浙江省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題五閱讀理解型問題訓(xùn)練

PAGEPAGE6專題五閱讀理解型問題類型一新定義型問題(2018·浙江湖州中考)在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E，F(xiàn)，G，H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在如圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為eq\r(65)，此時正方形EFGH的面積為5.問：當(dāng)格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為eq\r(65)時，正方形EFGH的面積的所有可能值是____________________(不包括5)．【分析】當(dāng)DG＝eq\r(13)，CG＝2eq\r(13)時，滿足DG2＋CG2＝CD2，此時HG＝eq\r(13)，可得正方形EFGH的面積為13.當(dāng)DG＝8，CG＝1時，滿足DG2＋CG2＝CD2，此時HG＝7，可得正方形EFGH的面積為49.當(dāng)DG＝7，CG＝4時，此時HG＝3，四邊形EFGH的面積為9.【自主解答】1．若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；(2)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求證：△ABC是比例三角形．(3)如圖2，在(2)的條件下，當(dāng)∠ADC＝90°時，求eq\f(BD,AC)的值．圖1圖2類型二新知識學(xué)習(xí)型問題(2018·湖南張家界中考)閱讀理解題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距離公式為：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋c|,\r(A2＋B2))，例如，求點P(1，3)到直線4x＋3y－3＝0的距離．解：由直線4x＋3y－3＝0知：A＝4，B＝3，C＝－3，所以P(1，3)到直線4x＋3y－3＝0的距離為：d＝eq\f(|4×1＋3×3－3|,\r(42＋32))＝2.根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)求點P1(0，0)到直線3x－4y－5＝0的距離；(2)若點P2(1，0)到直線x＋y＋C＝0的距離為eq\r(2)，求實數(shù)C的值．【分析】(1)根據(jù)點到直線的距離公式即可求解；(2)根據(jù)點到直線的距離公式，列出方程即可解決問題．【自主解答】(2018·貴州貴陽中考)如圖1，在Rt△ABC中，以下是小亮探究eq\f(a,sinA)與eq\f(b,sinB)之間關(guān)系的方法：∵sinA＝eq\f(a,c)，sinB＝eq\f(b,c)，∴c＝eq\f(a,sinA)，c＝eq\f(b,sinB)，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識．在圖2的銳角△ABC中，探究eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)之間的關(guān)系，并寫出探究過程．圖1圖2【分析】三式相等，理由為：過A作AD⊥BC，過點B作BE⊥AC，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD，在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD，兩者相等即可得證．【自主解答】4．(2018·山西中考)綜合與實踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延長線上一點，且BE＝AB，連結(jié)DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連結(jié)AM.試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系．探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：證明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB.∵AD＝2AB，∴AD＝AE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴eq\f(EM,DM)＝eq\f(EB,AB).(依據(jù)1)∵BE＝AB，∴eq\f(EM,DM)＝1.∴EM＝DM.即AM是△ADE的DE邊上的中線，又∵AD＝AE，∴AM⊥DE.(依據(jù)2)∴AM垂直平分DE.反思交流：(1)①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上，請直接回答，不必證明；(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連結(jié)CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；探索發(fā)現(xiàn)：(3)如圖3，連結(jié)CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點C，點B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上，請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明．參考答案類型一【例1】當(dāng)DG＝eq\r(13)，CG＝2eq\r(13)時，滿足DG2＋CG2＝CD2，此時HG＝eq\r(13)，可得正方形EFGH的面積為13.當(dāng)DG＝8，CG＝1時，滿足DG2＋CG2＝CD2，此時HG＝7，可得正方形EFGH的面積為49.當(dāng)DG＝7，CG＝4時，此時HG＝3，四邊形EFGH的面積為9.故答案為9，13和49.變式訓(xùn)練1．解：(1)∵△ABC是比例三角形，且AB＝2，BC＝3，①當(dāng)AB2＝BC·AC時，得4＝3AC，解得AC＝eq\f(4,3)；②當(dāng)BC2＝AB·AC時，得9＝2AC，解得AC＝eq\f(9,2)；③當(dāng)AC2＝AB·BC時，得AC2＝6，解得AC＝eq\r(6)(負(fù)值舍去)，∴當(dāng)AC＝eq\f(4,3)或eq\f(9,2)或eq\r(6)時，△ABC是比例三角形．(2)∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴eq\f(BC,CA)＝eq\f(CA,AD)，即CA2＝BC·AD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC·AB，∴△ABC是比例三角形．(3)如圖，過點A作AH⊥BD于點H.∵AB＝AD，∴BH＝eq\f(1,2)BD.∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°.又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴eq\f(AB,DB)＝eq\f(BH,BC)，即AB·BC＝BH·DB，∴AB·BC＝eq\f(1,2)BD2.又∵AB·BC＝AC2，∴eq\f(1,2)BD2＝AC2，∴eq\f(BD,AC)＝eq\r(2).類型二【例2】(1)d＝eq\f(|3×0－4×0－5|,\r(32＋42))＝1.(2)eq\r(2)＝eq\f(|1×1＋1×0＋C|,\r(2))，∴|C＋1|＝2，∴C＋1＝±2，∴C1＝－3，C2＝1.變式訓(xùn)練2．解：(1)eq\f(y2,y1)＝eq\f(（x＋3）2＋9,x＋3)＝(x＋3)＋eq\f(9,x＋3)，∴當(dāng)x＋3＝eq\f(9,x＋3)時，eq\f(y2,y1)有最小值，∴x＝0或－6(舍棄)時，有最小值6.(2)設(shè)該設(shè)備平均每天的租賃使用成本為w元，則w＝eq\f(490＋200x＋0.001x2,x)＝eq\f(490,x)＋0.001x＋200，∴當(dāng)eq\f(490,x)＝0.001x時，w有最小值，∴x＝700或－700(舍棄)時，w有最小值，最小值為201.4元．類型三【例3】(1)MG＝NGMG⊥NG如圖，連結(jié)BE，CD相交于H.∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB(SAS)，∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE.∵點M，G分別是BD，BC的中點，∴MG綊eq\f(1,2)CD.同理NG綊eq\f(1,2)BE，∴MG＝NG，MG⊥NG，∴MG＝NG，MG⊥NG.(2)連結(jié)CD，BE相交于點H，同(1)的方法得MG＝NG，MG⊥NG.(3)如圖，連結(jié)EB，DC，延長線相交于H，同(1)的方法得MG＝NG，同(1)的方法得△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH＋∠ECH＝∠AEH－∠AEC＋180°－∠ACD－∠ACE＝∠ACD－45°＋180°－∠ACD－45°＝90°，∴∠DHE＝90°，同(1)的方法得MG⊥NG，∴△GMN是等腰直角三角形．變式訓(xùn)練3．解：問題背景：證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°.由題意得∠ABE＝30°，∠EBF＝60°，∴∠EBD＝∠FBD＝30°.∵BD⊥AD，∴∠BED＝60°，∴△BEF為等邊三角形．遷移應(yīng)用：PC＝PA＋PB.證明：如圖，在PC上截取PG＝PB，連結(jié)BG.∵∠BPC＝60°，∴△BPG為等邊三角形，∴BG＝BP，∠PBG＝60°，PB＝BG，∴∠PBA＋∠ABG＝∠ABG＋∠GBC＝60°，∴∠PBA＝∠GBC.又AB＝BC，∴△APB≌△CBG，∴PA＝GC，∴PC＝PG＋CG＝PB＋PA.拓展延伸：(1)如圖，∵B，E兩點關(guān)于直線AF對稱，∴FE＝FB.∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等邊三角形．(2)由(1)知，△BEF是等邊三角形，如圖，連結(jié)AE，過點A作AH⊥DE于點H.∵B，E兩點關(guān)于直線AF對稱，∴AE＝AB.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴AE＝AD，∴DH＝HE＝eq\f(1,2)DE＝3，∴HF＝HE＋EF＝3＋2＝5.由(1)知，△BEF是等邊三角形，F(xiàn)A⊥EB，∴∠EFA＝eq\f(1,2)∠EFB＝30°.在Rt△AHF中，cos∠HFA＝eq\f(HF,AF)＝eq\f(\r(3),2)，∴AF＝eq\f(HF,cos30°)＝eq\f(10,\r(3))＝eq\f(10\r(3),3).類型四【例4】eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).理由如下：如圖，過A作AD⊥BC，過點B作BE⊥AC.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,c)，即AD＝csinB，在Rt△ADC中，sinC＝eq\f(AD,b)，即AD＝bsinC，∴csinB＝bsinC，即eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，同理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，則eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).變式訓(xùn)練4．解：(1)①依據(jù)1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成比例)．依據(jù)2：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”)．②點A在線段GF的垂直平分線上．(2)證明：如圖，過點G作GH⊥BC于點H.∵四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°，∴∠BCE＋∠BEC＝90°.∵四邊形CEFG為正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCE＋∠BCG＝90°，∴∠BEC＝∠BCG，∴△GHC≌△CBE，∴HC＝BE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，BE＝AB，∴BC＝2BE＝2HC，∴HC＝BH，∴GH垂直平分BC，∴點G在BC的垂直平分線上．(3)點F在BC邊的垂直平分線上(或點F在AD邊的垂直平分線上)．證明：如圖，過點F作FM⊥BC于點M，過點E作EN⊥FM于點N