高中數(shù)學第3章圓錐曲線的方程3.1.1橢圓及其標準方程訓練提升新人教版選修1

3.1.1橢圓及其標準方程課后·訓練提升基礎鞏固1.已知F1,F2為兩定點,且|F1F2|=6,若動點M滿足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|,則動點M的軌跡是()A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段答案:A解析:因為|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=12>|F1F2|,所以動點M的軌跡是橢圓.2.若方程x23a+y2a+4=1表示焦點在yA.a>0 B.a>2C.0<a<2 D.-4<a<2答案:C解析:依題意有a+4>3a>0,解得0<a<2.3.若橢圓x225+y24=1上一點P到焦點F1的距離為3,則點P到另一焦點A.6 B.7 C.8 D.9答案:B解析:根據橢圓的定義,知|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因為|PF1|=3,所以|PF2|=7.4.已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點為F(A.9 B.4C.3 D.2答案:B解析:依題意,橢圓焦點在x軸上,且c=3,因此25-m2=9,解得m=4(m=-4舍去).5.已知橢圓的焦距是12,且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和等于2,則橢圓的標準方程為(A.x24+y21516=1 BC.x2+y234=1或y2+x234=1 D.x2+y21516答案:D解析:由已知得2c=12,2a=2,解得a=1,c=14,故所求橢圓的標準方程為x2+y21516=1或y2+x6.已知動點M(x,y)滿足方程(x-3)2+y2A.x225+y216=C.x225+y24=答案:A解析:依題意,動點M(x,y)到兩定點(3,0),(-3,0)的距離之和等于常數(shù)10,且10>6,所以其軌跡為橢圓,且2a=10,c=3,b2=16,故動點M的軌跡方程為x225+7.(多選題)已知P是橢圓x29+y24=1上一點,橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,且cos∠F1PF2=A.△PF1F2的周長為12B.△PF1F2的面積為22C.點P到x軸的距離為2D.PF1答案:BCD解析:由橢圓的方程知a=3,b=2,c=5,則|PF1|+|PF2|=6,于是△PF1F2的周長為2a+2c=6+25,故A項錯誤;在△PF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即20=36-2|PF1||PF2|-23|PF1||PF2|,解得|PF1|·|PF2|=6,則△PF1F2的面積S=12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=12×6×223=22,故B項正確;設點P到x軸的距離為d,則△PF1F2的面積S=12|F1F2|·d=12·25d=22,得d=2105,故C項正確;PF1·PF2=|PF1|·|P8.若橢圓x25-y2m=1的焦距等于2,答案:-4或-6解析:由題意可知,-m>0,得m<0.橢圓方程化為x25+y2-m=1,若焦點在x軸上,則有2c=25-(-m)=2,解得m=-4;若焦點在y軸上,則有2c=2(-m)-5=9.已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M,設A為圓上任一點,N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點P,則動點P的軌跡是.

答案:以M,N為焦點的橢圓解析:點P在線段AN的垂直平分線上,故|PA|=|PN|,又AM是圓M的半徑,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由橢圓的定義知,點P的軌跡是以M,N為焦點的橢圓.10.求過點P(3,0)且與圓C1:x2+y2+6x-91=0相內切的動圓圓心的軌跡方程.解:圓C1的方程可化為(x+3)2+y2=100,因此圓C1的圓心為C1(-3,0),半徑r=10.設動圓圓心為C,半徑為R,則依題意有|CP|=R且|CC1|=10-R.于是|CC1|+|CP|=10,即動點C到兩個定點C1(-3,0),P(3,0)的距離之和等于常數(shù)10,且10>|C1P|,故動圓圓心C的軌跡為以C1(-3,0),P(3,0)為焦點的橢圓.于是設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),則2a=10,c=3,故所求動圓圓心的軌跡方程為x225+能力提升1.已知兩定點A(0,-2),B(0,2),點P在橢圓x212+y216=1上,且滿足|AP|-|BP|=2,A.-12 B.12 C.-9 D.9答案:D解析:由題意易知A(0,-2),B(0,2)為橢圓x212+y又a=4,所以|AP|+|BP|=2×4=8.結合|AP|-|BP|=2,得|AP|=5,|BP|=3,又因為|AB|=4,所以△ABP為直角三角形,故AP·BP=(AB+BP)·BP=|BP|2.已知P為橢圓x225+y216=1上的一點,M,N分別為圓(x+3)2+y2=1和圓(x-3)2+y2=4上的點,A.5 B.7 C.13 D.15答案:B解析:由題意知橢圓的兩個焦點F1,F2分別是兩圓的圓心,且|PF1|+|PF2|=10,從而|PM|+|PN|的最小值為|PF1|+|PF2|-1-2=7.3.已知點M是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一點,兩個焦點分別為F1,F2,若|MF1|·|MF2|A.8 B.4 C.22 D.2答案:C解析:因為|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=a2,當且僅當|MF1|=|MF24.已知P是橢圓x24+y2=1上一點,F1,F2是其兩個焦點,則∠F1PF2的最大值為(A.3π4 B.2π3 C.答案:B解析:設|PF1|=m,|PF2|=n,則m>0,n>0,且m+n=2a=4,在△F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2=m2+n2-122mn=(m+n)2-2mn-122mn=2mn-1,因為mn≤m+5.(多選題)對于曲線C:x29-k+yA.曲線C不可能是圓B.“3<k<9”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件C.“曲線C是焦點在y軸上的橢圓”是“6<k<7”的必要不充分條件D.“曲線C是焦點在x軸上的橢圓”是“3<k<6”的充要條件答案:CD解析:當9-k=k-3,即k=6時,方程x29-k+y2k-3=1為x2+y2=3,曲線C表示圓心是(0,0),半徑為3的圓,A錯誤;若曲線C是橢圓,則9-k>0,k-3>0,9-k≠k-3,解得3<k<9且k≠6,所以“3<k<9”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件,B錯誤;若曲線C是焦點在y軸上的橢圓,則9-k>0,k-3>0,9-k≠k-3,k-3>9-k,解得66.已知直線2x+y-4=0過橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F2,且與橢圓E在第一象限的交點為M,與y軸交于點N,F1是橢圓E的左焦點,且|MN|=|MF1答案:x25+y2解析:直線2x+y-4=0與x軸、y軸分別交于點(2,0),(0,4),因此F2(2,0),N(0,4),于是c=2,2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF2|=|NF2|=25,所以a=5,從而b2=5-4=1,故橢圓E的方程為x25+y2=7.一條線段AB的長等于10,兩端點A,B分別在x軸和y軸上滑動,點M在線段AB上,且AM+4BM=0,則點M的軌跡方程是.

答案:x24解析:設M(x,y),A(a,0),B(0,b),因為|AB|=10,所以a2+b2=10,即a2因為AM+4BM=0,所以AM=4MB,所以(x-a,y)=4(-x,b-y),得x代入a2+b2=100可得25x2+25y216=100,即x故點M的軌跡方程是x24+8.已知橢圓的兩焦點為F1(-1,0),F2(1,0),點P為橢圓上一點,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.(1)求此橢圓的方程;(2)若點P滿足∠F1PF2=120°,求△PF1F2的面積.解:(1)依題意,|F1F2|=2,橢圓長軸長2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即a=2,b2=a2-1