內水壓力作用下分數導數型黏彈性準飽和土中球空腔的穩(wěn)態(tài)動力響應

內水壓力作用下分數導數型黏彈性準飽和土中球空腔的穩(wěn)態(tài)動力響應

飽和土中球形空腔的動力響應分析由于genton提出了該模型，屋頂和特雷克等科學家進行了改進。在這種模型中，許多人使用該模型來研究粘土彈性材料。與之前的經典maxwall、kelven和廣義maxwall相比，該模型可以更好地反映整個加載和卸載過程中土壤的變形特征。然而，很難使用特征導數模型的行為，因為使用特征導數模型的本構關系，制定動態(tài)方程是微分方程的異質結分布。因此，通過該模型研究土壤動力學行為的結果很少，尤其是在描述準飽和土壤的動態(tài)特征方面。土體中球形空腔的靜動力學行為分析在地下倉庫爆炸、實驗室受強噪聲干擾等工程領域得到廣泛應用.徐長節(jié)等采用修正的Biot模型,在Laplace變換域內推導了飽和土中球形空腔的動力響應解答,并利用Laplace逆變換得到了相關數值結果,討論了腔壁處排水或不排水情況下響應幅值隨時間或半徑的變化規(guī)律.在此基礎上,將土骨架視為具有Kelvin-voigt本構模型的黏彈性體,比較分析了彈性和黏彈性飽和土中球形空腔瞬態(tài)響應存在的差異.Auslender和Combescure以核反應堆為例,計算了爆炸載荷作用下飽和土中球形空腔的彈塑性解析解.劉干斌等將襯砌等效為薄壁殼體結構,利用Laplace變換技術研究了軸對稱載荷和流體壓力作用下飽和黏彈性土和襯砌相互作用的具體解答,討論了邊界滲透特性和相對剛度對動力響應的影響.然而,沈珠江把土體分成3種情況:(1)飽和度在90%以上的氣飽和度封閉狀態(tài);(2)飽和度較低只考慮孔隙氣流的情況;(3)飽和度適中可忽略排氣過程的情況.針對高飽和度的土體,徐長節(jié)等分別采用經典彈性模型和標準線性固體模型描述準飽和土的動力學行為,推導了彈性和黏彈性準飽和土體中球形空腔的動力響應,并討論了飽和度對響應幅值的影響.針對襯砌的滲透性特點,梁堯箎通過電離試驗,提出了滲流場的形成和分布與襯砌和土體的滲透系數有關,當襯砌材料滲透系數小于土體的滲透系數時,全部水頭由襯砌(介質)承擔;當兩者相等時,滲流場均勻分布;當襯砌滲透系數大于土體的滲透系數時,全部水頭由孔隙水承擔.因此,Li采用達西定律建立了部分透水邊界條件.鑒于上述研究,本文采用Biot力學模型,將土骨架和襯砌分別視為具有分數導數本構的黏彈性體和多孔柔性材料,研究分析內水壓力作用下準飽和黏彈性土中球形空的動力特性,并考察飽和度、分數導數階數、材料參數比、應力系數和滲透系數等參數對動力響應的影響,與文獻[12-13]中部分結果進行對比,突出分數導數本構模型的優(yōu)越性.1內水壓力值qfeit無限準飽和黏彈性土體中一內、外半徑分別為R1和R2的球形空腔,如圖1所示.球形空腔邊界作用一圓頻率為ω的球對稱均布簡諧內水壓力值qFeiωt;i為虛數單位,qF為單位面積襯砌上受到的水壓力大小,單位為Pa.假定襯砌厚度很小且為多孔柔性材料(彈性模量EL→0),其厚度d=R2-R1.設襯砌外邊界的水頭為P2,而內邊界的水頭為P1,忽略襯砌中孔隙水影響.2襯砌土的滲透性襯砌具有滲透性,即球形空腔處于半封閉狀態(tài).若將周圍土體視為多孔黏彈性介質,則介質和孔隙水共同承擔了球形空腔邊界的內水壓力值.基于此,定義與孔隙率有關的應力系數δ,其中,δ=1-ηc;ηc為孔隙流體壓力作用面積系數,可近似為ηc=(n)2/3,混凝土材料ηc=2/3～1,碎裂巖石ηc≈1.假定不區(qū)分內水壓力作用在襯砌內邊界上還是外邊界上,可得空腔邊界(r=R2)的應力協調條件式中,σrST為土體的總應力.當δ→0時,空腔邊界上的內水壓力全部由孔隙水承擔,邊界初始應力為0.當δ→1時,空腔邊界上的內水壓力全部由介質承擔.假設襯砌和土體緊密接觸,即無相對滑移,忽略襯砌中孔隙水的影響,利用Darcy滲透定律可得襯砌中的流量為式中,ql為流量;kL和γw分別為動力滲透系數和流體重度.然而,準飽和黏彈性土中孔隙水的流量式中,kF為Darcy滲透系數.利用襯砌和土體接觸面處(r=R2)飽和黏彈性土中孔隙水的流量和襯砌中流體流量相等的協調條件式中,κ=kL/[kF(lnR2-lnR1)]由襯砌和土體相對滲透系數和襯砌的幾何尺寸決定.當kLkF時,κ→0,邊界不滲透,襯砌處于封閉狀態(tài);當kLkF時,κ→∞,邊界為自由滲透,襯砌為不封閉狀態(tài).3土體及孔隙流體的壓縮性對于準飽和土(95%≤Sr<1)來說,土體中氣相僅以分散氣泡形式存在于水中,孔隙內只有水相通,可將水氣混合物視為均勻流體.由此,可利用Biot兩相介質理論來研究準飽和土的動力特性.根據Biot固結理論,準飽和土動力方程為其中,(r,θ,φ)為球面坐標,θ為相位角,φ為圓周角;σiST(i=r,θ,φ)分別為飽和土體的沿θ方向、φ方向和徑向r的總應力;urS和wrF分別為土骨架和流體相對于土骨架的位移;ρT=(1-n)ρS+nρF為土體的總密度,n為孔隙率,ρS和ρF=Srρw分別表示土顆粒和孔隙流體的密度,Sr,ρw分別為飽和度和水的質量密度.黏彈性準飽和土中的土骨架有效應力σSE為分數導數模型描述土骨架的應力-應變關系式中,λS,μS為Lame常數;τεα和τσα為骨架材料參數,λS=2νSμS/(1-2νS),νS為泊松比;且0<α<1,Dα=dα/dtα為α階黎曼-劉維爾分數階導數,定義為顯然,在球坐標下應變用張量表示將式(9)代入本構關系式(7),可得考慮土顆粒和孔隙流體的壓縮性,孔隙水壓力滿足如下本構關系式中,β,M分別為土顆粒和孔隙流體壓縮性系數;β,M可分別表示為式中,Ks,Kb,Kf分別表示土顆粒、土骨架和孔隙流體的體積模量.孔隙流體的體積模量可以表示為式中,Kw為孔隙水的體積模量,p0為絕對孔隙壓力.流體運動方程為其中,b為土骨架和流體相互作用系數.結合式(6)、式(10)和式(11),得到總應力表達式后代入土體控制方程(5),可得將式(11)代入流體運動方程(14),可易得4土中的有效應力為了求解土體動力方程(15)和(16),可引入如下位移勢函數對于穩(wěn)態(tài)振動,設其中,UηS,WηF,P分別為無量綱位移和孔壓.引入下列無量綱量和常數因此,將式(17)～式(19)代入土體控制方程式(15)和式(16),可得于是,解耦式(20)和式(21),可解得式中由式(22)可分解得這里,要求Re(δi)>0(i=1,2),且Ai和Bi(i=1,2)為待定系數.將式(25)代入式(21),可得到由位移勢函數式(17)和式(25),得再由式(28)和式(29)代入本構關系式(11),得于是,由本構關系(10)和式(28),(29),可得土骨架有效應力為式中顯然,由有效應力式(6)可得到土體總應力為式中至此,由邊界條件(1)和(4)代入式(28),式(30)和式(33),求出待定系數A1,A2后可得到分數導數型黏彈性準飽和土中球空腔穩(wěn)態(tài)動力響應的解析解.5飽和土下的孔壓幅值考察了飽和度Sr、分數導數階數α、材料參數比Tσ/Tε、應力系數δ和滲透系數κ對徑向位移幅值應力幅值和孔壓幅值的影響.據文獻取值圖2～圖4分別表示飽和度Sr對徑向位移幅值|U|、徑向應力幅值|σSE|和孔隙水壓力幅值|P|的影響.由圖2可見,黏彈性準飽和土時位移幅值|U|的峰值大于黏彈性飽和土時位移幅值|U|的峰值,這是由于準飽和土中存在少量以氣泡形式產生的氣體所引起的.但是,隨著頻率λ的增加,準飽和土的位移幅值|U|反而比飽和土的位移幅值|U|衰減要快.由圖3可見,當頻率λ<2.8時,準飽和土的應力幅值|σSE|大于飽和土的應力幅值|σSE|,而隨著頻率λ的增加,準飽和土的應力幅值|σSE|反而衰減要快.由圖4可見,準飽和土的孔壓幅值|P|遠大于飽和土的孔壓幅值|P|,這是由于孔隙流體中有氣泡存在造成的.綜上,表明穩(wěn)態(tài)振動時飽和度對動力響應的應力和孔壓幅值影響較大,而對位移幅值|U|的影響相對較小.但對于準飽和土來說,飽和度對動力響應影響很弱.圖5為分數導數階數α對位移幅值|U|的影響.隨著階數α的增加,位移幅值的峰值|U|明顯減小,共振效應逐漸減弱.這是由于階數增加時,土體的阻抗增大所引起的.圖6表示材料參數比Tσ/Tε對位移幅值|U|的影響.從圖中看出,隨著材料參數比Tσ/Tε的增加,位移幅值|U|逐漸減小,這是由于土體的阻抗增大所造成的.圖7表示滲透系數κ對位移幅值|U|的影響.隨著滲透系數κ的增加,而位移幅值|U|逐漸減小,但隨著頻率的增加,位移幅值|U|反而衰減較慢.這里表明邊界不透水(κ→0)時位移幅值|U|的峰值大于透水時的位移幅值|U|的峰值.通過改變滲透系數κ,可以有效地刻畫空腔的滲透性.圖8為應力系數δ對徑向位移幅值|U|的影響.當應力系數δ=0.99時,土體的初始位移(頻率λ=0)遠大于應力系數δ=0.01.這是因為應力系數δ越大,邊界介質承擔的內水壓力值較大,而孔隙水承擔的內水壓力較小所引起的.另外,應力系數δ對共振的強弱程度有關,而對基頻無明顯影響.圖9為階數α對孔壓幅值|P|的影響.隨著階數α的增加,孔壓幅值|P|逐漸減小.另外,發(fā)現當頻率λ=0時,初始孔壓不為0,是因為本文應力系數取0.5,表示介質和孔隙水共同承擔了內水壓力值.圖10為材料參數比Tσ/Tε對孔壓幅值|P|的影響.可見,材料參數比Tσ/Tε對孔壓幅值|P|的影響類似于階數α對孔壓幅值|P|的影響.圖11為滲透系數κ對孔壓幅值|P|的影響.滲透系數κ對孔壓幅值|P|的影響結果較為復雜.當頻率λ<2.1時,透水κ→∞情況下孔壓幅值|P|明顯大于比不透水κ→0情形下的孔壓幅值|P|.而隨著頻率的增加,透水情形下的孔壓幅值|P|反而比不透水情形下的孔壓幅值|P|衰減要快.圖12為應力系數δ對孔壓幅值|P|的影響.當頻率λ<0.8時,隨著應力系數δ的增加,反而減小,但當頻率λ>0.8時,應力系數δ增大時,孔壓幅值|P|反而增大.這是因為內水壓力由孔隙水和介質共同承擔的結果.6土體彈性模型測試結果為了證明計算結果的正確性,將本文結果與文獻[12-13]中分別采用經典彈性模型和標準線性固體模型描述準飽和土力學行為得到的部分結果作對比.按式(35)取值.圖13表示在η=1.5處土體的徑向位移幅值|U|和孔壓幅值|P|隨頻率變化規(guī)律.可見,當土體為經典彈性模型時位移幅值和孔壓幅值達到最大值;當土體為標準線性固體模型時處于最小值,而分數導數模型時兩幅值的峰值在其余兩種模型之間.另外,還可通過改變階數α來改變土體的力學行為,這充分體現了本文利用分數導數本構描述準飽和土力學行為的優(yōu)越性.7參數模型求解本文采用分數導數本構模型描述了準飽和土的動力學行為,研究了內水壓力作用下具有球形空腔的準飽和黏彈性土動力特性.目前,對于該本構模型在巖土工程領域的應用重點在于其參數的確定.事實上,可通過對土體進行單向壓縮蠕變試驗,根據試驗數據得到土體的蠕變曲線,然后借助最小二乘法對試驗數據進行蠕變曲線擬合,即可確定分數導數階數、材料參數等模型參數.何利軍等利用上述方法,以湛江海岸邊沉積層軟黏土為例給出了不同圍壓下模型參數的取值.8結構參數對準飽和土動力響應的影響將襯砌和土骨架分別視為多孔柔性材料和具有分數階導數本構關系的黏彈性體,采用Biot兩相介質理論,在頻率域內得到了內水壓力作用下黏彈性準飽和土中球空腔穩(wěn)態(tài)動力響應的解析解,得到了如下結論:(1)飽和度對徑向應力和孔隙水壓力影響較大,而對徑向位移影響較小.黏彈性準飽和土的位移峰值大于黏彈性飽和土的位移峰值,且黏彈性飽和土的孔隙水壓力遠大于黏彈性準飽和土的孔隙水壓力.在穩(wěn)態(tài)振動時,相對于準飽和土來說,飽和度對球空腔的響應幅值無明顯影響