專題12正多邊形與圓（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型1種中考考法）

專題12正多邊形與圓（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1正多邊形及其相關(guān)概念知識(shí)點(diǎn)2正多邊形的有關(guān)計(jì)算（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3正多邊形的性質(zhì)（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4正n邊形的畫法（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.利用正多邊形的性質(zhì)求角題型2.利用正多邊形的性質(zhì)求圖形的面積【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.正多邊形與圓相關(guān)計(jì)算【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知道正多邊形的概念、正多邊形與圓的關(guān)系，并能進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。初步認(rèn)識(shí)正多邊形的對(duì)稱性。會(huì)用量角器畫正多邊形，會(huì)用直尺和圓規(guī)作一些特殊的正多邊形?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1正多邊形及其相關(guān)概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點(diǎn)詮釋：

判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【例1】已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．75°D．90【答案】A.【解析】如圖，連接OB、OC，則∠BOC=90°，

根據(jù)圓周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．

故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用．【變式】如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)P在⊙O上，則∠APB等于（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】連接OA，OB．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得∠AOB=90°．再根據(jù)圓周角定理，得∠APB=45°．

故選B．【例2】．如圖1，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠AOQ=（）A．60°B．65°C．72°D．75°【思路點(diǎn)撥】連接OD，根據(jù)題意求出∠POQ和∠AOD的度數(shù)，利用平行關(guān)系求出∠AOP度數(shù)，即可求出∠AOQ的度數(shù)．【答案】D.【解析】如圖2，連接OD，由題意可知∠POQ=120°，∠AOD=90°，

由BC∥RQ可知P為弧AD的中點(diǎn)，所以∠AOP=45°，

所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．

故選D．【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線（如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等），再利用正多邊形與圓有關(guān)性質(zhì)求解．【例3】如圖所示，正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M．(1)求證：AC∥ED；(2)求證：ME＝AE．【解析與答案】(1)正多邊形必有外接圓，作出正五邊形的外接⊙O，則的度數(shù)為，∵∠EAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，∴∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，∴∠EAC+∠AED＝180°，∴ED∥AC．(2)∵∠EMA＝180－∠AEB－∠EAC＝72°，∴∠EAM＝∠EMA＝72°，∴EA＝EM．【點(diǎn)評(píng)】輔助圓是特殊的輔助線，一般用得很少，當(dāng)有共圓條件時(shí)可作出輔助圓后利用圓的特殊性去解決直線型的問(wèn)題．要證AC∥ED和ME＝AE，都可用角的關(guān)系去證，而如果作出正五邊形的外接圓，則用圓中角的關(guān)系去證比較容易．【例4】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點(diǎn)，直線BE交⊙O于點(diǎn)F，若⊙O的半徑為，則BF的長(zhǎng)為．【答案】.【解析】解：連接BD，DF，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BF于點(diǎn)F，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為，∴BD=2，∴AD=AB=BC=CD=2，∵E為DC的中點(diǎn)，∴CE=1，∴BE=，∴CN×BE=EC×BC，∴CN×=2，∴CN=，∴BN=，∴EN=BE﹣BN=﹣=，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BFD=90°，∴△CEN≌△DEF，∴EF=EN，∴BF=BE+EF=+=，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形和圓以及勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，根據(jù)圓周角定理得出正多邊形邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)2正多邊形的有關(guān)計(jì)算（重點(diǎn)）(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.要點(diǎn)詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形.【例5】如圖，點(diǎn)G，H分別是正六邊形ABCDEF的邊BC，CD上的點(diǎn)，且BG=CH，AG交BH于點(diǎn)P．（1）求證：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度數(shù)．【答案與解析】（1）證明：∵在正六邊形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG與△BCH中，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素．【例6】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，則B、E兩點(diǎn)間的距離為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可以求得∠BAE的度數(shù)，由正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，可以求得B、E兩點(diǎn)間的距離．【答案】8．【解析】解：連接BE、AE，如右圖所示，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF=∠AFE=120°，F(xiàn)A=FE，∴∠FAE=∠FEA=30°，∴∠BAE=90°，∴BE是正六邊形ABCDEF的外接圓的直徑，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，∴BE=8，即則B、E兩點(diǎn)間的距離為8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．【變式】如圖是對(duì)稱中心為點(diǎn)的正六邊形．如果用一個(gè)含角的直角三角板的角，借助點(diǎn)（使角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)處），把這個(gè)正六邊形的面積等分，那么的所有可能的值是

_____________

.【答案】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可知，只要把此正六邊形再化為正多邊形即可，

即可知：360÷30=12；

360÷60=6；

360÷90=4；

360÷120=3；

360÷180=2．

故么n的所有可能的值是2，3，4，6，12．知識(shí)點(diǎn)3正多邊形的性質(zhì)（重點(diǎn)）1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.個(gè)全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

要點(diǎn)詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識(shí)點(diǎn)4正n邊形的畫法（難點(diǎn)）

由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

規(guī)等分圓

對(duì)于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分……。

要點(diǎn)詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).【方法二】實(shí)例探索法題型1.利用正多邊形的性質(zhì)求角1．（2022?岳池縣模擬）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角∠COD的度數(shù)是（）A．72° B．60° C．48° D．36°【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計(jì)算公式：360°n【解答】解：∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴五邊形ABCDE的中心角∠COD的度數(shù)為360°5=故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式：360°n2．（2022?成華區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在劣弧AB上，則∠P的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】連接OB、OC，如圖，先利用正方形的性質(zhì)得∠BOC＝90°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【解答】解：連接OB、OC，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BOC＝90°，∴∠BPC=12∠BOC＝故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了正方形的性質(zhì)．3．（2022?宜興市一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)是（）A．108° B．129° C．130° D．144°【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°，由切線的性質(zhì)可得出∠OAE＝∠OCD＝90°，在五邊形CDEAO中由內(nèi)角和可求出答案．【解答】解：∵正五邊形ABCDE，∴∠D＝∠E=(5-2)×180°5又∵⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點(diǎn)，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，在五邊形CDEAO中，∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°×2﹣108°×2＝144°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，掌握正多邊形的內(nèi)角、內(nèi)角和的計(jì)算方法以及切線的性質(zhì)是正確計(jì)算的前提．4．（2022?徐州一模）如圖，AF是正五邊形ABCDE的外接圓的切線，則∠CAF＝°．【分析】連接OC，AO，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠B=(5-2)×180°5=108°，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝360°﹣2∠B＝144°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAO=12×（180°﹣144°）＝【解答】解：連接OC，AO，在正五邊形ABCDE中，∠B=(5-2)×180°5∴∠AOC＝360°﹣2∠B＝144°，∵OC＝OA，∴∠CAO=12×（180°﹣144∵AF是正五邊形ABCDE的外接圓的切線，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝90°﹣18°＝72°，故答案為：72．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5（2022春?福州期中）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓弧交AC于點(diǎn)F，連接DF．則∠FDC的度數(shù)是．【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，進(jìn)而可得四邊形AEDF是平行四邊形，求出∠DFC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出答案即可．【解答】解：∵正五邊形ABCDE，∴∠ABC＝∠EAB=(5-2)×180°5=108°，AB＝BC＝CD＝DE∴∠ACB＝∠BAC=180°-108°2∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，∴DE∥AC，又∵DE＝AE＝AF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AE∥DF，∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案為：36°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，掌握正五邊形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理是正確解答的前提．題型2.利用正多邊形的性質(zhì)求圖形的面積6．（2022?達(dá)拉特旗一模）如圖，在擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開(kāi)的開(kāi)口b＝103mm，則這個(gè)正六邊形的面積為（）A．2033mm2 B．3003mm2 C．1503mm2 D．753【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得CD的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的余弦，可得答案．【解答】解：如圖：作BD⊥AC于D，由正六邊形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∠BCD＝∠BAC＝30°．由AC＝103mm，得CD＝53mm．cos∠BCD=CDBC=解得a＝10，這個(gè)正六邊形的面積6×12×10×53=1503故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，利用了正六邊形的性質(zhì)得出等腰三角形是解題關(guān)鍵，又利用了正三角形的性質(zhì)，余弦函數(shù)，7.以半徑為1的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是（）A． B． C． D．【答案】D.【解析】解：如圖1，∵OC=1，∴OD=；如圖2，∵OB=1，∴OE=；如圖3，∵OA=1，∴OD=，則該三角形的三邊分別為：、、，∵（）2+（）2=（）2，∴該三角形是以、為直角邊，為斜邊的直角三角形，∴該三角形的面積是××=，故選：D．8.如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對(duì)角線．（1）在剩余的頂點(diǎn)B、C、D、E、F、H中，連接兩個(gè)頂點(diǎn)，使連接的線段與AG平行，并說(shuō)明理由；（2）兩邊延長(zhǎng)AB、CD、EF、GH，使延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．【答案與解析】解：（1）連接BF，則有BF∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八邊形，∴它的內(nèi)角都為135°．又∵HA=HG，∴∠°，從而∠2=135°﹣∠°．由于正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對(duì)稱，∴即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．（2）根據(jù)題設(shè)可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，∴四邊形PQMN是矩形．又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形．在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AH=2，∴PA=∴．故．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出PQ的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．9.如圖（1）所示，圓內(nèi)接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的．圖（1）【答案與解析】(1)連OA、OB、OC，如圖（2）所示，圖（2）則OA＝OB＝OC，又AB＝BC＝CA．∴△OAB≌△OBC≌△OCA，又OD⊥BC于F，OE⊥AC于G，由垂徑定理得AG＝AC，F(xiàn)C＝BC，∴AG＝CF．∴Rt△AOG≌Rt△COF∴．【點(diǎn)評(píng)】首先連接OC，根據(jù)垂徑定理的知識(shí)，易證得Rt△OCG≌Rt△OCF，設(shè)OG=a，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的知識(shí)，即可求得陰影部分四邊形OFCG的面積與△ABC的面積，繼而求得答案．10.如下圖，若∠DOE保持120°角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形，圖中陰影部分的面積始終是△ABC的面積的．【答案】連接OA、OB、OC，由(1)知△OAB≌△OBC≌△OCA．∴∠1＝∠2．設(shè)OD交BC于F，OE交AC于G，則∠AOC＝∠3+∠4＝120°，∠DOE＝∠5+∠4＝120°，∴∠3＝∠5．在△OAG和△OCF中，∴△OAG≌△OCF．∴．11．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，CE．（1）求證：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．【分析】（1）欲證明AE＝DE，只要證明AE=（2）連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長(zhǎng)線于F．證明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四邊形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求出DE，即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB=∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=∴AB+BE=∴AE＝DE．（2）解：連接BD，AO，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長(zhǎng)線于F．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，∵∠EDF＝90°，∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝DF，∵∠AED=12∠AOD＝∴∠AED＝∠F＝45°，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF在△ADE和△CDF中，∠ADE=∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四邊形AECD＝S△DEF，∵EF=2DE＝EC+DE，EC＝1∴1+DE=2DE∴DE=2+∴S四邊形AECD＝S△DEF=12DE2【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.正多邊形與圓相關(guān)計(jì)算12．（2021?徐州）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍【分析】根據(jù)圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1，設(shè)圓的直徑，表示出正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)，再分別表示圓、正方形的面積即可．【解答】解：設(shè)AB＝6a，因?yàn)镃D：AB＝1：3，所以CD＝2a，OA＝3a，因此正方形的面積為CD?CD＝2a2，圓的面積為π×（3a）2＝9πa2，所以圓的面積是正方形面積的9πa2÷（2a2）≈14（倍），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的有關(guān)計(jì)算，正方形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的面積和正方形面積的計(jì)算方法是得出正確答案的前提．13．（2023?連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn)°．【分析】以正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即∠DCD'是旋轉(zhuǎn)角，∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則∠DCD'至少要旋轉(zhuǎn)60°．【解答】解：∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則∠DCD'至少為60°，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn)60°．故答案為：60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2022?宿遷）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM＝2．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長(zhǎng)是．【分析】設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O，過(guò)點(diǎn)M、O作直線l交CD于點(diǎn)N，則直線l將正六邊形的面積平分，直線l被正六邊形所截的線段長(zhǎng)是MN，連接OF，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OF于點(diǎn)H，連接OA，由正六邊形的性質(zhì)得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，進(jìn)而得出△OAF是等邊三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，進(jìn)而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的長(zhǎng)度，即可得出答案．【解答】解：如圖，設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O，過(guò)點(diǎn)M、O作直線l交CD于點(diǎn)N，則直線l將正六邊形的面積平分，直線l被正六邊形所截的線段長(zhǎng)是MN，連接OF，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OF于點(diǎn)H，連接OA，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB＝6，中心為O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等邊三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵M(jìn)H⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，解法二：利用對(duì)稱性，DN＝AM＝2，由M向下作垂線，利用勾股定理求解，可得結(jié)論．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，掌握正六邊形的特點(diǎn)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)F在弧上．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，，，根據(jù)五邊形是正五邊形，可求出的度數(shù)，由，可得的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)一步求解即可．【詳解】如圖，連接，，，

∵五邊形是正五邊形，∴，∵，∴，∴，∵正五邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、正多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算正五邊形的內(nèi)角，再計(jì)算正五邊形的中心角，作差即可．【詳解】∵，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計(jì)算，熟練掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）將一個(gè)正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及正多邊形的中心角的度數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：正六邊形的中心角的度數(shù)為：，∴正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)或的整數(shù)倍時(shí)，仍與原圖形重合，∴旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)圖形，正多邊形的中心角．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的中心角的度數(shù)的求法，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)以及正多邊形與圓的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，故①是假命題；正三角形和正五邊形就不是中心對(duì)稱圖形，故②為假命題；正六邊形中由外接圓半徑與邊長(zhǎng)可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等，故③為真命題；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義和正多邊形的特點(diǎn)，可知正n邊形共有n條對(duì)稱軸，故④為真命題.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的概念以及正多邊形與圓的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型．5．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)正六邊形的圓心角及圓心角與圓周角的關(guān)系即可得解【詳解】解：連接，∵多邊形是正六邊形，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓及圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出圓心角是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)為10，則正六邊形的周長(zhǎng)（）A．5 B．6 C．30 D．36【答案】C【分析】連接、，交于點(diǎn)，則點(diǎn)是正六邊形的中心，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接、，交于點(diǎn)，則點(diǎn)是正六邊形的中心，∵六邊形是正六邊形，，∴，，∴是等邊三角形，，∴正六邊形的周長(zhǎng)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形）放在平面直角坐標(biāo)系中，若與軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、于點(diǎn)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接、于點(diǎn)，

∵正六邊形邊長(zhǎng)為4，，∴，在中，，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計(jì)算的前提，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)和點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，得到，，得到，根據(jù)圓周角定理即可得到的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，

∵正六邊形內(nèi)接于，Q是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握正多邊形和圓的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)正八邊形，圖中空白部分的面積等于12，則正八邊形的面積等于（）

A．12 B．20 C．24 D．12【答案】A【分析】作出正方形，在中，設(shè)，則，，正八邊形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)空白部分的面積是12可列方程求出的值，然后利用矩形和三角形的面積求出陰影部分的面積，從而可以求出正八邊形的面積．【詳解】解：作出正方形，如圖所示，

在中，設(shè)，則，，正八邊形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為：，根據(jù)題意得：，解得：，則陰影部分的面積為：，正八邊形的面積為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的計(jì)算，作出正方形，根據(jù)空表部分的面積，正確求出的直角邊的長(zhǎng)是關(guān)鍵．10．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)是正方形和正五邊形的中心，連接、交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形與圓的性質(zhì)以及圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接、、、、，是正方形和正五邊形的外接圓，∵正方形內(nèi)接于，∴，又∵正五邊形內(nèi)接于，∴，∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，掌握正多邊形與圓的性質(zhì)，圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理是正確解答的前提．二、填空題11．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）正六邊形內(nèi)接于，正六邊形的周長(zhǎng)是24，則的半徑是．【答案】4【分析】連接，首先求出，進(jìn)而證明為等邊三角形，問(wèn)題即可解決．【詳解】解：連接，

∵多邊形是正六邊形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵正六邊形的周長(zhǎng)是24，∴，∴的半徑是4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，以正多邊形外接圓、正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若正六邊形的邊長(zhǎng)為，則其外接圓的半徑為．【答案】【分析】根據(jù)題意可知正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，每條邊所對(duì)外接圓的圓心角的度數(shù)，圖形結(jié)合，判定正六邊形中為直徑，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，其每條邊所對(duì)外接圓的圓心角的度數(shù)為，如圖所示，正六邊形，，外接圓為，連接，，，∴，，，∵，∴，∴，則，∵，，∴，∴，∴，∴線段是的直徑，∴是外接圓的半徑，∵，∴是等邊三角形，∴，∴外接圓的半徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與多邊形的綜合，掌握正多邊形的性質(zhì)，圓的基礎(chǔ)知識(shí)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）六個(gè)帶角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為，求中間正六邊形的周長(zhǎng)．【答案】60【分析】利用得到，再根據(jù)含的直角三角形三邊的關(guān)系得到，接著證明可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，即，∴，∴中間正六邊形的周長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了含角的直角三角形：在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，也考查了正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是求出．14．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知正六邊形的半徑為，則它的周長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng)，∴正六邊形的邊長(zhǎng)：，∴正六邊形的周長(zhǎng)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了正六邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑．15．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖①，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過(guò)觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面均為正六邊形．如圖②是一部分巢房的截面圖，建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得出點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，由成中心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)、成中心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)、成中心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，延長(zhǎng)正五邊形各邊，使得，若，則的度數(shù)為．【答案】/36度【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，可求出正五邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出是等腰三角形，并求出各個(gè)內(nèi)角度數(shù)，由全等三角形的性質(zhì)可求出答案．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，，又∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，同理可得，即五邊形是正五邊形，在中，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的圓，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，掌握正五邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的前提．17．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，是的直徑，P是上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，F(xiàn)重合），則的度數(shù)為°．【答案】54或126【分析】由正五邊形的性質(zhì)，圓周角定理，得到，由等腰三角形的性質(zhì)推出直徑，從而求出的度數(shù)，分兩種情況，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接，∵正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)把圓五等分，∴，∴，∴，∵，∴直徑，∴，∵，∴，當(dāng)P在上時(shí)，連接，∵，∴，∴，當(dāng)P在上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得．∴的度數(shù)是或．故答案為：54或126．【點(diǎn)睛】本題考查正五邊形和圓，關(guān)鍵是掌握正五邊形的性質(zhì)．18．（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期中）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，正六邊形的外接圓與正六邊形的各邊相切，正六邊形的外接圓與正六邊形的各邊相切……按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，的邊長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接，，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，則為等邊三角形，再根據(jù)切線的性質(zhì)得，于是可得，利用正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑可得正六邊形的邊長(zhǎng)，同理可得正六邊形的邊長(zhǎng)，依此規(guī)律求解即可．【詳解】解：連接，，，如圖所示，六邊形為正六邊形，，為等邊三角形，正六邊形的外接圓與正六邊形的各邊相切，，，正六邊形的邊長(zhǎng)，同理可得正六邊形的邊長(zhǎng)，正六邊形的邊長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于利用正六形邊的一邊與圓的兩條半徑可構(gòu)成特殊的三角形——等邊三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)．三、解答題19．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖1中的邊上求作點(diǎn)，使；(2)在圖2中的邊上求作點(diǎn)，使．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接AO并延長(zhǎng)與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM與DE的交點(diǎn)即為所求作；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長(zhǎng)與DE相交，連接AG交BO延長(zhǎng)線于N，連接CN并延長(zhǎng)即可．【詳解】（1）連接AO并延長(zhǎng)與CD相交，連接EF交AO延長(zhǎng)線于M，連接BM交DE于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為所求作，如圖1所示；理由：∵⊙O為正五邊形的外接圓，∴直線AO是正五邊形ABCDE的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)．∵點(diǎn)M在直線AO上，∴射線BM與射線EF關(guān)于直線AO對(duì)稱，從而點(diǎn)F與點(diǎn)G關(guān)于直線AO對(duì)稱，∴CF與DG關(guān)于直線AO對(duì)稱．∴DG=CF．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長(zhǎng)與DE相交，連接AG交BO延長(zhǎng)線于N，連接CN，如圖2所示；【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：無(wú)刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對(duì)稱性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：四邊形為菱形．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用正五邊形的性質(zhì)求出及度數(shù)，得出，最后求出的度數(shù)；（2）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證．【詳解】（1）解：∵正五邊形ABCDE∴，，∴同理：，∴．（2）證明：∵，∴，∴，同理∴∴四邊形CDEF為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)及菱形的判定，利用正五邊形的性質(zhì)得出內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．21．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格紙中，O、A都是格點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，用無(wú)刻度的直尺完成以下畫圖：(1)在圖①中畫⊙O的一個(gè)內(nèi)接正六邊形；(2)在圖②中畫⊙O的一個(gè)內(nèi)接正八邊形．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）設(shè)的延長(zhǎng)線與圓交于點(diǎn)D，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，點(diǎn)D即為正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，且正六邊形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，即，故在圖中找到的中垂線與圓的交點(diǎn)即為正六邊形的頂點(diǎn)B和F,同理∶在圖中找到的中垂線與圓的交點(diǎn)即為正六邊形的頂點(diǎn)C和E，連接，如圖，正六邊形即為所求；（2）圓的內(nèi)接八邊形的中心角為，而正方形的對(duì)角線與邊的夾角也為，根據(jù)正方形對(duì)角線能形成角，以此確定，同理即可確定另外4個(gè)點(diǎn)位置，再順次連接即可．【詳解】（1）解：如圖所示，如圖①，正六邊形即為所求；（2）如圖所示，如圖②，正八邊形即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、正多邊形和圓，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊的性質(zhì)，準(zhǔn)確畫圖．22．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知等腰中，AB＝AC．（1）如圖1，若為的外接圓，求證：；（2）如圖2，若，，I為的內(nèi)心，連接IC，過(guò)點(diǎn)I作交AC于點(diǎn)D，求ID的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】(1)連接OB、OC，可得AB＝AC,利用垂直平分線的判定可得;(2)連接AI并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)I分別作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H,通過(guò)，I為的內(nèi)心，可知,利用勾股定理可求,設(shè)，由，可得：,再設(shè)，則，再求解證明,所以設(shè)，，利用勾股定理可得答案.【詳解】（1）證明：連接OB、OC，∵AB＝AC，∴A在BC的垂直平分線上又∵OB＝OC，∴O也在BC的垂直平分線上∴（2）連接AI并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)I分別作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H

∵，I為的內(nèi)心，∴，，∴設(shè)，由可得：∴設(shè)，則，∴解得：

即∵，平分∴∴設(shè)，在中，∴解得：

∴【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)心和外心，以及勾股定理，掌握?qǐng)A的內(nèi)心和外心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M．（1）求證：AC∥ED；（2）求證：ME＝AE．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）作出正五邊形的外接⊙O，則的度數(shù)為，由∠EAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，得到∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，則∠EAC+∠AED＝180°，即可證明ED∥AC；（2）由∠AEB的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，得到∠AEB=36°，則∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，可推出∠EAM＝∠EMA＝72°，即可證明EA＝EM．【詳解】解：∵正多邊形必有外接圓，∴作出正五邊形的外接⊙O，則的度數(shù)為，∵∠EAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，∴∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，∴∠EAC+∠AED＝180°，∴ED∥AC；（2）∵∠AEB的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，∴∠AEB=36°，∴∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，∴∠EAM＝∠EMA＝72°，∴EA＝EM．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，平行線的判定，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)．24．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開(kāi)始，以相同的速度中⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．（1）求圖①中∠APB的度數(shù)；（2）圖②中，∠APB的度數(shù)是，圖③中∠APB的度數(shù)是；（3）根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況？若能，寫出推廣問(wèn)題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=【分析】（1）由題意可得，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可得，在利