2020中考數(shù)學(xué)真題分類匯編 專題37 操作探究

操作探究[一.選擇題1.（2020?貴州省安順市?3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺規(guī)在BC，BA上分別截取BE，BD，使BE＝BD；分別以D，E為圓心、以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若CG＝1，P為AB上一動點(diǎn)，則GP的最小值為（）A．無法確定 B． C．1 D．2【分析】如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明GH＝GC＝1，利用垂線段最短即可解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H．由作圖可知，GB平分∠ABC，∵GH⊥BA，GC⊥BC，∴GH＝GC＝1，根據(jù)垂線段最短可知，GP的最小值為1，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．二.填空題1.2.三.解答題1.（2020?黑龍江省齊齊哈爾市?12分）綜合與實(shí)踐在線上教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識，掌握了許多新技能．例如教材八年級下冊的數(shù)學(xué)活動﹣﹣折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣．在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖①．（1）折痕BM是（填“是”或“不是”）線段AN的垂直平分線；請判斷圖中△ABN是什么特殊三角形？答：等邊三角形；進(jìn)一步計算出∠MNE＝60°；（2）繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖②，則∠GBN＝15°；拓展延伸：（3）如圖③，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，并且折痕交BC邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平，連接AA'交ST于點(diǎn)O，連接AT．求證：四邊形SATA'是菱形．解決問題：（4）如圖④，矩形紙片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，并且折痕交AB邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平．同學(xué)們小組討論后，得出線段AT的長度有4，5，7，9．請寫出以上4個數(shù)值中你認(rèn)為正確的數(shù)值7，9．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可證△ABN是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）由折疊的性質(zhì)可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；（3）由折疊的性質(zhì)可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可證△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可證四邊形SATA'是菱形；（4）先求出AT的范圍，即可求解．【解答】解：（1）如圖①∵對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等邊三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案為：是，等邊三角形，60；（2）∵折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案為：15°；（3）∵折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四邊形ASA'T是平行四邊形，又∵AA'⊥ST，∴邊形SATA'是菱形；（4）∵折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處，∴AT＝A'T，在Rt△A'TB中，A'T＞BT，∴AT＞10﹣AT，∴AT＞5，∵點(diǎn)T在AB上，∴當(dāng)點(diǎn)T與點(diǎn)B重合時，AT有最大值為10，∴5＜AT≤10，∴正確的數(shù)值為7，9，故答案為：7，9．【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．2.(2020?江蘇省徐州市?10分)我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果＝，那么稱點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)．它們的比值為．(1)在圖①中，若AC＝20cm，則AB的長為(10)cm；(2)如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG．試說明：G是AB的黃金分割點(diǎn)；(3)如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)E(AE＞DE)，連接BE，作CF⊥BE，交AB于點(diǎn)F，延長EF、CB交于點(diǎn)P．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿足某種關(guān)系時，E，F(xiàn)恰好分別是AD，AB的黃金分割點(diǎn)．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．【分析】(1)由黃金分割點(diǎn)的概念可得出答案；(2)延長EA，CG交于點(diǎn)M，由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，則EM＝EC，根據(jù)勾股定理求出CE的長，由銳角三角函數(shù)的定義可出tan∠BCG＝，即，則可得出答案；(3)證明△ABE≌△BCF(ASA)，由全等三角形的性質(zhì)得出BF＝AE，證明△AEF∽△BPF，得出，則可得出答案．【解答】解：(1)∵點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC＝20cm，∴AB＝×20＝(10－10)cm．故答案為：(10－10)．(2)延長EA，CG交于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD為正方形，∴DM∥BC，∴∠EMC＝∠BCG，由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM＝∠BCG，∴∠EMC＝∠ECM，∴EM＝EC，∵DE＝10，DC＝20，∴EC＝＝＝10，∴EM＝10，∴DM＝10+10，∴tan∠DMC＝＝．∴tan∠BCG＝，即，∴，∴G是AB的黃金分割點(diǎn)；(3)當(dāng)BP＝BC時，滿足題意．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，∵BE⊥CF，∴∠ABE+∠CBF＝90°，又∵∠BCF+∠BFC＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BF＝AE，∵AD∥CP，∴△AEF∽△BPF，∴，當(dāng)E.F恰好分別是AD.AB的黃金分割點(diǎn)時，∵AE＞DE，∴，∵BF＝AE，AB＝BC，∴，∴，∴BP＝BC．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，考查了翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)的定義，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.(2020?江蘇省鹽城市?14分)以下虛線框中為一個合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗中的過程記錄，請閱讀后完成虛線框下方的問題1～4．(Ⅰ)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，在探究三邊關(guān)系時，通過畫圖，度量和計算，收集到一組數(shù)據(jù)如下表：(單位：厘米)AC2.82.72.62.321.50.4BC0.40.81.21.622.42.8AC+BC3.23.53.83.943.93.2(Ⅱ)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，選取上表中BC和AC+BC的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析：①BC＝x，AC+BC＝y(tǒng)，以(x，y)為坐標(biāo)，在圖①所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點(diǎn)：②連線：觀察思考(Ⅲ)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所畫的圖象，猜想：當(dāng)x＝____時，y最大；(Ⅳ)進(jìn)一步猜想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB＝2a(a為常數(shù)，a＞0)，則BC＝____時，AC+BC推理證明(Ⅴ)對(Ⅳ)中的猜想進(jìn)行證明．問題1，在圖①中完善(Ⅱ)的描點(diǎn)過程，并依次連線；問題2，補(bǔ)全觀察思考中的兩個猜想：(Ⅲ)2；(Ⅳ)BC＝a；問題3，證明上述(Ⅴ)中的猜想；問題4，圖②中折線B－E－F－G－A是一個感光元件的截面設(shè)計草圖，其中點(diǎn)A，B間的距離是4厘米，AG＝BE＝1厘米．∠E＝∠F＝∠G＝90°．平行光線從AB區(qū)域射入，∠BNE＝60°，線段FM、FN為感光區(qū)域，當(dāng)EF的長度為多少時，感光區(qū)域長度之和最大，并求出最大值．【分析】問題1：利用描點(diǎn)法解決問題即可．．問題2：利用圖象法解決問題即可．問題3：設(shè)BC＝x，AC－BC＝y(tǒng)，根據(jù)一元二次方程，利用根的判別式解決問題即可．問題4：延長AM交EF的延長線于C，過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，過點(diǎn)B作BK⊥GF于K，交AH于Q．證明FN+FM＝EF+FG－EN－GM＝BK+AH－－＝BQ+AQ+KQ+QH－＝BQ+AQ+2－，求出BQ+AQ的最大值即可解決問題．【解答】解：問題1：函數(shù)圖象如圖所示：問題2：(Ⅲ)觀察圖象可知，x＝2時，y有最大值．(Ⅳ)猜想：BC＝a．故答案為：2，BC＝a．問題3：設(shè)BC＝x，AC－BC＝y(tǒng)，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴AC＝＝，∴y＝x+，∴y－x＝，∴y2－2xy+x2＝4a2－x2，∴2x2－2xy+y2－4a2∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＝4y2－4×2×(y2－4a2)≥0，∴y2≤8∵y＞0，a＞0，∴y≤2a，當(dāng)y＝2a時，2x2－4ax+4a2＝0∴(x－2a)2＝0，∴x1＝x2＝a，∴當(dāng)BC＝a時，y有最大值．問題4：延長AM交EF的延長線于C，過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，過點(diǎn)B作BK⊥GF于K，交AH于Q．在Rt△BNE中，∠E＝90°，∠BNE＝60°，BE＝1cm，∴tan∠BNE＝，∴NE＝(cm)，∵AM∥BN，∴∠C＝60°，∵∠GFE＝90°，∴∠CMF＝30°，∴∠AMG＝30°，∵∠G＝90°，AG＝1cm，∠AMG＝30°，∴在Rt△AGM中，tan∠AMG＝，∴GM＝(cm)，∵∠G＝∠GFH＝90°，∠AHF＝90°，∴四邊形AGFH為矩形，∴AH＝FG，∵∠GFH＝∠E＝90°，∠BKF＝90°∴四邊形BKFE是矩形，∴BK＝FE，∵FN+FM＝EF+FG－EN－GM＝BK+AH－－＝BQ+AQ+KQ+QH－＝BQ+AQ+2－，在Rt△ABQ中，AB＝4cm，由問題3可知，當(dāng)BQ＝AQ＝2cm時，AQ+BQ的值最大，∴BQ＝AQ＝2時，F(xiàn)N+FM的最大值為(4+2－)cm．【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，函數(shù)，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．4.（2020?江蘇省淮安市?12分）[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為AM＝BM；[思考說理]（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；[拓展延伸]（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM．①求線段AC的長；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個動點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′M與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍．【分析】（1）利用平行線的方向的定理解決問題即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，AM即可．（3）①證明△BCM∽△BAC，推出＝＝，由此即可解決問題．②證明△PFA′∽△MFC，推出＝，因為CM＝5，推出＝即可解決問題．【解答】解：（1）如圖①中，∵△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，∴MN垂直平分線段BC，∴CN＝BN，∵∠MNB＝∠ACB＝90°，∴MN∥AC，∵CN＝BN，∴AM＝BM．故答案為AM＝BM．（2）如圖②中，∵CA＝CB＝6，∴∠A＝∠B，由題意MN垂直平分線段BC，∴BM＝CM，∴∠B＝∠MCB，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣＝，∴＝＝．（3）①如圖③中，由折疊的性質(zhì)可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，∵∠ACB＝2∠A，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴＝＝∴＝，∴BM＝4，∴AM＝CM＝5，∴＝，∴AC＝．②如圖③﹣1中，∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，∴△PFA′∽△MFC，∴＝，∵CM＝5，∴＝，∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，∴≤PA′≤，∴≤≤．【點(diǎn)評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．5.（2020?江蘇省蘇州市?8分）問題1：如圖①，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求證：．問題2：如圖②，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求的值．【答案】問題1：見解析；問題2：【解析】【分析】問題1：先根據(jù)AAS證明，可得，，由此即可證得結(jié)論；問題2：分別過點(diǎn)、作的垂線，垂足為、，由（1）可知，利用45°的三角函數(shù)值可得，，由此即可計算得到答案．【詳解】問題1：證明：∵，∴．∵，∴．∴．在和中，，∴．∴，，∴．問題2：如圖，分別過點(diǎn)、作的垂線，垂足為、．由（1）可知，在和中，，∴，，，．∴，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形，作出正確的輔助線并能利用解直角三角形的相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．6.（2020?湖南省長沙市·10分）我們不妨約定：若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則把該函數(shù)稱之為“H函數(shù)”，其圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)叫做一對“H點(diǎn)”．根據(jù)該約定，完成下列各題．（1）在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“H函數(shù)”的，請在相應(yīng)題目后面的括號中打“√”，不是“H函數(shù)”的打“×”．①y＝2x（√）；②y＝（m≠0）（√）；③y＝3x﹣1（×）．（2）若點(diǎn)A（1，m）與點(diǎn)B（n，﹣4）是關(guān)于x的“H函數(shù)”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一對“H點(diǎn)”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線x＝2的右側(cè)，求a，b，c的值或取值范圍．（3）若關(guān)于x的“H函數(shù)”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常數(shù)）同時滿足下列兩個條件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求該“H函數(shù)”截x軸得到的線段長度的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)“H函數(shù)”的定義判斷即可．（2）先根據(jù)題意求出m，n的取值范圍，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的關(guān)系，再根據(jù)對稱軸在x＝2的右側(cè)即可求解．（3）設(shè)“H“點(diǎn)為（p，q）和（﹣p，﹣q），代入y＝ax2+2bx+3c得到ap2+3c＝0，2bp＝q，得到a，c異號，再根據(jù)a+b+c＝0，代入（2c+b﹣a）（2x+b+3a）＜0，求出的取值，設(shè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0），t＝，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到|x1﹣x2|＝＝2，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）①y＝2x是“H函數(shù)”．②y＝（m≠0）是“H函數(shù)”．③y＝3x﹣1不是“H函數(shù)”．故答案為：√，√，×．（2）∵A，B是“H點(diǎn)”，∴A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∵該函數(shù)的對稱軸始終位于直線x＝2的右側(cè)，∴﹣＞2，∴﹣＞2，∴﹣1＜a＜0，∵a+c＝0，∴0＜c＜1，綜上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函數(shù)”，∴設(shè)H（p，q）和（﹣p，﹣q），代入得到，解得ap2+3c＝0，2bp＝q，∵p2＞0，∴a，c異號，∴ac＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，∴c2＜4a2，∴＜4，∴﹣2＜＜2，設(shè)t＝，則﹣2＜t＜0，設(shè)函數(shù)與x軸交于（x1，0），（x2，0），∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的兩根，∴|x1﹣x2|＝＝＝＝＝2＝2，∵﹣2＜t＜0，∴2＜|x1﹣x2|＜2．【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，“H函數(shù)”，“H點(diǎn)”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．7（2020?河南省?10分）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖，點(diǎn)D是上一動點(diǎn)，線段BC＝8cm，點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥BD，交DA的延長線于點(diǎn)F．當(dāng)△DCF為等腰三角形時，求線段BD的長度．小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)