專題3 以楊輝三角為背景的題組訓練（原卷版）

【高中數(shù)學數(shù)學文化鑒賞與學習】專題3楊輝三角（以楊輝三角為背景的高中數(shù)學考題題組訓練）一、單選題1．如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，它揭示了（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．由此可得圖中第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為（

）A．256 B．512 C．1024 D．10232．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個數(shù)字為，第3行的第3個數(shù)字為，……，第行的第3個數(shù)字為則（

）A．165 B．120 C．220 D．963．我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就在楊輝三角中，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……則此數(shù)列的前46項和為（

）A．4080 B．2060 C．2048 D．20374．如圖所示是一個類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個數(shù)均為（

）A．2n B． C． D．5．我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，則此數(shù)列的前56項和為（

）A．2060 B．2038 C．4084 D．41086．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，若第n行中從左至右只有第12個數(shù)為該行中的最大值，則n=（

）A．21 B．22 C．23 D．247．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項，則的值為（

）A．1225 B．1275 C．1326 D．13628．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為（

）A． B． C． D．9．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數(shù)是（

）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A．21 B．28 C．36 D．5610．下表出現(xiàn)在我國南宋數(shù)學家楊輝的著作《詳解九章算法》中，稱之為“楊輝三角”，該表中第10行第7個數(shù)是（

）A．120 B．210 C．84 D．3611．將三項式展開，得到下列等式：廣義楊輝三角形第0行

1第1行

1

1

1第2行

1

2

3

2

1第3行

1

3

6

7

6

3

1第4行

1

4

10

16

19

16

10

4

1觀察多項式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它正上方與左右兩肩上的3個數(shù)（不足3個數(shù)時，缺少的數(shù)以0計）之和，第行共有個數(shù).則關(guān)于的多項式的展開式中，項的系數(shù)（

）A． B．C． D．12．如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，…，記這個數(shù)列的前n項和為，則等于(

)A．144 B．146 C．164 D．46113．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個數(shù)字為，第3行的第3個數(shù)字為，…，第行的第3個數(shù)字為，則（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1…

…

…

…A．220 B．186 C．120 D．9614．南宋數(shù)學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，這是數(shù)學史上的一個偉大的成就，如圖所示，在“楊輝三角”中，前n行的數(shù)字總和記作．設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項依次組成新的數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和記作，則的值為（

）A．6067 B．5052 C．3048 D．151815．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，法國數(shù)學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）A．B．在第2022行中第1011個數(shù)最大C．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于9行的第8個數(shù)D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為2：316．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如圖所示的是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成數(shù)列，記為該數(shù)列的第n項，則（

）A．2016 B．4032 C．2020 D．404017．將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，可得到如圖所示的分數(shù)三角形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在使得，則的值是（

）A． B． C． D．18．我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前35項和為（

）A．994 B．995 C．1003 D．100419．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1，1，2，3，5，8，13，，則下列選項不正確的是（

）A．在第9條斜線上，各數(shù)之和為55B．在第條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小C．在第條斜線上，共有個數(shù)D．在第11條斜線上，最大的數(shù)是20．南宋數(shù)學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數(shù)學史上的一個偉大的成就.在“楊輝三角”中，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前項和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項組成新的數(shù)列，則的值為（

）A．5043 B．5047 C．5048 D．5052二、填空題21．楊輝三角在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．它的開頭幾行如圖所示，它包含了很多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第1行開始的每一個數(shù)都換成分數(shù)，得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，萊布尼茨由它得到了很多定理，甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，請問“萊布尼茨三角形”第9行第4個數(shù)是______．22．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，則第10條斜線上，各數(shù)之和為______.23．“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．若在“楊輝三角”中從第二行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數(shù)列中，第35項是______．24．楊輝是我國南宋的一位杰出的數(shù)學家，在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫的一張表示二項式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱為“開方做法本源”．現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”．下圖是，當時展開式的二項式系數(shù)表示形式．按這個規(guī)律，第9行第8個數(shù)為________．25．習近平總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學愛好者的探究欲望．如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角中，第10行第8個數(shù)是______．26．楊輝三角是中國古代數(shù)學的杰出研究成果之一，它把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合.如圖所示的楊輝三角中，從第3行開始，每一行除1以外，其他每一個數(shù)字都是其上一行的左、右兩個數(shù)字之和，若在楊輝三角中存在某一行，滿足該行中有三個相鄰的數(shù)字之比為4∶5∶6，則這一行是第__________行.第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行1

6

15

20

15

6

127．將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，就得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，令，則_______.28．楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律．現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，記作數(shù)列．若數(shù)列的前n項和為，則=______