山東省煙臺市牟平區(qū)某校2023-2024學年高三上學期限時練習（開學考試）數學試題

21級高三限時練習（2023）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．只有一項是符合題目要求的．1．設集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復數（為虛數單位），則（）A． B． C． D．為純虛數3．設等比數列的公比為q，則“”是“數列為遞增數列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐標為（）A． B． C． D．5．八卦是中國古老文化的深奧概念，下圖示意太極八卦圖．現將一副八卦簡化為正八邊形ABCDEFGH，設其邊長為a，中心為O，則下列選項中不正確的是（）A． B．C．和是一對相反向量 D．6．阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數關系式為，若振幅是2，圖象上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（）A．， B．， C．， D．，7．已知定義在R上的函數滿足，且是偶函數，當時，，則（）A． B． C． D．38．如圖，某幾何體由兩個相同的圓錐組成，且這兩個圓錐有一個共同的底面，若該幾何體的表面積為，體積為V，則的最大值為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：9．已知函數，則（）A．的最小正周期為B．在上單調遞增C．直線是圖象的一條對稱軸D．的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到10．已知定義在R上的奇函數，，，，且當時，，則（）A． B．有2個零點C．在上為減函數 D．不等式的解集是11．已知中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，若點P是邊BC上一點，Q是AC的中點，點O是所在平面內一點，，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若在方向上的投影向量為，則的最小值為C．若點P為BC的中點，則D．若，則為定值1812．已知函數，則（）A．的圖象關于y軸對稱 B．的值域是C．在上單調遞增 D．在上的所有零點之和為三．填空題（共4小題）13．向量，，，與夾角的大為______．14．已知，若，，則______．15．已知函數，則______．16．數學中處處存在著美，機械學家萊洛發(fā)現的萊洛三角形就給人以對稱的美感．如圖，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的．已知，點P為上一點，則的最小值為______．四．解答題（共6小題）17．（10分）已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大?。?）若AD平分∠BAC并交BC于D，且，，求的面積．18．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足，，，過B作于點D，點E為線段BD的中點．（1）求c；（2）求的值．19．（12分）設數列的前n項和為，已知，，成等差數列，且．（1）求的通項公式；（2）若，的前n項和為，若對任意正整數n，不等式恒成立，求的最小值．20．（12分）如圖，在正四棱柱中，，點E在上，且．（1）若平面與相交于點F，求；（2）求二面角夾角余弦值．21．（12分）已知函數存在兩個極值點，．（1）求a的取值范圍；（2）求的最小值．22．（12分）函數，，其中．（1）若在上有兩個不同零點，求a的取值范圍．（2）若在上單調遞減，求a的取值范圍．（3）證明：，n，．（優(yōu)秀班級）設函數，，．（1）討論的單調性；（2）若，求證：．21級高三限時練習答案1．C．2．C．3．D．4．【解答】則．B．5．【解答】解：A項，由于，明顯有，故，A正確；B項，，B正確；C項，和方向相反，但長度不等，因此不是一對相反向量，C錯誤；D，∵，，∴，D正確．C．6．【解答】A解：由題意可知，，則，由，解得，所以：，由于，得，（）；因為，所以．故選：A．7．【解答】解：的圖象關于對稱，，由可得關于對稱，，則，所以，函數周期為4．因為，則有，當時，，則．故選：C．8．【解答】解：設其中一個圓錐的底面半徑為r，高為h，則，則，解得，∴，，令，設，則，若，，若，，∴，∴的最大值為．故選：A．9．BC．10．【解答】解：在中，令，得，∴，故A正確；又為R上的奇函數，，，∴至少有三個零點，故B錯誤；設，，且，則，，，∴，在上是增函數，由于為奇函數，∴在上也是增函數，故C錯誤；由題意，畫出的圖象如圖，等價于或，故選：AD．11．【解答】解：如圖，設BC的中點為E，連接QE，∵，由余弦定理可得：，∴，∴，又，∴，∴，∴，對A選項，∵，∴，∴，又E為中點，∴，又，∴，∴，故A選項正確；對B選項，∵在方向上的投影向量為，∴，又Q是AC的中點，P在BC上，∴當時，PQ最小，此時，故B選項錯誤；對C選項，若點P為BC的中點，即P與E點重合，∵，∴，∴，故C選項正確；對D選項，∵，∴的平分線與BC垂直，∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由A選項分析知，∴根據向量數量積的幾何意義知，∴，故D選項正確．故選：ACD．12．【解答】解：對于A：，則，∴，即是偶函數，故的圖象關于y軸對稱，故A正確；∵．令，則，則．由得，由得或．則在和上單調遞減，在上單調遞增，又，，，∴，即的值域是，故B錯誤；對于C：當時，．因為在上單調遞減，且在上單調遞減，所以在上單調遞增，故C正確；對于D：，即或．∵，∴，∴或或，則在上的所有零點之和為，故D正確，故選：ACD．13．．14．【解答】解：設，由知，代入，即，解得或（舍去），所以，即，因為，所以，則，解得，，則．15．【解答】解，當時，，得，∴，∴．16．【解答】解：如圖，取BC邊的中點E，連接PE，PA，再取AE的中點F，連接PF，則，∴，根據向量數量積的極化恒等式可得：，又根據題意易得，連接CF交于點Q，則P與Q重合時，PF取得最小值，且PF取得最小值，∴．故答案為：．17．【解答】解：（1）因，則，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以；（2），而，有，即則，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，．18．【解答】解：（1）∵，，，∴，∴．（2）∵，，，∴，∴，∵，∴，∵點E為線段BD的中點，∴，∵，∴，∵，∴．19．【解答】解：（1）．所以，①，當時，，②，①②得：，整理得，故（常數），所以數列是以為首項，2為公比的等比數列；且滿足，故，解得．故．（2）由（1）得：；故，當時，不等式恒成立，故．20．【解答】解：（1）在正四棱柱中，連接，EF，如圖所示：平面與相交于點F，，則，，∵，∴，∴，；（2）建立以D為原點，以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，如圖所示：，且，則，，，，，則，，，設平面ABE的一個法向量為，則，取，則，，∴平面ABE的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，∴平面的一個法向量為，∴，故二面角的余弦值為．21．【解答】解：定義域為，，令，∴，解得：，∴實數a的取值范圍為．（2）由（1）知：，，是的兩根，則，，令，則，∴當時，，當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴，即的最小值為．22．【解答】解：（1）由已知得，故，可知時，，單調遞減；時，，單調遞增，故時，取最小值，又，；，．故要使在有兩個互異零點，需，所以，即所求a的范圍是．（2）要使在區(qū)間上單調遞減，只需在上恒成立，化簡得在上恒成立．令，，當時，，，所以，即在上單調遞增，所以當時，，所以，即a的范圍是．（3）證明：由（2）知時，，所以，即，，取得：，所以，即，n，成立，故結論成立．23．【解答】解：（1）的定義域為R，，對a分類討論：（?。┊敃r，，當時，，在上單增，當時，，在上單調遞減．（ⅱ）當時，，令，解得，①當，即，則恒成立，在R上單調遞增；②當，即，令，則或，∴在和上單調遞增，令，則，∴在上單調遞減；③當，即時，令，則或，∴在和上單調遞增，令，則，∴在上單調遞減．綜上可得：（ⅰ）當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（ⅱ）當時，①當時，在