高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊(cè)課件1-1-1空間向量及其運(yùn)算

1.1.1空間向量及其運(yùn)算第一章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.理解空間向量的概念,掌握空間向量的表示方法.(數(shù)學(xué)抽象)2.學(xué)會(huì)空間向量的線性運(yùn)算及它們的運(yùn)算律.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能用空間向量的線性運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題.(邏輯推理)4.理解空間向量夾角的概念,并掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運(yùn)算律.(數(shù)學(xué)抽象)5.能用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的角度和長(zhǎng)度等問(wèn)題.(邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思一天,梭子魚(yú)、蝦和天鵝發(fā)現(xiàn)路上有一輛車,上面裝滿了好吃的東西,于是就想把車子從路上拖下來(lái),三個(gè)家伙一齊鉚足了勁,使出了平生的力氣一起拖車,可是,無(wú)論它們?cè)鯓佑昧?小車還是在老地方一步也動(dòng)不了.原來(lái),天鵝使勁往天上提,蝦一步步向后倒拖,梭子魚(yú)又朝著池塘拉去.同學(xué)們,你們知道這樣拉車,車子為什么不動(dòng)嗎?知識(shí)點(diǎn)撥1.空間向量的概念

空間向量空間中既有大小,又有方向的量零向量、單位向量始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量,記為0.模等于1的向量稱為單位向量,一般記為e向量的模(或長(zhǎng)度)表示向量a的有向線段的長(zhǎng)度,記作|a|相等向量大小相等、方向相同的向量平行向量(或共線向量)方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量共面向量空間中的多個(gè)向量,如果表示它們的有向線段通過(guò)平移之后,都能在同一平面內(nèi)微判斷(1)兩個(gè)有共同始點(diǎn)且相等的向量,其終點(diǎn)必相同.(

)(2)兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量.(

)(3)在空間中,任意一個(gè)向量都可以進(jìn)行平移.(

)(4)模相等的向量不一定是相等向量.(

)(5)表示兩個(gè)平行向量的有向線段所在的直線一定不重合.(

)答案

(1)√

(2)×

(3)√

(4)√

(5)×微練習(xí)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,與向量

相等的向量共有(

)個(gè)

個(gè)個(gè)

個(gè)答案

C2.空間向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算律

(3)數(shù)乘:λa,①當(dāng)λ≠0,a≠0時(shí),|λa|=|λ||a|,而且λa的方向:當(dāng)λ>0時(shí),λa與a方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a方向相反;②當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0.(4)線性運(yùn)算律

①加法交換律:a+b=b+a;②加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c);③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.名師點(diǎn)析空間向量的線性運(yùn)算中,加法滿足三角形法則和平行四邊形法則,減法滿足三角形法則.(2)以向量a,b對(duì)應(yīng)的有向線段為鄰邊的平行四邊形中,a+b與a-b對(duì)應(yīng)的有向線段所表示的是兩條對(duì)角線,|a+b|與|a-b|為兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度.(3)三個(gè)不共面的向量和,等于以這三個(gè)向量對(duì)應(yīng)的有向線段為鄰邊的平行六面體中,與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的體對(duì)角線所表示的向量.微判斷(1)空間中兩個(gè)非零向量相加時(shí),可以在空間中任取一點(diǎn)作為它們的共同始點(diǎn).(

)(2)實(shí)數(shù)λ與空間向量a相乘的結(jié)果可以是0.(

)(3)若a=λb(b≠0),則λ=.(

)答案

(1)√

(2)×

(3)×微練習(xí)1A.a+b+c

B.a+b-cC.a-b-c

D.-a+b+c答案

C微練習(xí)2微思考首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形,它們的和向量有什么特點(diǎn)?提示

和向量為0.3.空間向量的夾角

微判斷

答案

×微思考兩個(gè)非零向量共線時(shí),其夾角分別是多少?提示

兩個(gè)非零向量共線且同向時(shí),<a,b>=0;兩個(gè)非零向量共線且反向時(shí),<a,b>=π.4.空間向量的數(shù)量積(1)定義:空間中已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos<a,b>叫做a,b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積),記作a·b.即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0.微判斷若非零向量a,b為共線且同向的向量,則a·b=|a||b|.(

)答案

√微思考兩個(gè)向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量有何不同?提示

兩個(gè)向量的數(shù)量積是它們的模與其夾角的余弦值的乘積,其結(jié)果是實(shí)數(shù);數(shù)乘向量是一個(gè)數(shù)與一個(gè)向量的乘積,其結(jié)果仍是一個(gè)向量,如0·a=0,而0·a=0.5.空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1)a⊥b?a·b=0(a,b均是非零向量);(2)a·a=|a|2=a2;(3)|a·b|≤|a||b|;(4)(λa)·b=λ(a·b);(5)a·b=b·a(交換律);(6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).名師點(diǎn)析(1)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算符號(hào)是“·”,不能省略,更不能寫(xiě)成“×”;(2)空間向量的數(shù)量積(內(nèi)積)是一個(gè)實(shí)數(shù)而不是一個(gè)向量,它有別于數(shù)乘向量;(3)若a·b=k,不能得出(4)a⊥b的充要條件是a·b=0,這是用向量證明空間中垂直關(guān)系的根本方法,同時(shí)也說(shuō)明了命題“a·b=0?a=0或b=0”是錯(cuò)誤的.微判斷(1)對(duì)于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(

)(2)對(duì)于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).(

)答案

(1)×

(2)×微練習(xí)已知|a|=1,|b|=,且a-b與a垂直,則a與b的夾角為(

)°

°

°

°答案

D解析

∵a-b與a垂直,∴(a-b)·a=0,∵

0°≤<a,b>≤180°,∴<a,b>=45°.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一空間向量的概念例1給出下列命題:①兩個(gè)空間向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同;②若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=b;③在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有;④若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p;⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.其中正確的個(gè)數(shù)為(

)答案

C解析

當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同時(shí),這兩個(gè)向量必相等;但兩個(gè)向量相等,不一定有起點(diǎn)相同、終點(diǎn)相同,故①錯(cuò);根據(jù)向量相等的定義,要保證兩向量相等,不僅模要相等,而且方向還要相同,但②中向量a與b的方向不一定相同,故②錯(cuò);根據(jù)正方體的性質(zhì),在正方體ABCD-A1B1C1D1中,向量

的方向相同,模也相等,所以

,故③正確;命題④顯然正確;對(duì)于命題⑤,空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤錯(cuò).所以正確的個(gè)數(shù)為2.反思感悟解決有關(guān)向量概念的問(wèn)題,要熟練掌握空間向量的有關(guān)概念,注意區(qū)分向量與向量的模以及數(shù)量.相等向量只需方向相同,長(zhǎng)度相等,與向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)沒(méi)有必然的聯(lián)系.尤其要注意解決此類概念問(wèn)題時(shí),要多結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析,并要與平面向量中的結(jié)論進(jìn)行類比.變式訓(xùn)練1下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是(

)A.空間向量不滿足加法結(jié)合律B.若|a|=|b|,則a,b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反D.相等向量其方向必相同

答案

D解析

A中,空間向量滿足加法結(jié)合律;B中,|a|=|b|只能說(shuō)明a,b的長(zhǎng)度相等而方向不確定;C中,向量作為矢量不能比較大小,故選D.探究二空間向量的線性運(yùn)算例2如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D',化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.例3已知在平行六面體ABCD

-

A'B'C'D'中,M為CC'的中點(diǎn)(如圖).化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.反思感悟(1)對(duì)于借助幾何圖形的向量運(yùn)算,應(yīng)該在線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上挖掘好幾何體中本身的特征,如平行、相等、垂直等.(2)化歸與轉(zhuǎn)化思想意識(shí)要加強(qiáng),除借助向量的運(yùn)算律外,還可以將已知向量轉(zhuǎn)化為與之相等的向量以方便其運(yùn)算,如例3中第(2)問(wèn)將A.①② B.②③

C.③④ D.①④答案

A探究三求向量的數(shù)量積例4已知長(zhǎng)方體ABCD

-

A'B'C'D',AB=AA'=2,AD=4,E為側(cè)面AB'的中心,F為A'D'的中點(diǎn),計(jì)算下列數(shù)量積:反思感悟求兩個(gè)向量m,n的數(shù)量積一般分為兩個(gè)層次:一是結(jié)合圖形確定向量m,n的模及<m,n>的大小,直接利用空間向量數(shù)量積的定義來(lái)求,此種情況下要注意向量夾角的正確性;二是選定一組基向量表示向量m,n,從而把m,n的數(shù)量積通過(guò)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基向量之間的數(shù)量積來(lái)求.當(dāng)題目中沒(méi)有明確基底的時(shí)候,合理選取基底是至關(guān)重要的,比如此題的基底選取既方便向量表示,又方便計(jì)算.變式訓(xùn)練4已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1.求:探究四利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題例5如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求證:PA⊥BD.反思感悟(1)由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b=0可知,要證兩直線垂直,可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量(a,b是非零向量),只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.(2)用向量法證明線面(面面)垂直,離不開(kāi)線面(面面)垂直的判定定理,需將線面(面面)垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,然后利用向量法證明線線垂直.變式訓(xùn)練5如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC與BD的交點(diǎn),G為CC1的中點(diǎn),求證:A1O⊥平面GBD.又∵OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面GBD,∴A1O⊥平面GBD.探究五利用數(shù)量積求解距離或長(zhǎng)度問(wèn)題例6平行四邊形ABCD中,AB=2AC=2且∠ACD=90°,將它沿對(duì)角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B,D間的距離.反思感悟利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離,可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題,其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量,將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式,求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a|=求解.變式訓(xùn)練6在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD