2020年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編09：三角形及全等三角形

2020年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編之九三角形選擇題3.（2020北京）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1＞∠4+∠5D.∠2＜∠5【解析】由兩直線相交，對(duì)頂角相等可知A正確；由三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可知B選項(xiàng)的∠2＞∠3，C選項(xiàng)∠1=∠4+∠5，D選項(xiàng)的∠2＞∠5.故選A.4．（2020廣州）△ABC中，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，若∠C=68°，則∠AED=（*）．（A）22° （B）68°（C）96° （D）112°【答案】B3.（2020福建）如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點(diǎn)，則的面積是（）A.1 B. C. D.【答案】D【詳解】∵分別是，，的中點(diǎn),且△ABC是等邊三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面積是．故選D．5.（2020福建）如圖，是等腰三角形的頂角平分線，，則等于（）A.10 B.5 C.4 D.3【答案】B【詳解】∵是等腰三角形的頂角平分線∴CD=BD=5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的三線合一，關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)．6．（2020陜西）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A． B． C． D．【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，∴，∴，∴BD＝，故選：D．11．(2020天津)如圖，在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，延長交于點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．答案:D16.（2020河北）如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，4【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)三個(gè)正方形的邊長分別為a、b、c，由勾股定理，得，A、∵1+4=5，則兩直角邊分別為：1和2，則面積為：；B、∵2+3=5，則兩直角邊分別為：和，則面積為：；C、∵3+4≠5，則不符合題意；D、∵2+2=4，則兩直角邊分別為：和，則面積為：；∵，故選：B．7（2020樂山）.觀察下列各方格圖中陰影部分所示的圖形（每一小方格的邊長為），如果將它們沿方格邊線或?qū)蔷€剪開重新拼接，不能拼成正方形的是（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由方格的特點(diǎn)可知，選項(xiàng)A陰影部分的面積為6，選項(xiàng)B、C、D陰影部分的面積均為5如果能拼成正方形，那么選項(xiàng)A拼接成的正方形的邊長為，選項(xiàng)B、C、D拼接成的正方形的邊長為觀察圖形可知，選項(xiàng)B、C、D陰影部分沿方格邊線或?qū)蔷€剪開均可得到如圖1所示的5個(gè)圖形，由此可拼接成如圖2所示的邊長為的正方形而根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理可知，選項(xiàng)A陰影部分沿著方格邊線或?qū)蔷€剪開不能得到邊長為的正方形故選：A．7（2020四川綿陽）如圖，在四邊形ABCD中，，DF//BC,∠ABC的平分線BE交DF于點(diǎn)G,GH⊥DF,點(diǎn)E恰好為DH的中點(diǎn)，若AE=3,CD=2,則GH=()A.1B.2C.3D.4【解析】本題考查角平分線性質(zhì)和三角形中位線定理。過E作EM⊥BC交DF于N.∵BE平分∠ABC，∠A=∠C=90°，∴EM=AE=3,四邊形DCMN是矩形，MN=DC=2.∴EN=1.∵E是HD的中點(diǎn)，∴HG=2EN=2.故選B.9（2020四川綿陽）在螳螂的示意圖中，AB∥DE,△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE=72°，則∠ACD=（）.A.16°B.28°C.44°D.45°【解析】延長CD交AB于點(diǎn)F。則∠CFG=∠CDE=72°?！摺鰽BC是等腰三角形，∠ABC＝124°∴∠A=（180°-124°）÷2=28°?！唷螦CD=∠CFG-∠A=72°-28°=44°。故選C.9.（2020無錫）如圖，在四邊形中，，，，把沿著翻折得到，若，則線段的長度為（）A. B. C. D.解：如圖∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，延長交于，∴，則，，過點(diǎn)作，設(shè)，則，，∴，∴在中，，即，解得：，∴．故選B．11.如圖，在△ABC中，AC=22，∠ABC=45°，∠BAC=15°，將△ACB沿直線AC翻折至△ABC所在的平面內(nèi)，得△ACD.過點(diǎn)A作AE，使∠DAE=∠DAC，與CD的延長線交于點(diǎn)E，連接BE，則線段BEA.6B.3C.23D.解析：依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，△ABC≌△EBC，BE=BA.延長BC交AE于F，則∠AFC=90°，易得AF=6.答案C.9．（2020新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)）（5分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，作BC的垂線交BC于點(diǎn)F，若AB＝CE，且△DFE的面積為1，則BC的長為（）A．25 B．5 C．45 D．10解：過A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵DE∥BC，∴AE＝CE，∴DE=12∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF＝HF，∴DF=12∵△DFE的面積為1，∴12DE?DF∴DE?DF＝2，∴BC?AH＝2DE?2DF＝4×2＝8，∴AB?AC＝8，∵AB＝CE，∴AB＝AE＝CE=12∴AB?2AB＝8，∴AB＝2（負(fù)值舍去），∴AC＝4，∴BC=AB2故選：A．6．（2020四川南充）（4分）如圖，在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，則CD＝（）A．a(chǎn)+b2 B．a(chǎn)-b2 C．a(chǎn)﹣b D．b解：∵在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，∴∠ABD＝36°＝∠A，∴BD＝AD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，∴BD＝BC，∵AB＝AC＝a，BC＝b，∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，故選：C．7．（2020江蘇連云港）（3分）10個(gè)大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi)，、、、、、均是正六邊形的頂點(diǎn)．則點(diǎn)是下列哪個(gè)三角形的外心A． B． C． D．解：三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，從點(diǎn)出發(fā)，確定點(diǎn)分別到，，，，的距離，只有，點(diǎn)是的外心，故選：．11．（2020廣西南寧）（3分）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸解：過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r，則AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：C．9．（2020廣西玉林）（3分）（2020?玉林）如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東35°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西55°方向，則A，B，C三島組成一個(gè)（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD∥AE交AB于點(diǎn)D，∴∠DCA＝∠EAC＝35°，∵AE∥BF，∴CD∥BF，∴∠BCD＝∠CBF＝55°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣55°，＝35°，∵CD∥AE，∴∠EAC＝∠ACD＝35°，∴∠CAD＝∠EAD﹣∠CAE＝80°﹣35°＝45°，∴∠ABC＝∠ACB﹣∠CAD＝45°，∴CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形．故選：A．3．（3分）（2020?徐州）若一個(gè)三角形的兩邊長分別為3cm、6cm，則它的第三邊的長可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【解答】解：設(shè)第三邊長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：6﹣3＜x＜6+3，解得：3＜x＜9，故選：C．9．（3分）（2020?煙臺(tái)）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明用邊長為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板，并設(shè)計(jì)了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中陰影部分的面積為5cm2的是（）A． B． C． D．【解答】解：最小的等腰直角三角形的面積=18×12×42＝1（cm2），平行四邊形面積為2cm2，中等的等腰直角三角形的面積為2A、陰影部分的面積為2+2＝4（cm2），不符合題意；B、陰影部分的面積為1+2＝3（cm2），不符合題意；C、陰影部分的面積為4+2＝6（cm2），不符合題意；D、陰影部分的面積為4+1＝5（cm2），符合題意．故選：D．10．（3分）（2020?煙臺(tái)）如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，則EF的長度為（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4【解答】解：∵點(diǎn)G為△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF=12AC=9．（2020四川自貢）（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則∠ACD的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．30° D．20°解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC=1∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故選：D．14．（2020青海）（3分）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（）A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°解：分情況討論：（1）若等腰三角形的頂角為70°時(shí)，另外兩個(gè)內(nèi)角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；（2）若等腰三角形的底角為70°時(shí)，它的另外一個(gè)底角為70°，頂角為180°﹣70°﹣70°＝40°．故選：D．7．（3分）（2020?懷化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，若BD＝3，則DE的長為（）A．3 B．32 C．2 選：A．7．（2020浙江寧波）（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連結(jié)DE，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連結(jié)BF．若AC＝8，BC＝6，則BF的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．4解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=A又∵CD為中線，∴CD=12∵F為DE中點(diǎn)，BE＝BC即點(diǎn)B是EC的中點(diǎn)，∴BF是△CDE的中位線，則BF=12故選：B．10．（2020浙江寧波）（4分）△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi)．若求五邊形DECHF的周長，則只需知道（）A．△ABC的周長 B．△AFH的周長 C．四邊形FBGH的周長 D．四邊形ADEC的周長【解答】解：∵△GFH為等邊三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，∴BE＝FH，∴五邊形DECHF的周長＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周長即可．故選：A．填空題14.（2020北京）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）.只需添加一個(gè)條件即可證明△ABD≌△ACD，這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)即可）【解析】答案不唯一，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，要使△ABD≌△ACD，則可以填∠BAD=∠CAD或者BD=CD或AD⊥BC均可.15.（2020北京）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格交點(diǎn)，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：（填“＞”，“＝”或“＜”）【解析】由網(wǎng)格圖可得，∴面積相等，答案為“=”14．（2020廣州）如圖6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)B在x軸上，把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為*．【答案】（4,3）19．（2020哈爾濱）（3分）在中，，為邊上的高，，，則的長為5或7．解：在中，，，，如圖1、圖2所示：，，故答案為：7或5．11（2020江西）.如圖，平分，，的延長線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．【解析】CD=CB，∠ACD=∠ACB，CA=CA，∴△CAD≌△CAB，∴∠B=∠D，設(shè)∠ACB=，∠B=，則∠ACD=，∠D=，∠EAC為△ACD的一個(gè)外角，∴，在△ABC中有內(nèi)角和為180°，∴，∴∠BAC=131°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=82°，故答案為82°17.（2020四川綿陽）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠AMD=90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為。答案：【解析】解：∵四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，∴∠DAC=∠ABC=60°∠DAC=∠CAB=30°，∴∠ACB=90°。當(dāng)M在AC上時(shí)，M到AC的距離最小。如圖：AC=,在RT△AMD中，AM=AD=4×=2.∴CM=AC-AM=-2=.故填：。15.（2020貴陽）如圖，中，點(diǎn)在邊上，，，垂直于的延長線于點(diǎn)，，，則邊的長為_____．【答案】解：如圖，延長BD到點(diǎn)G，使DG=BD，連接CG，則CB=CG，在EG上截取EF=EC，連接CF，則∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，∴FC=FG，設(shè)CE=EF=x，則AE=BE=11－x，∴DE=8－（11－x）=x－3，∴DF=x－（x－3）=3，∵DG=DB=8，∴FG=5，∴CF=5，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，得，∴．故答案為：．14．（2020貴州黔西南）（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，則BD的長度為23．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD=12∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD，∵BC＝33，∴CD+2CD＝33，∴CD=3，∴DB＝23故答案為：23．12.（2020湖北黃岡）已知：如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，則_______度．解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：40．15.（2020湖北黃岡）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲醒?，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊問水深幾何？”（注：丈、尺是長度單位，1丈=10尺）這段話翻譯成現(xiàn)代漢語，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為1丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．則水池里水的深度是_______________尺．解：設(shè)這個(gè)水池深x尺，

由題意得，x2+52=（x+1）2，

解得：x=12

答：這個(gè)水池深12尺．故答案為：12．13．（2020齊齊哈爾）（（3分）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個(gè)條件是．（只填一個(gè)即可）AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）故答案為AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．15．（2020齊齊哈爾）（（3分）等腰三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個(gè)等腰三角形的周長是10或11．解：①3是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、4，∵此時(shí)能組成三角形，∴周長＝3+3+4＝10；②3是底邊長時(shí)，三角形的三邊分別為3、4、4，此時(shí)能組成三角形，所以周長＝3+4+4＝11．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長是10或11．故答案為：10或11．17．（2020上海）（4分）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝3，聯(lián)結(jié)AD．如果將△ACD沿直線AD翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么點(diǎn)E到直線BD的距離為332【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE?sin60°=3∴E到直線BD的距離為33故答案為3315．（2020遼寧撫順）（3分）如圖，在△ABC中，M，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，連接ME并延長，交BC的延長線于點(diǎn)D．若BC＝4，則CD的長為2．解：∵M(jìn)，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN＝BC＝2，MN∥BC，∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，∵點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2．故答案為：2．13．（2020黑龍江龍東）（3分）如圖，和中，，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件或或等），使和全等．【解答】解：添加的條件是：，理由是：在和中，，故答案為：．12．（2020湖南岳陽）（4分）（2020?岳陽）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∠A＝20°，則∠BCD＝70°．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝20°，則∠B＝70°，∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴BD＝CD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝70°，故答案為70．13．（3分）（2020?徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分別為AB、BC、CA的中點(diǎn)，若BF＝5，則DE＝5．【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F(xiàn)為CA的中點(diǎn)，BF＝5，∴AC＝2BF＝10．又∵D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴DE是Rt△ABC的中位線，∴DE=12故答案是：5．（2020東莞）若等邊的邊長為2，則該三角形的高為_________.答案：7．（2020青海）（2分）已知a，b，c為△ABC的三邊長．b，c滿足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a為方程|x﹣4|＝2的解，則△ABC的形狀為等腰三角形．解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，∵a為方程|a﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c為△ABC的三邊長，b+c＜6，∴a＝6不合題意，舍去，∴a＝2，∴a＝b＝2，∴△ABC是等腰三角形，故答案為：等腰．14．（2020山東濱州）（5分）在等腰中，，，則的大小為．14．（3分）（2020?懷化）如圖，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，則∠D＝130°．證明：∵在△ADC和△ABC中AD=ABAC=AC∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B，∵∠B＝130°，∴∠D＝130°，16．（4分）（2020?株洲）如圖所示，點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作CF∥BE，交DE的延長線于點(diǎn)F，若EF＝3，則DE的長為32【解答】解：∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=1∵CF∥BE，∴四邊形BCFE為平行四邊形，∴BC＝EF＝3，∴DE=1故答案為：32解答題27.（2020北京）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點(diǎn).E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE，交直線BC于點(diǎn)F，連接EF.（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【解析】（1）∵D是AB的中點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線∴DE∥BC，∵∠C=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°∴四邊形DECF為矩形，∴DE=CF=，∴BF=CF，∴BF=CF，∴DF=CE=AC，∴.（2）過點(diǎn)B作AC的平行線交ED的延長線于點(diǎn)G，連接FG.∵BG∥AC，∴∠EAD=∠GBD，∠DEA=∠DGB∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴△EAD≌△GBD（AAS）∴ED=GD，AE=BG.∵DF⊥DE，∴DF是線段EG的垂直平分線∴EF=FG∵∠C=90°，BG∥AC，∴∠GBF=90°，在Rt△BGF中，，∴18、（2020廣州）（本小題滿分9分）如圖8，AB=AD，∠BAC=∠DAC=25°，∠D=80°．求∠BCA的度數(shù)．【詳解過程】在△ACD中，∵∠DAC=25°，∠D=80°，∴∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-80°=75°。在△ACB和△ACD中∴△ACB≌△ACD(SAS)∴∠BCA=∠DCA=75°。24．（2020哈爾濱）（8分）已知：在中，，點(diǎn)、點(diǎn)在邊上，，連接、．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)等腰三角形，使寫出的每個(gè)等腰三角形的頂角都等于．【解答】（1）證明：，，在和中，，，；（2），，，，，，，，，滿足條件的等腰三角形有：，，，．25.(2020蘇州）問題1：如圖①，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求證：．問題2：如圖②，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求的值．【答案】問題1：見解析；問題2：【詳解】問題1：證明：∵，∴．∵，∴．∴．在和中，，∴．∴，，∴．問題2：如圖，分別過點(diǎn)、作的垂線，垂足為、．由（1）可知，在和中，，∴，，，．∴，．∴．19．（2020南京）（8分）如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，求證：．證明：在與中，．．．18.已知：如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，求證：．證明：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，．在中，，．在和中，，．21.（2020無錫）如圖，已知，，．求證：（1）；（2）．證明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵BE=CF，∴BE-EF=CF-EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴∠AFE=∠DEF，∴AF∥DE．26.（2020重慶A卷）如圖，在中，，，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF．（1）求證：；（2）如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)時(shí)，分別延長CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P，使的值最?。?dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，AP的長為m，請(qǐng)直接用含m的式子表示CE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）解：（1）證明如下：∵，∴，∵，，∴在和中，∴，∴，∴，在中，F(xiàn)為DE中點(diǎn)（同時(shí)），，∴，即為等腰直角三角形，∴，∵，∴；（2）由（1）得，，，∴，在中，，∵F為DE中點(diǎn)，∴，在四邊形ADCE中，有，，∴點(diǎn)A，D，C，E四點(diǎn)共圓，∵F為DE中點(diǎn)，∴F為圓心，則，在中，∵，∴F為CG中點(diǎn)，即，∴，即；（3）設(shè)點(diǎn)P存在，由費(fèi)馬定理可得，∴，設(shè)PD，∴，又，∴，又∴．26.（2020重慶B卷）△ABC為等邊三角形，AB=8，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線段AD上一點(diǎn)，AE=23.以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE，（1）如圖1，EF與AC交于點(diǎn)G，連接NG，求線段NG的長；（2）如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，M為線段EF的中點(diǎn)，連接DN，MN.當(dāng)30°<α<120°時(shí)，猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論；（3）連接BN，在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段BN最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ADN的面積.提示：（1）易得∠CGE=90°，NG=12CE，CD=4，DE=23.答案：NG=（2）∠DNM的為定值120°.連CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如圖.易得：BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF.因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.（3）△AND的面積為7如圖，取AC中點(diǎn)P，因?yàn)锽P+PN≥BN，所以當(dāng)B、P、N在一直線上，BN最大.易得BN=BP+PN=BP+12AE=設(shè)BP與AD交于O，NQ⊥AD于Q，如圖.易得BO=23BP=833，ON=733，BD=4，△ONQ∽△OBD∴△AND的面積為：12×AD×NQ=718．（2020四川南充）（8分）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求證：AB＝CD．【解答】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CEDBC=DE∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．25．（2020遼寧撫順）（12分）如圖，射線AB和射線CB相交于點(diǎn)B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點(diǎn)D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點(diǎn)E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，α＝120°時(shí)，請(qǐng)寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)α＝120°，tan∠DAB＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．解：（1）連接AC，如圖①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四點(diǎn)共圓，∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；（2）AE＝BE+CE，理由如下：在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點(diǎn)B作BH⊥EF于H，如圖②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣∠FBE）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，F(xiàn)H＝EH，在Rt△BHE中，BH＝BE，F(xiàn)H＝EH＝BH＝BE，∴EF＝2EH＝2×BE＝BE，∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴AE＝BE+CE；（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點(diǎn)B作BH⊥EF于H，如圖②所示：由（2）得：FH＝EH＝BE，∵tan∠DAB＝＝，∴AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH﹣FH＝BE﹣BE＝BE，∴＝；②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，在射線AD上截取AF＝CE，連接BF，過點(diǎn)B作BH⊥EF于H，如圖③所示：同①得：FH＝EH＝BE，AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH+FH＝BE+BE＝BE，∴＝；綜上所述，當(dāng)α＝120°，tan∠DAB＝時(shí)，的值為或．18．（2020吉林）（5分）如圖，在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D在邊AB上，且BD＝CA，過點(diǎn)D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且點(diǎn)C，E在AB同側(cè)，連接BE．求證：△DEB≌△ABC．證明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB與△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS）．26．（2020黑龍江龍東）（8分）如圖①，在中，，，點(diǎn)、分別在、邊上，，連接、、，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，連接、、．（1）與的數(shù)量關(guān)系是．（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②和圖③的位置，判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．【解答】解：（1）如圖①中，，，，，，，，，，，，，，，，，，的等腰直角三角形，，，，故答案為．（2）如圖②中，結(jié)論仍然成立．理由：連接，延長交于點(diǎn)．和是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，、、分別為、、的中點(diǎn)，，，，，，，．26．（2020黑龍江牡丹江）（8分）在等腰中，，點(diǎn)，在射線上，，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)．請(qǐng)解答下列問題：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上，是的角平分線時(shí)，如圖①，求證：；（提示：延長，交于點(diǎn)．（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，是的角平分線時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，是的外角平分線時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若，則18或6．【解答】解：（1）如圖①，延長，交于點(diǎn)．，，，，，，，又，，，又，，，，即；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，是的角平分線時(shí)，，如圖②，延長，交于點(diǎn)．由①同理可證，，由①證明過程同理可得出，，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，是的外角平分線時(shí)，．如圖③，延長交于點(diǎn)，由上述證明過程易得，，，又，，，，，；（3）或6，當(dāng)時(shí)，圖①中，由（1）得：，，；圖②中，由（2）得：，，；圖③中，小于，故不存在．故答案為18或6．26．（10分）（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．【解答】證明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，AC∥DM，∴BMBC即M是BC的中點(diǎn)，∵EP＝CE，即E是PC的中點(diǎn)，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC＝②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是線段BP的垂直平分線，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如圖2，延長DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分線，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分線，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．23．（8分）（2020?徐州）如圖，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝BD；（2）求∠AFD的度數(shù)．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（2）∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ANC＝90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B，∵∠ANC＝∠BNF，∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°，∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．19．（9分）（2020?荊門）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分線交AC于D，AE∥BC交BD的延長線于點(diǎn)E，AF⊥AB交BE于點(diǎn)F．（1）若∠BAC＝40°，求∠AFE的度數(shù)；（2）若AD＝DC＝2，求AF的長．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC=12（180°﹣40°）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∴∠AFE＝∠ABD+∠BAF＝35°+90°＝125°；（2）∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC，在△ADE和△CDB中，∠E=∠DBC∠ADE=∠CDB∴△ADE≌△CDB（AAS），∴AE＝BC，∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD，∴AB＝AE，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABF＝30°，∵AD＝DC＝2，∴AB＝AC＝4，在Rt△ABF中，AF＝AB?tan∠ABF＝4×tan30°＝4×324．（12分）（2020?煙臺(tái)）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問題解決】如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【解答】【問題解決】證明：在CD上截取CH＝CE，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等邊三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，DE=FE∠DEH=∠FEC∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【類比探究】解：線段CE，CF與CD之間的等量關(guān)系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，過D作DG∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)G，如圖2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD為等邊三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF為等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，ED=DF∠EDG=∠FDCDG=CD∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．20．（2020山西）（8分）閱讀與思考如圖是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．×年×月×日星期日沒有直角尺也能作出直角今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖①所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線AB，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過AB上的一點(diǎn)C，作出AB的垂線，用鋸子進(jìn)行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分別以D，C為圓心，以50cm與40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作直線CE，則∠DCE必為90°．辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點(diǎn)出M，N兩點(diǎn)，然后把木棒斜放在木板上，使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，用鉛筆在木板上將點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)Q，保持點(diǎn)N不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在AB上，在木板上將點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)R．然后將RQ延長，在延長線上截取線段QS＝MN，得到點(diǎn)S，作直線SC，則∠RCS＝90°．我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？……任務(wù)：（1）填空：“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是勾股定理的逆定理；（2）根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明∠RCS＝90°；（3）①尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D③的木板上，過點(diǎn)C作出AB的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）；②說明你的作法所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)（寫出一個(gè)即可）．解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，∴∠DCE＝90°，故“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是勾股定理的逆定理；故答案為：勾股定理的逆定理；（2）由作圖方法可知，QP＝QC，QS＝QC，∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，∵∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC＝180°，∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，∴∠QCR+∠QCS＝90°，即∠RCS＝90°；（3）①如圖③所示，直線PC即為所求；②答案不唯一，到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．27．（2020青海）（10分）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G．特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B．通過觀察、測(cè)量BF與CG的長度，得到BF＝CG．請(qǐng)給予證明．猜想