基于蒙特卡洛仿真的三維尺寸公差設(shè)計

基于蒙特卡洛仿真的三維尺寸公差設(shè)計

極值法、概率法在零件的尺寸設(shè)計中，尺寸和差分的設(shè)計是連接設(shè)計和零件制造的紐帶。尺寸公差不僅影響產(chǎn)品的質(zhì)量,而且對降低零部件的制造成本,減少產(chǎn)品的研發(fā)周期,進而保持產(chǎn)品的競爭力起著決定性的作用。目前在尺寸及公差設(shè)計中采用的方法可分為3種:極值法、概率法和蒙特卡洛仿真法。極值法就是按完全互換法設(shè)計尺寸及公差。在這種情況下,裝配時各組成環(huán)件不需挑選,裝入后就能達到封閉環(huán)的公差要求。該方法在計算裝配公差時,假定各零件的尺寸同時處于極值,而不考慮各組成環(huán)尺寸分布特性的影響。極值法雖然計算量小、理論簡單,但由于所有零件的公差同時處于極值情況的可能性很小,因此該方法通常對裝配公差要求過高,要求零件有較小的公差帶,以滿足設(shè)計要求。按照這種方法確定的零件公差偏小,常常導(dǎo)致產(chǎn)品成本升高。同時,采用該方法計算時,組成環(huán)的環(huán)數(shù)也受到限制。概率法在計算裝配公差時,假定各零件尺寸及公差服從正態(tài)分布,裝配公差與零件公差之間是線性關(guān)系,通過假設(shè)使得實際情況得到了簡化,而且對產(chǎn)品生產(chǎn)過程的建模更接近于實際。按此法設(shè)計尺寸及公差可保證在絕大多數(shù)產(chǎn)品中,裝配時各組成環(huán)不需挑選,裝入后即能達到封閉環(huán)的公差要求。如果裝配公差與零件公差之間的函數(shù)關(guān)系是非線性的,則此函數(shù)將改變分布的均值,從而使得函數(shù)值的分布是非正態(tài)的,因此該函數(shù)不能用各變量公差的線性組合進行表達。對于這種情況,可以通過將尺寸公差設(shè)計函數(shù)展開成泰勒級數(shù),對此函數(shù)進行線性化。但這種方法需要計算偏導(dǎo)數(shù),計算復(fù)雜。蒙特卡洛(MonteCarlo)仿真法,是一類通過隨機變量的統(tǒng)計試驗、隨機模擬,求解數(shù)學物理、工程技術(shù)問題近似解的數(shù)值方法。這種方法由于計算機的普及而在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。尤其在解決三維尺寸設(shè)計這樣復(fù)雜的問題時,可以得到令人滿意的答案。與極值法和概率法相比,它的計算精度高且符合實際生產(chǎn)情況,尤其在公差相對標準值較大且尺寸公差設(shè)計函數(shù)是高階的情況下,這種方法更精確。本文主要對如何采用蒙特卡洛仿真法解決三維尺寸及公差設(shè)計問題進行研究。1概率分布模型蒙特卡洛仿真法解決問題的基本思想是首先構(gòu)造與描述該類問題有相似性的概率分布模型(以下簡稱分布模型),使分布模型的某些特征(如隨機事件或隨機變量的均值等)與問題的解答聯(lián)系起來,然后通過對分布模型進行隨機模擬或抽樣試驗來計算這些特征的統(tǒng)計值,最后給出所求解的近似值。1.1加工尺寸分布類型的確定在機械結(jié)構(gòu)中,加工尺寸的獲得受到各種因素的影響。如果加工過程穩(wěn)定,而且影響的隨機因素是眾多的、相互獨立的,則根據(jù)中心極限定理,加工尺寸服從正態(tài)分布。然而工程問題很復(fù)雜,加工尺寸受設(shè)備精度、工藝參數(shù)、操作技術(shù)水平等諸多因素的影響,往往會偏離正態(tài)分布。經(jīng)實際測量、統(tǒng)計分析后發(fā)現(xiàn),加工尺寸可能服從指數(shù)分布、瑞利分布、威布爾分布或其他分布。其分布類型應(yīng)該根據(jù)實際情況進行統(tǒng)計分析后方可判定。有了分布模型,下一步就需要產(chǎn)生具有各種分布的隨機數(shù)來模擬系統(tǒng)中的隨機過程。1.2偽隨機數(shù)的簡介在計算機上,產(chǎn)生隨機數(shù)的方法有3種:把已有的隨機數(shù)表輸入機器;用物理方法產(chǎn)生真正的隨機數(shù);用數(shù)學方法產(chǎn)生偽隨機數(shù)。產(chǎn)生偽隨機數(shù)的方法有:迭代取中法、移位法和同余法等。在計算機中,隨機數(shù)的產(chǎn)生是用編寫的程序來完成的,把這個程序稱為隨機數(shù)發(fā)生器。在得到服從(0,1)均勻分布隨機數(shù)序列之后,必須給出分布模型中各種不同分布隨機變量的抽樣方法,才能進行隨機模擬。抽樣方法包括:直接抽樣法、變換抽樣法、舍選抽樣法、復(fù)合抽樣法、近似抽樣法。下面舉例說明指數(shù)分布和正態(tài)分布隨機變量的抽樣方法。(1)隨機變量采用直接抽樣法產(chǎn)生指數(shù)分布f(x)={λe?λx0(x＞0)(x≤0)(1)f(x)={λe-λx(x＞0)0(x≤0)(1)的隨機變量η。若隨機變量η具有連續(xù)的分布函數(shù)F(x),則均勻分布在(0,1)上的隨機變量R=F(η),該式給出了兩個隨機變量之間的基本關(guān)系,它是由R對η進行直接抽樣的依據(jù)。由式(1)可推出R=∫η?∞-∞ηf(x)dx=1-e-λη(2)得η=?1λln(1?R)(3)η=-1λln(1-R)(3)因R和(1-R)同分布,故有η=?1λlnR(4)η=-1λlnR(4)(2)密度函數(shù)un采用變換抽樣法,產(chǎn)生標準正態(tài)分布的隨機變量u,若隨機變量η以f(x)=12πσ√expf(x)=12πσexp?(x?μ)22σ2)(5)-(x-μ)22σ2)(5)為密度函數(shù),簡記為η～N(μ,σ2),當E(η)=μ=0、D(η)=σ2=1時,為標準正態(tài)分布,用u表示,即u～N(0,1)。取隨機數(shù)r1、r2,可以推出{u1=?2lnr1??????√cos(2πr2)u2=?2lnr1??????√sin(2πr2)(6){u1=-2lnr1cos(2πr2)u2=-2lnr1sin(2πr2)(6)相互獨立,服從N(0,1)標準正態(tài)分布。1.3尺寸方差設(shè)計函數(shù)利用上述方法可獲得的一組等價于尺寸及公差實際值的隨機數(shù),通過尺寸公差設(shè)計函數(shù)就可以求得一系列尺寸設(shè)計變量的基本尺寸及公差。但是,這個計算過程要經(jīng)過多次循環(huán)才能保證設(shè)計的精度。2適用于蒙特卡洛模擬方法2.1操縱桿組件的三維實體模型目前,在機械工程設(shè)計中大多采用CAD軟件進行設(shè)計,零部件的模型基本上都是三維實體模型。這就要求尺寸分析軟件也要具備處理三維實體模型的能力,換言之,它必須是一個三維尺寸分析軟件。因此,利用蒙特卡洛仿真法,采用面向?qū)ο蠹夹g(shù)開發(fā)了一個三維尺寸及公差分析軟件。該軟件可以和UG、Pro/E、CATIA等大型CAD軟件生成的三維實體模型兼容,但此軟件不具備實體造型功能,僅能使用其它CAD軟件提供的實體模型進行分析。分析時除應(yīng)輸入已知尺寸及公差的大小外,還應(yīng)根據(jù)實際生產(chǎn)情況,經(jīng)統(tǒng)計分析,確定它們的分布狀況。下面用該軟件進行操縱桿零部件的三維尺寸分析。操縱桿組件的三維實體模型可用UG、Pro/E或CATIA等CAD軟件生成。圖1所示是操縱桿部件中的一個組件,該組件由兩個零件組成。上邊的零件支撐架(圖2)是操縱桿的支撐零件,下邊的零件底板(圖3)是個聯(lián)接件。這兩個零件是由上述CAD軟件生成的三維實體模型。用蒙特卡洛仿真法分析支撐架上的一個孔和底板上與該孔相配合的銷子之間的最小間隙。2.2分析過程整個分析處理過程主要包括4個模塊(如圖4所示),下面加以簡要說明。2.2.1基于三維模型的轉(zhuǎn)換因為要進行三維尺寸分析,所以該模塊可將輸入的三維模型轉(zhuǎn)換為分析軟件可識別與可操作的三維模型。將操縱桿組件輸入后,該軟件還允許用戶在計算機上對模型進行縮放、旋轉(zhuǎn)、移動等操作,以便對模型進一步分析與處理。2.2.2計算某一尺寸或d該模塊允許用戶在模型上拾取或添加尺寸及相應(yīng)的公差,其中包括尺寸公差、形狀公差、位置公差,并確定這些尺寸及公差的分布狀況等;然后,設(shè)定分析計算的目標,例如:確定裝配的間隙,計算某些尺寸及公差,等等。這里,按設(shè)計原則將支撐架和底板上與分析計算目標有關(guān)的尺寸及公差無遺漏地添加到模型上,并設(shè)定分析的目標是孔與相配合的銷子之間的最小配合間隙。2.2.3計算模型的建立該模塊是采用蒙特卡洛仿真法來進行分析計算的。當用戶按照設(shè)計原則將尺寸及相應(yīng)的公差添加到三維模型,并確定了分析計算的目標后,還應(yīng)設(shè)定抽樣樣本的大小,這里的樣本數(shù)是5000。這樣,計算機就可以進行分析計算了。2.2.4結(jié)果處理模塊分析計算以后,計算機將結(jié)果輸出給結(jié)果處理模塊,由該模塊產(chǎn)生各種分析報告。這些報告包括:敏感度報告、統(tǒng)計報告、過程控制報告等。(1)支撐架上的最小間隙敏感度報告有兩種形式可供用戶選擇。一種是三維柱形圖(圖5),從圖表上可以看出有7個尺寸誤差對支撐架上的一個孔和底板上與該孔相配合的銷子之間的最小間隙有影響,影響最大為39.17%。另一種是三維餅圖(圖6),它與三維柱形圖的報告結(jié)果是一樣的,只是表達形式不同。敏感度報告為零部件的尺寸設(shè)計及公差分析提供了依據(jù)。(2)統(tǒng)計報告圖7的右半部分是一個統(tǒng)計報告。從圖表上可以看到最小配合間隙的統(tǒng)計分布類型(威布爾分布)、樣本的大小、均值、方差以及其他統(tǒng)計參數(shù)。(3)各部位的分析如圖8所示,在這個報告里有敏感度報告、統(tǒng)計報告,還有一個圖表明所分析的部位,一目了然。據(jù)此,可為產(chǎn)品設(shè)計、過程控制和