數(shù)學(xué)模型實驗報告

數(shù)學(xué)模型實驗報告陳雪松20111002107楊陽20111002106廖圓圓20111002211第二題問題描述：一條河流和河灣與大湖相連，位于灣上游的小河是造成灣污染的主要因素，另有一座鋁廠恰好建在灣旁,也造成污染。當(dāng)灣中污染物平均濃度達到1.6mg/L時，鋁廠將被迫暫時關(guān)閉。假使該灣的容量為4,000,000公升，流入和流出河灣的水流速度均為40,000公升/天，若當(dāng)前該河灣水中的污染物濃度為0.8mg/L，河水中污染物的濃度為0.5mg/L。要求：建立灣中水污染狀況的模型；計算30天后該河灣水的污染物濃度；該河灣水的污染物濃度是否能達到一個穩(wěn)定值？如將4,000,000mg污染物瞬間排入河水中，求鋁廠必須關(guān)閉多長時間？列出并討論影響河灣污染的模型中未考慮到的因素至少四種。模型假設(shè)：（1）河灣污染物只有小河流入和鋁廠排放兩種流入方式，并且只有河流流出這一種排出方式；（2）河灣的降水量和蒸發(fā)量相等，不考慮河灣自我凈化等其他因素；（3）河流的污染物濃度穩(wěn)定在0.5mg/L不變，流入河灣的污染物能以很快的速度與湖水均勻混合，也就是說任意時刻河灣污染物都是均勻分布的；（4）假設(shè)t時刻河灣的污染物濃度為q（t），初始時刻q（0）=0.8mg/L，河灣體積V=4000000L，河灣流水的流出量與流入量相等，均為40000L/天，鋁廠每天向河灣中排放mmg的污染物。模型分析求解：設(shè)在不考慮鋁廠關(guān)閉的前提下，t時刻的污染物濃度為p（t）。在極短時間dt內(nèi)，河灣污染物濃度增加dp，根據(jù)河灣中污染物的改變量=輸入量-輸出量，得到微分方程：V*dp=[m+40000(0.5-p)]*dt,化簡即得：=*[m+40000(0.5-p)]……...(1)代入數(shù)據(jù)V=4000000，并注意到初始條件p（0）=0.8，可以解出p（t）=0.5++c………………….(2)其中常數(shù)c=0.3-。下面開始考慮鋁廠的關(guān)閉，當(dāng)河灣濃度達到1.6時，鋁廠將會關(guān)閉，這時因為流入的河水濃度為0.5，因此河灣污染物的濃度將會降低，當(dāng)降到時，鋁廠又將開放，這樣濃度增加到時，鋁廠將會關(guān)閉；如此循環(huán)，即濃度q（t）將會在1.6附近波動，可視為濃度穩(wěn)定在1.6。因此，河灣污染物的濃度q（t）=min（1.6,p（t））............................(3)其中p（t）由(2)式給出。討論m的大小，可以得到q（t）的4種大致情況，用matlab畫出，如下圖所示。0m<12000m=1200012000<m<44000m44000在(2)式中令t=30，即得到p（30）=0.5++c,其中c為常數(shù)且c=0.3-，m亦為常數(shù),如前面所假設(shè)。于是得到30天后的濃度q（30）=min(1.6,p（30）)。先考察(1)式所確定的常微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性。令F（p）=V*[m+40000(0.5-p)]=0，解出唯一一個平衡點==0.5+。同時因為對任意一個p，有F’（p）=-40000<0,因此該平衡點是穩(wěn)定點。又注意到在(2)式中令t+∞,有p，對應(yīng)1）問中第一，二，三個圖像所對應(yīng)的情況。再考慮到鋁廠可能關(guān)閉的條件，在m44000時，濃度在某一時刻將會達到1.6，這時鋁廠暫時關(guān)閉，如（1）中的討論，這種情況下濃度將會穩(wěn)定在1.6，即此時穩(wěn)定點為1.6。綜合上面的論述，我們得到河灣濃度q（t）的穩(wěn)定值=min（1.6，0.5+）。若在初始時刻，將4,000,000mg污染物瞬間排入河水中，則初始濃度（0）=1.8mg/L，此時鋁廠應(yīng)該關(guān)閉，并且鋁廠未開放前q（t）=（t）。類似于第一問的分析得鋁廠關(guān)閉時的濃度方程為=*40000*(0.5-)…..…………….(4)注意到（0）=1.8，解之得（t）=1.3*+0.5…………..(5)因為當(dāng)河灣中污染物的濃度小于等于1.6mg/L時，鋁廠方可開放，所以在(5)式中令（t）=1.6，解出t=-100ln16.7，即鋁廠必須關(guān)閉16.7天。下面定性地來討論以上未考慮到的其它因素。自然凈化：若考慮河灣的自然凈化，設(shè)河灣中的微生物每天可以使mg的污染物凈化，則在(1)式中的中括號內(nèi)添上一項-即可，得到的方程為=*[m+40000(0.5-p)-]………(6)并且初始條件為（0）=0.8。由（6）式以及q（t）=min（1.6,（t））即可以確定污染物濃度的變化情況（求解從略）。降水與蒸發(fā)：若考慮河灣的降水與蒸發(fā)因素，在降水量等于蒸發(fā)量的情形下，模型與（1）到（3）問中討論的一致；在降水量大于蒸發(fā)量的情形下，會將污染物的濃度稀釋，因此可能使污染物濃度的增加速度將會減慢，亦或可能會使污染物濃度下降；在降水量小于蒸發(fā)量的情形下，污染物的濃度會愈加增長，并且最終的穩(wěn)定點的濃度值也會變大。湖水的滲透：若考慮湖水的滲透，則湖中水的體積會隨時間減少，由此直觀的得到污染物的濃度會進一步上升。人工處理：若人為的干預(yù)這個系統(tǒng)，即假設(shè)每天可以人工處理掉河灣中的mg污染物，則與自然凈化中類似的