項目3隨機變量數(shù)字特征

高等應(yīng)用數(shù)學(xué)——提升模塊二（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）項目三隨機變量的數(shù)字特征任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望期望的簡單性質(zhì)1．離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望例1

求2,3,2,4,2,3,4,5,3,2這10個數(shù)的平均值.解E(

X

)

=

2

+

3

+

2

+

4

+

2

+

3

+

4

+

5

+

3

+

2

=

3.10E(

X

)

=

2

·

4

+

3·

3

+

4

·

2

+

5·

1

=

3.10

10

10

10nk

E(

X

)

=

xk

fk

,fk

是xk的頻率.nP(

X

=

xk

)

=

pk

,

E(

X

)

=

xk

pk

.k任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為P(

X

=

xk

)

=

pk

(k

=1,

2,

3,

),如果級數(shù)￥

xk

pk=

x1

p1

+

x2

p2

+

+

xk

pk

+

k

=1定義1絕對收斂，則稱這級數(shù)為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望（或均值），簡稱期望，記作E(X)，即￥E(

X

)

=

xk

pkk

=1nE(

X

)

=

xk

pk

.k

=1任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)例2

擲一枚均勻的骰子，用X表示出現(xiàn)的點數(shù)，求E(X).解X123456p111111666666nE(

X

)

=

xk

pk

,

k

=116161616161

7

.6

2E(

X

)

=1·+

2

·+

3·+

4

·+

5·+

6

·

=任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)例3

甲、乙兩數(shù)控機床在生產(chǎn)同一標準件時所出的次品數(shù)分別用X,Y表示,根據(jù)長期的統(tǒng)計資料分析知,它們的分布列如下:X0123p0.50.20.20.1Y0123p0.40.30.20.1問哪一臺機床的質(zhì)量好些？解E(

X

)

=

0

·

0.5

+1·

0.2

+

2

·

0.2

+

3

·

0.1

=

0.9,E(Y

)

=

0

·

0.4

+1·

0.3

+

2

·

0.2

+

3

·

0.1

=

1.0,E(X

)<E(Y

)，即甲機床質(zhì)量好些.任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)（1）兩點分布設(shè)X服從二點分布，即X的分布列為X0

1pp

qnE(

X

)

=

xk

pk

,

k

=1E(

X

)

=

0

·

q

+1·

p

=

p.任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)（2）二項分布設(shè)X服從二項分布，即X的概率分布為nP(

X

=

k

)

=

C

k

pk

qn-k

, (k

=

0,1,2,

,

n)nE(

X

)

=

xk

pk

,

k

=1nnnk

Ck

p

k

q

n

-

k=

k

)

==E

(

X

)

=

k

P

(

Xk

=

0

k

=

0任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)np

(

p

+

q

)

n

-1

=

n

p

.=

k n

!

p

k

q

n

-

kk

!(

n

-

k

)

!n

k

=1= n

p

(

n

-

1)

!

p

k

-1

q

(

n

-1

)

-

(

k

-1

)(

k

-

1)

![

(

n

-

1)

-

(

k

-

1)]!n

k

=1n

-1r

(

n

-1

)

-

rr

=

0(

n

-

1)

!=p

qr

![(

n

-

1)

-

r

]

!np

令

r

=

k

-

1任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)（3）泊松分布設(shè)X服從泊松分布，即X的概率分布為e-l

,

(k

=

0,1,

2,

;

l

>

0)P(

X

=

k

)

=lkk!nk

kk

=1E(

X

)

=

x

p

,lk

-1￥k

=1=

el

,

(k

-1)!

=

l

.l

=￥￥e-l

=

e-l

k

=1

(k

-1)!lk

-1E(

X

)

=

k

k!k

=0le-l

ellk任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)解例4

某種子公司的某類種子不發(fā)芽率為0.2，今購得該類種子1000粒，求這批種子的平均發(fā)芽粒數(shù).X

~

B(1000,

0.8),E(

X

)

=

np

=1000

·0.8

=

800.任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)0!?

E

(

X

)

=

ll0e-lP(

X

=

0)

==

e-l

=

0.135,

l

=

-ln

0.135

?

2,E(

X

)

=

l

?

2.解k

!例5在一部篇幅很大的書籍中，發(fā)現(xiàn)只有13.5%的頁數(shù)沒有印刷錯誤.如果我們假定每頁的錯字個數(shù)是服從泊松分布的隨機變量，求每頁的平均錯字個數(shù).lkP(

X

=

k

)

=

e-l

,

(k

=

0,1,

2,

),任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)數(shù)學(xué)期望（或均值）,簡稱期望,記作E(X),即2．連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望xp(x)dx.+￥-￥E(

X

)

=

定義2設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為p

(x),如果積分

+￥-￥

+￥-￥|

x

|

p(x)dx

存在,則稱積分xp(x)dx

為隨機變量X的任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)例6

已知隨機變量X的概率密度為

0,0

￡

x

￡1,其他.p(x)

=

2(1

-

x),求X的數(shù)學(xué)期望E(X).1011220022

3+￥-￥E(

X

)

=xp(x)dx

=2x(1-

x)dx

=

1

13

2

(x

-

x

)dx

=

2x

-

x=

.3

解任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)（1）均勻分布設(shè)隨機變量X在區(qū)間[a，b]上服從均勻分布，即X的密度為

0,其他.

1

,

a

￡

x

￡

b,p(x)

=

b

-

a+￥-￥xp(x)dx,

E(

X

)

=

x

bab=

(b

+

a).21

x

2

1

b

2

-

a

2

1=b

-

a

2

2

b

-

adx

=a

b

-

a

E(

X

)

=

xp(x)dx

=+￥-￥任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)（2）指數(shù)分布設(shè)X服從指數(shù)分布，即X的密度為0,(l

>

0)x

?

0,x

<

0,p(x)

=

le-lx+￥-￥xp(x)dx,

E(

X

)

=

001l1l1

.l+￥+￥0-lx-￥+￥+￥-t-t

+￥0-tE(

X

)

=xp(x)dx

=

lxe dx

=te dt

=[(-te

)+e dt]

=

令t

=lx任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)（3）正態(tài)分布X

~

N

(m,s

2

)-12ps12s

2(-￥

<

x

<

+￥

,s

>

0)ep(x)

=(

x-m

)2+￥-￥E(

X

)

=xp(x)dx,

1222t2xee

dt,2s

2dx

s

12ps

1

2ps2ps12p-

1

(

x-m

)2+￥-￥+￥--￥+￥

-1

t2+￥

-1

t2-￥-￥x-mE(

X

)

=(s

t

+

m)e dt

=te dt

+

m

令

=

tm0E(

X

)

=

m.任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)10001例7

若某種電子元器件的壽命X（小時）服從參數(shù)為l

=的指數(shù)分布，求該種元器件的平均壽命.解E(X

)=1

=1000(小時).l即該元器件的平均壽命為1000小時.任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)3．期望的簡單性質(zhì)1010222·

4

+

32

·

3

+

42

·

2

+

52

·

1

.10

10

10=22

+

32+

22

+

42

+

22

+

32

+

42

+

52

+

32

+

22E(

X

)

=一般地，有下面求平均值的計算公式2nk

kx

f

.E(

X

)

=

kn

k

kk

=1x

2

pE(

X

2

)

=任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)一般地，如果X是離散型隨機變量，X的概率分布為P(

X

=

xk

)

=

pk

(k

=1,

2,

3,

),則隨機變量Y=f

(X)的均值可按下述公式計算：E[

f

(

X

)]

=

f

(xk

)

pk

.k如果X是連續(xù)型隨機變量,X的密度為p

(x),則隨機變量Y=f

(X)的均值可按下述公式計算：f

(x)

p(x)dx.+￥-￥E[

f

(

X

)]

=

任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)期望的性質(zhì)：E(c)

=

c.E(kX

)

=

kE(

X

).E(

X

+

b)

=

E(

X

)

+

b.E(kX

+

b)

=

kE(

X

)

+

b....其中k、b、c都是常數(shù).證(4)

設(shè)X的密度為p

(x)..f

(x)

p(x)dx,+￥-￥E[

f

(

X

)]

=

E(kXk+￥-￥+￥+￥-￥-￥+

b)

=(kx

+

b)

p(x)dx

=xp(x)dx

+

bp(x)dx

=kE(

X

)

+

b.

任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)例8

已知隨機變量X的概率分布列為X-

3-1023p0.30.10.20.150.25X

2的期望E(X

2).E[

f

(

X

)]

=

f

(xk

)

pkk求解22k

kx

pE(

X

)

==k(-3)2

·0.3

+(-1)2

·0.1+

02

·0.2

+

22

·0.15

+

32

·0.25

=

5.65.

任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)f

(x)

p(x)dx,已知

X

~

N

(0,1)，求E(

X

2

).+￥-￥例9解

E[

f

(

X

)]

=

+￥-￥-+￥-￥e dx

=x222x22x

p(x)dx

=E(

X

)

=

1

2p

+￥-￥-+￥-￥-

-￥

+￥

e

dxxdx22x2x22e

=

-

x

1

e

-

2

+

1

2p2p

1

2p.

01\

E

(

X

2

)

=1.任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)Xa a

-

bpp

1

-

p例10

根據(jù)統(tǒng)計資料，一位40歲的健康人在5年內(nèi)仍然活著的概率為p(0<

p

<

1,

p為已知)，在5年內(nèi)死亡的概率為1-p，保險公司開辦人壽保險，參加者需交保險費a元（a為已知），如果5年內(nèi)死亡，公司賠償b元

（b

>

a

）.如何確定b，才能使公司可期望獲益？如果有m人參加公司保險，公司可期望收益是多少？解E(

X

)

=

ap

+

(a

-

b)(1-

p)

=

a

-

b(1-

p).E(

X

)

>

0,

.a1

-

pb

<a

-

b(1

-

p)

>

0,任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)

b

>

a,.a\

a

<

b

<1-

p（2）如果有m人參加保險，公司可望收益為E(mX

)

=

mE(

X

)

=

ma

-

mb(1-

p).任務(wù)一數(shù)學(xué)期望及其簡單性質(zhì)任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)方差的概念幾種常用的分布的方差方差的簡單性質(zhì)1．方差的概念看下面兩組數(shù)據(jù)：（1）2，3，2，4，2，3，4，5，3，2；（2）2，3，3，3，4，3，2，3，4，3，3，3.3(2

-3)2

+(3

-3)2

+(4

-

3)2

+(3

-3)2

+(3

-

3)2

+(3

-3)2

]

=

1

.2

2

2

21

4

3

2

1

D(

X

)

=

(2

-

3)

·

+(3

-

3)

·

+(4

-

3)

·

+(5

-

3)

·

.10

10

10

10nk

=11

k

kD(

X

)

=

[(x

-

E(

X

)]2

f21110D(

X

)

=·[(2

-

3)2

+(3

-

3)2

+(2

-

3)2

+(4

-

3)

+(2

-

3)2

+(3

-

3)2

+(4

-

3)2

+(5

-

3)2

+(3

-

3)2

+(2

-

3)2

]

=1.22112D(

X

)

=·[(2

-

3)2

+(3

-

3)2

+(3

-

3)2

+(3

-

3)2

+(4

-

3)2

+(3

-

3)

+n

k

kk

=1[(x

-

E(

X

)]2

pD(

X

)

=任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為P(

X

=

xk

)

=

pk

,

(k

=

1,2,3,

)￥k

[(x

-

E(

X

)]2

pk

=1則k

稱為X的方差，記作D(X)，即￥kk-

E(

X

)]2

pD(

X

)

=

[(xk

=1定義1任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度是p

(x)，則稱定義2

+￥-￥[x

-E(X

)]

p(x)dx為X的方差，記作D(X)，即2+￥-￥D(

X

)

=

[x

-

E(

X

)]2

p(x)dxD(

X

)

=

E[

X

-

E(

X

)]2D(

X

)

=

E(

X

2

)

-[E(

X

)]2方差D(

X

)的算術(shù)平方根

D(

X

),叫做隨機變量X的標準差或均方差.任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)例1

設(shè)某顯像管廠生產(chǎn)一種規(guī)格的顯像管的使用壽命X(小時)的概率分布列如下：X80009000100001100012000p0.10.20.40.20.1求顯像管使用壽命的平均值、方差和標準差.解E(

X

)

=

8000

·

0.1

+

9000

·

0.2

+10000

·

0.4

+11000·0.2

+12000·0.1

=10000.E(

X

2

)

=

80002

·0.1+

90002

·0.2

+100002

·0.4

+110002

·0.2

+120002

·0.1

=101200000.

D(

X

)

=

E(

X

2

)

-

E2

(

X

)

=101200000

-100002

=1200000.D(

X

)

=

1200000

?1095.45.任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)\

D(

X

)

=

E(

X

2

)

-

E

2

(

X

)

=

p

-

p2

=

p(1-

p)

=

pq.任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)2.幾種常用的分布的方差（1）兩點分布

E

(

X

)

=

p,E

(

X

2

)

=

12

·

p

+

02

·

q

=

p

,nn2

knk

Ck n

-

kk

=

0=

k

)

=p

q

=E(

X

2

)

=

k

2

P

(

X

k

=

0（2）二項分布

E

(

X

)

=

np,nk

2n

!k n

-

kp

q

=

k

=1nn

!k n

-

k[(

k

-

1)

+

1]p

q

=(

k

-

1)

!(

n-

k

)

!

k

=1nk

!(

n

-

k

)

!k n

!k n

-

kp

q

=(

k

-

1)

!(

n

-

k

)

!

k

=1任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)n

(

n

-

1)

p

2

+

np

,(

k

-

1)

n

(

n

-

1)(

n

-

2

)

!

p

2

p

k

-

2

q

(

n

-

2

)

-

(

k

-

2

)+n

k

=1n

k

=1(

k

-

1)

!(

n

-

k

)

! n

!

p

k

q

n

-

k

令

r

=

k

-

2

(

k

-

1)

!(

n

-

k

)

!n

-22r

=0(n

-

2)!n(n

-1)

ppr

q

(

n

-2

)-r

+

E

(

X

)

=r

![(n

-

2)

-

r

]!

\

D(

X

)

=

E(

X

2

)

-

E2

(

X

)

=n(n

-1)

p2

+

np

-

n2

p2

=

npq.任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)22k

!lklklk（3）泊松分布

E

(

X

)=

l,+￥k

=0+￥k

=1lk

-2

l2+￥+￥e-l

=e-l

=(k

-1)!e-l

=

l2

+

l,(k

-

2)!k

=1

(k

-1)!E(

X

)

=

k

(k

-1+1)

k

=2e-l

+

\

D(

X

)

=

l2

+

l

-

l2

=

l.任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)（4）均勻分布2

E

(

X

)

=

a

+

b

,222

2bax1

b3

-

a3

1E(

X

)

=dx

= =

(b

+

ab

+

a

),b

-

a

3(b

-

a)

3

132

a

+

b

2

112=

(b

-

a)2

.\

D(

X

)

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(b2

+

ab

+

a2

)

-

任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)l（5）指數(shù)分布

E

(

X

)

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1

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2l

2l

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2

+￥+￥+￥0E(

X

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X

2

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2

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D(

X

)

=

2

-

1

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1

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l2

l2任務(wù)二方差及其簡單性質(zhì)（6）正態(tài)分布

E

(

X

)

=

m,222t2t2t22t2[te2pss

22ps

22p

s

22p

1

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2+￥-￥+￥+￥---￥-￥+￥-+￥

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