是解題關(guān)鍵．7.(2020?江蘇省無錫市?2分)請寫出一個函數(shù)表達(dá)式，使其圖象的對稱軸為y軸：y＝x2．【分析】根據(jù)形如y＝ax2的二次函數(shù)的性質(zhì)直接寫出即可．【解答】解：∵圖象的對稱軸是y軸，∴函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x2(答案不唯一)，故答案為：y＝x2(答案不唯一)．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，牢記形如y＝ax2的二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8(2020?江蘇省無錫市?2分)二次函數(shù)y＝ax2－3ax+3的圖象過點A(6，0)，且與y軸交于點B，點M在該拋物線的對稱軸上，若△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，則點M的坐標(biāo)為(，－9)或(，6)．【分析】把點A(6，0)代入y＝ax2－3ax+3得，0＝36a－18a+3，得到y(tǒng)＝－x2+x+3，求得B(0，3)，拋物線的對稱軸為x＝－＝，設(shè)點M的坐標(biāo)為：(，m)，當(dāng)∠ABM＝90°，過B作BD⊥對稱軸于D，當(dāng)∠M′AB＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：把點A(6，0)代入y＝ax2－3ax+3得，0＝36a－18a+3，解得：a＝－∴y＝－x2+x+3，∴B(0，3)，拋物線的對稱軸為x＝－＝，設(shè)點M的坐標(biāo)為：(，m)，當(dāng)∠ABM＝90°，過B作BD⊥對稱軸于D，則∠1＝∠2＝∠3，∴tan∠2＝tan∠1＝＝2，∴＝2，∴DM＝3，∴M(，6)，當(dāng)∠M′AB＝90°，∴tan∠3＝＝tan∠1＝＝2，∴M′N＝9，∴M′(，－9)，綜上所述，點M的坐標(biāo)為(，－9)或(，6)．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，涉及到解直角三角形，有一定的綜合性，難度適中．9（2020?黑龍江省哈爾濱市?3分）拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點坐標(biāo)為（1，8）．【分析】已知拋物線頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標(biāo)是（h，k）．【解答】解：∵拋物線y＝3（x﹣1）2+8是頂點式，∴頂點坐標(biāo)是（1，8）．故答案為：（1，8）．【點評】本題考查由拋物線的頂點坐標(biāo)式寫出拋物線頂點的坐標(biāo)，比較容易．10（2020?黑龍江省牡丹江市?3分）將拋物線y＝ax2+bx﹣1向上平移3個單位長度后，經(jīng)過點（﹣2，5），則8a﹣4b﹣11的值是﹣5．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移得出平移后的表達(dá)式，再將點（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后將8a﹣4b﹣11變形求值即可．【解答】解：將拋物線y＝ax2+bx﹣1向上平移3個單位長度后，表達(dá)式為：y＝ax2+bx+2，∵經(jīng)過點（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，則8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，故答案為：﹣5．【點評】本題考查了二次函數(shù)的平移，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是得出平移后的表達(dá)式．11.（2020?湖北武漢?3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＜0）經(jīng)過A（2，0），B（﹣4，0）兩點，下列四個結(jié)論：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根為x1＝2，x2＝﹣4；②若點C（﹣5，y1），D（π，y2）在該拋物線上，則y1＜y2；③對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a﹣b；④對于a的每一個確定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p為常數(shù)，p＞0）的根為整數(shù)，則p的值只有兩個．其中正確的結(jié)論是①③（填寫序號）．【分析】根據(jù)題目中的拋物線和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＜0）經(jīng)過A（2，0），B（﹣4，0）兩點，∴當(dāng)y＝0時，0＝ax2+bx+c的兩個根為x1＝2，x2＝﹣4，故①正確；該拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣1，函數(shù)圖象開口向下，若點C（﹣5，y1），D（π，y2）在該拋物線上，則y1＞y2，故②錯誤；當(dāng)x＝﹣1時，函數(shù)取得最大值y＝a﹣b+c，故對于任意實數(shù)t，總有at2+bt+c≤a﹣b+c，即對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a﹣b，故③正確；對于a的每一個確定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p為常數(shù)，p＞0）的根為整數(shù)，則兩個根為﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三個，故④錯誤；故答案為：①③．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．12.（2020?湖北襄陽?3分）汽車剎車后行駛的距離s（單位：米）關(guān)于行駛時間t（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式是s＝15t﹣6t2．則汽車從剎車到停止所用時間為1.25秒．【分析】利用配方法求二次函數(shù)最值的方法解答即可．【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，∴汽車從剎車到停下來所用時間是1.25秒．故答案為：1.25．【點評】考查了二次函數(shù)最值的應(yīng)用，此題主要利用配方法求最值的問題，根據(jù)已知得出頂點式是解題關(guān)鍵．三.解答題1.(2020?江蘇省泰州市?10分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P為BC邊上的動點(與B.C不重合)，PD∥AB，交AC于點D，連接AP，設(shè)CP＝x，△ADP的面積為S．(1)用含x的代數(shù)式表示AD的長；(2)求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)S隨x增大而減小時x的取值范圍．【分析】(1)由平行線分線段成比例定理，用x表示CD，進(jìn)而求得結(jié)果；(2)根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出S隨x增大而減小時x的取值范圍．【解答】解：(1)∵PD∥AB，∴=，∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，∴=，∴CD＝，∴AD＝AC－CD＝3－，即AD＝－+3；(2)根據(jù)題意得，S＝AD·CP==，∴當(dāng)x≥2時，S隨x的增大而減小，∵0＜x＜4，∴當(dāng)S隨x增大而減小時x的取值范圍為2≤x＜4．【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例性質(zhì)，列出一次函數(shù)解析式，列二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是正確列出函數(shù)解析式．2.(2020?江蘇省泰州市?14分)如圖，二次函數(shù)y1＝a(x－m)2+n，y2＝6ax2+n(a＜0，m＞0，n＞0)的圖象分別為C1.、C2，C1交y軸于點P，點A在C1上，且位于y軸右側(cè)，直線PA與C2在y軸左側(cè)的交點為B．(1)若P點的坐標(biāo)為(0，2)，C1的頂點坐標(biāo)為(2，4)，求a的值；(2)設(shè)直線PA與y軸所夾的角為α．①當(dāng)α＝45°，且A為C1的頂點時，求am的值；②若α＝90°，試說明：當(dāng)A.m、n各自取不同的值時，的值不變；(3)若PA＝2PB，試判斷點A是否為C1的頂點？請說明理由．【分析】(1)利用待定系數(shù)法解決問題即可．(2)①如圖1中，過點A作AN⊥x軸于N，過點P作PM⊥AN于M．證明AM＝PM＝m，根據(jù)AM+MN＝AM+OP＝AN，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題．②如圖2中，由題意AB⊥y中，求出PA，PB的長即可解決問題．(3))如圖3中，過點A作AH⊥x軸于H，過點P作PK⊥AH于K，過點B作BE⊥KP交KP的延長線于E．設(shè)B(b，6ab2+n)，由PA＝2PB，推出A[－2b，a(－2b－m)2+n]，由BE∥AK，推出＝＝，推出AK＝2BE，由此構(gòu)建關(guān)系式，證明m＝－2b即可解決問題．【解答】解：(1)由題意m＝2，n＝4，∴y1＝a(x－2)2+4，把(0，2)代入得到a＝－．(2)①如圖1中，過點A作AN⊥x軸于N，過點P作PM⊥AN于M．∵y1＝a(x－m)2+n＝ax2－2amx+am2+n，∴P(0，am2+n)，∵A(m，n)，∴PM＝m，AN＝n，∵∠APM＝45°，∴AM＝PM＝m，∴m+am2+n＝n，∵m＞0，∴am＝－1．②如圖2中，由題意AB⊥y軸，∵P(0，am2+n)，當(dāng)y＝am2+n時，am2+n＝6ax2+n，解得x＝±m(xù)，∴B(－m，am2+n)，∴PB＝m，∵AP＝2m，∴＝＝2．(3)如圖3中，過點A作AH⊥x軸于H，過點P作PK⊥AH于K，過點B作BE⊥KP交KP的延長線于E．設(shè)B(b，6ab2+n)，∵PA＝2PB，∴A[－2b，a(－2b－m)2+n]，∵BE∥AK，∴＝＝，∴AK＝2BE，∴a(－2b－m)2+n－am2－n＝2(am2+n－6ab2－n)，整理得：m2－2bm－8b2＝0，∴(m－4b)(m+2b)＝0，∵m－4b＞0，∴m+2b＝0，∴m＝－2b，∴A(m，n)，∴點A是拋物線C1的頂點．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，解直角三角形，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．3.(2020?江蘇省無錫市?10分)有一塊矩形地塊ABCD，AB＝20米，BC＝30米．為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，將矩形ABCD分割成四個等腰梯形及一個矩形，其中梯形的高相等，均為x米．現(xiàn)決定在等腰梯形AEHD和BCGF中種植甲種花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中種植乙種花卉；在矩形EFGH中種植丙種花卉．甲、乙、丙三種花卉的種植成本分別為20元/米2.60元/米2.40元/米2，設(shè)三種花卉的種植總成本為y元．(1)當(dāng)x＝5時，求種植總成本y；(2)求種植總成本y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120平方米，求三種花卉的最低種植總成本．【分析】(1)當(dāng)x＝5時，EF＝20－2x＝10，EH＝30－2x＝20，y＝2×(EH+AD)×20x+2×(GH+CD)×x×60+EF?EH×40，即可求解；(2)參考(1)，由題意得：y＝(30×30－2x)?x?20+(20+20－2x)?x?60+(30－2x)(20－2x)?40(0＜x＜10)；(3)S甲＝2×(EH+AD)×2x＝(30－2x+30)x＝－2x2+60x，S乙＝－2x2+40x，則－2x2+60x－(－2x2+40x)≤120，即可求解．【解答】解：(1)當(dāng)x＝5時，EF＝20－2x＝10，EH＝30－2x＝20，y＝2×(EH+AD)×20x+2×(GH+CD)×x×60+EF?EH×40＝(20+30)×5×20+(10+20)×5×60+20×10×40＝22000；(2)EF＝20－2x，EH＝30－2x，參考(1)，由題意得：y＝(30×30－2x)?x?20+(20+20－2x)?x?60+(30－2x)(20－2x)?40＝－400x+24000(0＜x＜10)；(3)S甲＝2×(EH+AD)×2x＝(30－2x+30)x＝－2x2+60x，同理S乙＝－2x2+40x，∵甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過120米2，∴－2x2+60x－(－2x2+40x)≤120，解得：x≤6，故0＜x≤6，而y＝－400x+24000隨x的增大而減小，故當(dāng)x＝6時，y的最小值為21600，即三種花卉的最低種植總成本為21600元．【點評】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用．我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．4.（2020?湖北武漢?10分）某公司分別在A，B兩城生產(chǎn)同種產(chǎn)品，共100件．A城生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間具有函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx．當(dāng)x＝10時，y＝400；當(dāng)x＝20時，y＝1000．B城生產(chǎn)產(chǎn)品的每件成本為70萬元．（1）求a，b的值；（2）當(dāng)A，B兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總成本的和最少時，求A，B兩城各生產(chǎn)多少件？（3）從A城把該產(chǎn)品運往C，D兩地的費用分別為m萬元/件和3萬元/件；從B城把該產(chǎn)品運往C，D兩地的費用分別為1萬元/件和2萬元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的條件下，直接寫出A，B兩城總運費的和的最小值（用含有m的式子表示）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出a，b的值；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，從而可得出A，B兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總成本的和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（3）設(shè)從A城運往C地的產(chǎn)品數(shù)量為n件，A，B兩城總運費的和為P，則從A城運往D地的產(chǎn)品數(shù)量為（20﹣n）件，從B城運往C地的產(chǎn)品數(shù)量為（90﹣n）件，從B城運往D地的產(chǎn)品數(shù)量為（10﹣20+n）件，從而可得關(guān)于n的不等式組，解得n的范圍，然后根據(jù)運費信息可得P關(guān)于n的一次函數(shù)，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）由題意得：，解得：．∴a＝1，b＝30；（2）由（1）得：y＝x2+30x，設(shè)A，B兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總成本為w，則w＝x2+30x+70（100﹣x）＝x2﹣40x+7000，＝（x﹣20）2+6600，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＝20時，w取得最小值，最小值為6600萬元，此時100﹣20＝80．答：A城生產(chǎn)20件，B城生產(chǎn)80件；（3）設(shè)從A城運往C地的產(chǎn)品數(shù)量為n件，A，B兩城總運費的和為P，則從A城運往D地的產(chǎn)品數(shù)量為（20﹣n）件，從B城運往C地的產(chǎn)品數(shù)量為（90﹣n）件，從B城運往D地的產(chǎn)品數(shù)量為（10﹣20+n）件，由題意得：，解得10≤n≤20，∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），整理得：P＝（m﹣2）n+130，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)分以下兩種情況：①當(dāng)0＜m≤2，10≤n≤20時，P隨n的增大而減小，則n＝20時，P取最小值，最小值為20（m﹣2）+130＝20m+90；②當(dāng)m＞2，10≤n≤20時，P隨n的增大而增大，則n＝10時，P取最小值，最小值為10（m﹣2）+130＝10m答：0＜m≤2時，A，B兩城總運費的和為（20m+90）萬元；當(dāng)m＞2時，A，B兩城總運費的和為（10【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)及一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5（2020?湖北武漢?12分）將拋物線C：y＝（x﹣2）2向下平移6個單位長度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個單位長度得到拋物線C2．（1）直接寫出拋物線C1，C2的解析式；（2）如圖（1），點A在拋物線C1（對稱軸l右側(cè)）上，點B在對稱軸l上，△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，求點A的坐標(biāo)；（3）如圖（2），直線y＝kx（k≠0，k為常數(shù)）與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點，M為線段EF的中點；直線y＝﹣x與拋物線C2交于G，H兩點，N為線段GH的中點．求證：直線MN經(jīng)過一個定點．【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，直接寫出平移后的解析式；（2）過點A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥AC于點D，設(shè)A（a，（a﹣2）2﹣6），則BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，再證明△ABD≌△OAC，由全等三角形的性質(zhì)得a的方程求得a便可得A的坐標(biāo)；（3）由兩直線解析式分別與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，求出M、N點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得MN的解析式，再根據(jù)解析式的特征得出MN經(jīng)過一個定點．【解答】解：（1）∵拋物線C：y＝（x﹣2）2向下平移6個單位長度得到拋物線C1，∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，∵將拋物線C1向左平移2個單位長度得到拋物線C2．∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；（2）過點A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥AC于點D，如圖1，設(shè)A（a，（a﹣2）2﹣6），則BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC（AAS），∴BD＝AC，∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，∴A（4，﹣2）或（5，3）；（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，∴xE+xF＝k，∴M（），把y＝﹣x代入y＝x2﹣6中得，x2+x﹣6＝0，∴，∴N（，），設(shè)MN的解析式為y＝mx+n（m≠0），則，解得，，∴直線MN的解析式為：，當(dāng)x＝0時，y＝2，∴直線MN：經(jīng)過定點（0，2），即直線MN經(jīng)過一個定點．【點評】本題是一個二次函數(shù)綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法，求函數(shù)圖象的交點問題，第（2）小題關(guān)鍵是證明三角形全等，第（3）題關(guān)鍵是求出M、N點的坐標(biāo)及直線MN的解析式．6（2020?湖北襄陽?12分）如圖，直線y＝﹣x+2交y軸于點A，交x軸于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，點C，且交x軸于另一點B．（1）直接寫出點A，點B，點C的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點M的坐標(biāo)；（3）將線段OA繞x軸上的動點P（m，0）順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段O′A′，若線段O′A′與拋物線只有一個公共點，請結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【分析】（1）令x＝0，由y＝﹣x+2，得A點坐標(biāo)，令y＝0，由y＝﹣x+2，得C點坐標(biāo)，將A.C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式便可求得拋物線的解析式，進(jìn)而由二次函數(shù)解析式令y＝0，便可求得B點坐標(biāo)；（2）過M點作MN⊥x軸，與AC交于點N，設(shè)M（a，），則N（a，），由三角形的面積公式表示出四邊形的面積關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，并求得a的值，便可得M點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，求得O′點和A′點的坐標(biāo)，令O′點和A′點在拋物線上時，求出m的最大和最小值便可．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，∴C（4，0），把A.C兩點代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴拋物線的解析式為，令y＝0，得＝0，解得，x＝4，或x＝﹣2，∴B（﹣2，0）；（2）過M點作MN⊥x軸，與AC交于點N，如圖1，設(shè)M（a，），則N（a，），∴＝，∵，∴S四邊形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，∴當(dāng)a＝2時，四邊形ABCM面積最大，其最大值為8，此時M的坐標(biāo)為（2，2）；（3）∵將線段OA繞x軸上的動點P（m，0）順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段O′A′，如圖2，∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，∴O′（m，m），A′（m+2，m），當(dāng)A′（m+2，m）在拋物線上時，有，解得，m＝﹣3，當(dāng)點O′（m，m）在拋物線上時，有，解得，m＝﹣4或2，∴當(dāng)﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2時，線段O′A′與拋物線只有一個公共點．【點評】本題是一個二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，求函數(shù)的最大值，三角形的面積公式，第（2）題關(guān)鍵在求函數(shù)的解析式，第（3）關(guān)鍵是確定O′，A′點的坐標(biāo)與位置．7（2020?湖北孝感?13分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）當(dāng)a＝6時，直接寫出點A，B，C，D的坐標(biāo)：A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（0，18），D（﹣2，﹣6）；（2）如圖1，直線DC交x軸于點E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的長；（3）如圖2，在（2）的條件下，若點N為OC的中點，動點P在第三象限的拋物線上，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，交AN于點F；過點F作FH⊥DE，垂足為H．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，記f＝FP+FH．①用含t的代數(shù)式表示f；②設(shè)﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．【分析】（1）當(dāng)a＝6時，拋物線的表達(dá)式為：y＝6x2+24x+18，即可求解；（2）由點C.D的坐標(biāo)得，直線CD的表達(dá)式為：y＝2ax+4a﹣6，進(jìn)而求出點E（﹣2，0），利用tan∠AED＝＝＝，即可求解；（3）①證明△FJH∽△ECO，故，則FH＝，即可求解；②f＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0），即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)a＝6時，拋物線的表達(dá)式為：y＝6x2+24x+18，令y＝0，則x＝﹣1或﹣3；當(dāng)x＝0時，y＝18，函數(shù)的對稱軸為x＝﹣2，故點A.B.C.D的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；故答案為：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；（2）y＝ax2+4ax+4a﹣6，令x＝0，則y＝4a﹣6，則點C（0，4函數(shù)的對稱軸為x＝﹣2，故點D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣6），由點C.D的坐標(biāo)得，直線CD的表達(dá)式為：y＝2ax+4a﹣令y＝0，則x＝﹣2，故點E（﹣2，0），則OE＝﹣2，tan∠AED＝＝＝，解得：a＝，故點C.E的坐標(biāo)分別為（0，﹣）、（，0），則CE＝＝；（3）①如圖，作PF與ED的延長線交于點J，由（2）知，拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣，故點A.C的坐標(biāo)分別為（﹣5，0）、（0，﹣），則點N（0，﹣），由點A.N的坐標(biāo)得，直線AN的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣；設(shè)點P（t，t2+t﹣），則點F（t，﹣t﹣）；則PF＝﹣t2﹣3t+，由點E（，0）、C的坐標(biāo)得，直線CE的表達(dá)式為：y＝x﹣，則點J（t，t﹣），故FJ＝﹣t+，∵FH⊥DE，JF∥y軸，故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO，∴△FJH∽△ECO，故，則FH＝，f＝PF+FH＝﹣t2﹣3t++（﹣t+1）＝﹣t2﹣4t+；②f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0）；∴當(dāng)﹣5＜m＜﹣3時，fmax＝﹣m2﹣4m+；當(dāng)﹣3≤m＜0時，fmax＝．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似等，綜合性較強(qiáng)，難度較大．8.（2020?江蘇省常州市?10分）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B，拋物線過點C（1，0），且頂點為D，連接AC.BC.BD.CD．（1）填空：b＝﹣4；（2）點P是拋物線上一點，點P的橫坐標(biāo)大于1，直線PC交直線BD于點Q．若∠CQD＝∠ACB，求點P的坐標(biāo)；（3）點E在直線AC上，點E關(guān)于直線BD對稱的點為F，點F關(guān)于直線BC對稱的點為G，連接AG．當(dāng)點F在x軸上時，直接寫出AG的長．【分析】（1）將點C坐標(biāo)代入解析式可求解；（2）分兩種情況討論，當(dāng)點Q在點D上方時，過點C作CE⊥AB于E，設(shè)BD與x軸交于點F，可得點E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得點F與點Q重合，即可求點P坐標(biāo)；當(dāng)點Q在點D下方上，過點C作CH⊥DB于H，在線段BH的延長線上截取HF＝QH，連接CQ交拋物線于點P，先求直線BD解析式，點F坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式可求點Q坐標(biāo)，求出CQ解析式，聯(lián)立方程組，可求點P坐標(biāo)；（3）設(shè)直線AC與BD的交點為N，作CH⊥BD于H，過點N作MN⊥x軸，過點E作EM⊥MN，連接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由軸對稱的性質(zhì)可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可證△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF＝6，由軸對稱的性質(zhì)可得點G坐標(biāo)，即可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+3的圖象過點C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案為：﹣4；（2）∵b＝4，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3∵拋物線y＝x2﹣4x+3的圖象與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B，∴點A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴點B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點D坐標(biāo)（2，﹣1），如圖1，當(dāng)點Q在點D上方時，過點C作CE⊥AB于E，設(shè)BD與x軸交于點F，∵點A（0，3），點B（4，3），點C（1，0），CE⊥AB，∴點E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∴∠BCF＝45°，∵點B（4，3），點C（1，0），點D（2，﹣1），∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴點F與點Q重合，∴點P是直線CF與拋物線的交點，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴點P（3，0）；當(dāng)點Q在點D下方上，過點C作CH⊥DB于H，在線段BH的延長線上截取HF＝QH，連接CQ交拋物線于點P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵點B（4，3），點D（2，﹣1），∴直線BD解析式為：y＝2x﹣5，∴點F（，0），∴直線CH解析式為：y＝﹣x+，∴，解得，∴點H坐標(biāo)為（，﹣），∵FH＝QH，∴點Q（，﹣），∴直線CQ解析式為：y＝﹣x+，聯(lián)立方程組，解得：或，∴點P（，﹣）；綜上所述：點P的坐標(biāo)為（3，0）或（，﹣）；（3）如圖，設(shè)直線AC與BD的交點為N，作CH⊥BD于H，過點N作MN⊥x軸，過點E作EM⊥MN，連接CG，GF，∵點A（0，3），點C（1，0），∴直線AC解析式為：y＝﹣3x+3，∴，∴，∴點N坐標(biāo)為（，﹣），∵點H坐標(biāo)為（，﹣），∴CH2＝（﹣1）2+（）2＝，HN2＝（﹣）2+（﹣+）2＝，∴CH＝HN，∴∠CNH＝45°，∵點E關(guān)于直線BD對稱的點為F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK＝，MN＝KF，∴點E的橫坐標(biāo)為﹣，∴點E（﹣，），∴MN＝＝KF，∴CF＝+﹣1＝6，∵點F關(guān)于直線BC對稱的點為G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴點G（1，6），∴AG＝＝．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，綜合性強(qiáng)，求出∠CNH＝45°是本題的關(guān)鍵．9(2020?湖南省懷化市)如圖所示，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于A.B兩點，與y軸相交于點C，點M為拋物線的頂點．（1）求點C及頂點M的坐標(biāo)．（2）若點N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接BN、CN求△BCN面積的最大值及此時點N的坐標(biāo)．（3）若點D是拋物線對稱軸上的動點，點G是拋物線上的動點，是否存在以點B.C.D.G為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．（4）直線CM交x軸于點E，若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P、E.O為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）令拋物線解析式中x＝0即可求出C點坐標(biāo)，寫出拋物線頂點式，即可求出頂點M坐標(biāo)；（2）過N點作x軸的垂線交直線BC于Q點，設(shè)N（n，n2﹣2n﹣3），求出BC解析式，進(jìn)而得到Q點坐標(biāo)，最后根據(jù)S△BCN＝S△NQC+S△NQB即可求解；（3）設(shè)D點坐標(biāo)為（1，t），G點坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），然后分成①DG是對角線；②DB是對角線；③DC是對角線時三種情況進(jìn)行討論即可求解；（4）連接AC，由CE＝CB可知∠B＝∠E，求出MC的解析式，設(shè)P（x，﹣x﹣3），然后根據(jù)△PEO相似△ABC，分成和討論即可求解．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此時y＝﹣3，故C點坐標(biāo)為（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點M的坐標(biāo)為（1，﹣4）；（2）過N點作x軸的垂線交直線BC于Q點，連接BN，CN，如圖1所示：令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），設(shè)直線BC的解析式為：y＝ax+b，代入C（0，﹣3），B（3，0）得：，解得，∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3，設(shè)N點坐標(biāo)為（n，n2﹣2n﹣3），故Q點坐標(biāo)為（n，n﹣3），其中0＜n＜3，則＝＝，（其中xQ，xC，xB分別表示Q，C，B三點的橫坐標(biāo)），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，故，其中0＜n＜3，當(dāng)時，S△BCN有最大值為，此時點N的坐標(biāo)為（），（3）設(shè)D點坐標(biāo)為（1，t），G點坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）分情況討論：①當(dāng)DG為對角線時，則另一對角線是BC，由中點坐標(biāo)公式可知：線段DG的中點坐標(biāo)為，即，線段BC的中點坐標(biāo)為，即，此時DG的中點與BC的中點為同一個點，∴，解得，經(jīng)檢驗此時四邊形DCGB為平行四邊形，此時G坐標(biāo)為（2，﹣3）；②當(dāng)DB為對角線時，則另一對角線是GC，由中點坐標(biāo)公式可知：線段DB的中點坐標(biāo)為，即，線段GC的中點坐標(biāo)為，即，此時DB的中點與GC的中點為同一個點，∴，解得，經(jīng)檢驗此時四邊形DCBG為平行四邊形，此時G坐標(biāo)為（4，5）；③當(dāng)DC為對角線時，則另一對角線是GB，由中點坐標(biāo)公式可知：線段DC的中點坐標(biāo)為，即，線段GB的中點坐標(biāo)為，即，此時DB的中點與GC的中點為同一個點，∴，解得，經(jīng)檢驗此時四邊形DGCB為平行四邊形，此時G坐標(biāo)為（﹣2，1）；綜上所述，G點坐標(biāo)存在，為（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；（4）連接AC，OP，如圖2所示：設(shè)MC的解析式為：y＝kx+m，代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得，解得∴MC的解析式為：y＝﹣x﹣3，令y＝0，則x＝﹣3，∴E點坐標(biāo)為（﹣3，0），∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠B＝∠E，設(shè)P（x，﹣x﹣3），又∵P點在線段EC上，∴﹣3＜x＜0，則，，由題意知：△PEO相似△ABC，分情況討論：①△PEO∽△CBA，∴，∴，解得，滿足﹣3＜x＜0，此時P的坐標(biāo)為；②△PEO∽△ABC，∴，∴，解得x＝﹣1，滿足﹣3＜x＜0，此時P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．綜上所述，P點的坐標(biāo)為或（﹣1，﹣2）．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性較強(qiáng)，具有一定的難度，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，學(xué)會用代數(shù)的方法求解幾何問題．10（2020?湖南省湘潭市·10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+5與x軸交于A，B兩點．（1）若過點C的直線x＝2是拋物線的對稱軸．①求拋物線的解析式；②對稱軸上是否存在一點P，使點B關(guān)于直線OP的對稱點B'恰好落在對稱軸上．若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）當(dāng)b≥4，0≤x≤2時，函數(shù)值y的最大值滿足3≤y≤15，求b的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)拋物線的對稱軸公式即可求出解析式；②如圖，若點P在x軸上方，點B關(guān)于OP對稱的點B'在對稱軸上，連接OB′、PB，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到OB'＝OB，PB'＝PB，求出點B的坐標(biāo)，利用勾股定理得到，再根據(jù)PB'＝PB，列出方程解答，同理得到點P在x軸下方時的坐標(biāo)即可；（2）當(dāng)b≥4時，確定對稱軸的位置，再結(jié)合開口方向，確定當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)的增減性，從而得到當(dāng)x＝2時，函數(shù)取最大值，再列出不等式解答即可．【解答】解：（1）①拋物線y＝﹣x2+bx+5的對稱軸為直線，∴若過點C的直線x＝2是拋物線的對稱軸，則，解得：b＝4，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x+5；②存在，如圖，若點P在x軸上方，點B關(guān)于OP對稱的點B'在對稱軸上，連接OB′、PB，則OB'＝OB，PB'＝PB，對于y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，則﹣x2+4x+5＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），∴OB'＝OB＝5，∴，∴，設(shè)點P（2，m），由PB'＝PB可得：，解得：，∴P（2，）；同理，當(dāng)點P在x軸下方時，P（2，﹣）．綜上所述，點P（2，）或P（2，﹣）；（2）∵拋物線y＝﹣x2+bx+5的對稱軸為直線，∴當(dāng)b≥4時，，∵拋物線開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)0≤x≤2時，取x＝2，y有最大值，即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，又∵b≥4，∴4≤b≤7．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，其中第（1）②問要先畫出圖形再理解，第（2）問運用到了二次函數(shù)的增減性，難度適中，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．11（2020?湖南省張家界·）如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C．直線經(jīng)過點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l與直線相交于點P，連接，判定的形狀，并說明理由；（3）在直線上是否存在點M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）的為直角三角形，理由見解析；（3）存在使與直線的夾角等于的2倍的點，且坐標(biāo)為M1（），M2（，）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直線經(jīng)過點，即可確定B.C的坐標(biāo)，然后用帶定系數(shù)法解答即可；（2）先求出A.B的坐標(biāo)結(jié)合拋物線的對稱性，說明三角形APB為等腰三角形；再結(jié)合OB=OC得到∠ABP=45°，進(jìn)一步說明∠APB=90°，則∠APC=90°即可判定的形狀；（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，AC于E；然后說明△ANB為等腰直角三角形，進(jìn)而確定N的坐標(biāo)；再求出AC的解析式，進(jìn)而確定M1E的解析式；然后聯(lián)立直線BC和M1E的解析式即可求得M1的坐標(biāo)；在直線BC上作點M1關(guān)于N點的對稱點M2，利用中點坐標(biāo)公式即可確定點M2的坐標(biāo)【詳解】解：（1）∵直線經(jīng)過點∴當(dāng)x=0時，可得y=5，即C的坐標(biāo)為（0，5）當(dāng)y=0時，可得x=5，即B的坐標(biāo)為（5，0）∴解得∴該拋物線的解析式為（2）的為直角三角形，理由如下：∵解方程=0，則x1=1，x2=5∴A（1，0），B（5，0）∵拋物線的對稱軸l為x=3∴△APB為等腰三角形∵C的坐標(biāo)為（5，0），B的坐標(biāo)為（5，0）∴OB=CO=5，即∠ABP=45°∴∠ABP=45°，∴∠APB=180°-45°-45°=90°∴∠APC=180°-90°=90°∴的為直角三角形；（3）如圖：作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，AC于E，∵M(jìn)1A=M1∴∠ACM1=∠CAM1∴∠AM1B=2∠ACB∵△ANB為等腰直角三角形.∴AH=BH=NH=2∴N（3，2）設(shè)AC的函數(shù)解析式為y=kx+b∵C(0，5)，A(1，0)∴解得b=5，k=-5∴AC的函數(shù)解析式為y=-5x+5設(shè)EM1的函數(shù)解析式為y=x+n∵點E的坐標(biāo)為（）∴=×+n，解得：n=∴EM1的函數(shù)解析式為y=x+∵解得∴M1的