2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題10以三角形為載體的幾何綜合問(wèn)題

專題10以三角形為載體的幾何綜合問(wèn)題

［Ml］（2020?常用）

【變式1-1］（2019?南滿）

P'【考點(diǎn)1］三角形有關(guān)角的計(jì)算綜合問(wèn)題

【變式1-2］（2020?南京）

【例2】（2019?跚）

____________________________________________【?式2-1】（2020?宿遷）

【考點(diǎn)2］三角形有關(guān)線段計(jì)算問(wèn)蔻-3】（2020序M）

【變93］（2020?研）

【例3】（2020?吳江區(qū)二一）

【變武3-1］（2020?祁江區(qū)校取三樓）

［考點(diǎn)3］三角形有關(guān)周長(zhǎng)和面積計(jì)算問(wèn)題］eI變H3.21（2。2。.a1鹿一?。?/p>

專題以三角形為載體

10［55C3-3］（2020?海門市校皴模擬）

的幾何綜合問(wèn)題

［?4］（2019?無(wú)錫一模）

【變式4-1］（2019?內(nèi)江模擬）

【考點(diǎn)4】三角形有關(guān)多項(xiàng)判斷綜合計(jì)算問(wèn)題

【變貳4-2］（2019?思明區(qū)?；章龜M）

【例5】（2020?鹽城）

【變式51）（2019?南通）

【考點(diǎn)5】以三角形為背景的幾何綜合探究問(wèn)題【變式5-2］（2019?揚(yáng)州）

［SxC5-3j（2020?宿遷模擬）

壓軸精練

1/痔選江蘇省中二考百—跳模擬瓢S項(xiàng)訓(xùn)限二22道Q/

典例剖析

JJ

【考點(diǎn)1］三角形有關(guān)角的計(jì)算綜合問(wèn)題

【例1】（2020?常州）如圖，在AABC中，BC的垂直平分線分別交2C、AB于點(diǎn)E、F.若

△AFC是等邊三角形，則/8=.

【變式1-1］（2019?南通）如圖，AABC中，AB=BC,乙48c=90°,尸為AB延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF,若NBAE=25°,則NACF=度.

【變式1-2］（2020?南京）如圖，線段AB,BC的垂直平分線八、/2相交于點(diǎn)O,若/1=

39°,貝U/AOC=

【考點(diǎn)2］三角形有關(guān)線段計(jì)算問(wèn)題

【例2】（2019?揚(yáng)州）已知〃是正整數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是〃+2、〃+8、3%則滿

足條件的〃的值有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【變式2-1］（2020?宿遷）如圖，在△ABC中，AB=AC,NB4C的平分線4。交BC于點(diǎn)

D,E為A8的中點(diǎn)，若BC=12,AQ=8,則。E的長(zhǎng)為.

【變式2-2］（2020?常州）如圖，在△A8C中，ZB=45°,AB=6a,D、E分別是48、

AC的中點(diǎn)，連接。E,在直線DE和直線BC上分別取點(diǎn)尸、G,連接BF、DG.若3F=

3DG,且直線B/與直線。G互相垂直，則BG的長(zhǎng)為.

【變式2-3］（2020?揚(yáng)州）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)

學(xué)的基本框架.如圖所示是其中記載的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地,

去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折

斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試間折斷處離地面多高？答：折斷處離地面尺

高.

【考點(diǎn)3］三角形有關(guān)周長(zhǎng)和面積計(jì)算問(wèn)題

【例3】（2020?吳江區(qū)二模）如圖，ZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。在AB的延

長(zhǎng)線上，且連接0c并延長(zhǎng)，作AE_LCO于E,若4E=4,則△BCD的面積為

()

A.8B.10C.8V2D.16

【變式3-1］（2020?邛江區(qū)校級(jí)三模）如圖，△ABC的兩條中線4例，BN相交于點(diǎn)。，已知

△ABO的面積為4,/XBOM的面積為2,則四邊形MCNO的面積為（）

【變式3-2］（2020?惠山區(qū)二模）10個(gè)全等的小正方形拼成如圖所示的圖形，點(diǎn)P、X、丫是

小正方形的頂點(diǎn)，。是邊XY一點(diǎn).若線段PQ恰好將這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部

【變式3-3］（2020?海門市校級(jí)模擬）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國(guó)古算書(shū)《周

髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直

角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，

已知/BAC=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)。、E、F.G、H、/都在矩形KLM7的邊上，則

矩形KLW的周長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)4］三角形有關(guān)多項(xiàng)判斷綜合計(jì)算問(wèn)題

【例4】（2019?無(wú)錫一模）如圖，在△ABC、△AOE中，NB4C=/￡）AE=90°,AB=AC,

AD=AE,A尸是△ADC的中線，C,D,E三點(diǎn)在一條直線上，連接BD,BE,以下五個(gè)結(jié)

論：①BD=CE：②8￡>_LCE；③/ACE+NQBC=45°；（^^人尸二⑶七⑤⑶后工人尸中正確的個(gè)

數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【變式4-1］（2019?內(nèi)江模擬）如圖，NBAC與/CBE的平分線相交于點(diǎn)P,BE=BC,PB

與CE交于點(diǎn)”，PG〃AD交BC于F,交A8于G,下列結(jié)論：①GA=GP；②S△陽(yáng)c：

S^PAB=AC：AB：③8尸垂直平分CE；④FP=FC：其中正確的判斷有（）

A.只有①②B.只有③④C,只有①③④D.①②③④

【變式4-2］（2019?思明區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABP與△C。尸是兩個(gè)全等的等邊三角形，且

PAVPD.有下列四個(gè)結(jié)論:

(1)NPBC=15°:(2)AD//BC；(3)直線PC與AB垂直；(4)四邊形ABCD是軸對(duì)

稱圖形.

【考點(diǎn)5）以三角形為背景的幾何綜合探究問(wèn)題

【例5】（2020?鹽城）以下虛線框中為一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的過(guò)程記錄，請(qǐng)

閱讀后完成虛線框下方的問(wèn)題1-4.

（I）在RtZ\A8C中，/C=90°,AB=142,在探究三邊關(guān)系時(shí)，通過(guò)畫圖，度量和計(jì)

算，收集到一組數(shù)據(jù)如下表：（單位：厘米）

AC2.82.72.62.321.50.4

BC0.40.81.21.622.42.8

AC+BC3.23.53.83.943.93.2

（II）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，選取上表中BC和4C+BC的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析：

①BC=x,AC+BC=y,以（x,y）為坐標(biāo)，在圖①所示的坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn):

②連線：

（III）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所畫的圖象，猜想.當(dāng)》=—時(shí)，y最大；

（IV）進(jìn)一步猜想：若RtZXABC中，NC=90°,斜邊AB=2a（“為常數(shù)，?>0）,貝U8C

=時(shí)，AC+BC最大.

推理證明

(V)對(duì)(W)中的猜想進(jìn)行證明.

問(wèn)題1,在圖①中完善(II)的描點(diǎn)過(guò)程，并依次連線：

問(wèn)題2,補(bǔ)全觀察思考中的兩個(gè)猜想：(III)；(W)；

問(wèn)題3,證明上述(V)中的猜想；

問(wèn)題4,圖②中折線B--E--F--G--A是一個(gè)感光元件的截面設(shè)計(jì)草圖，其中點(diǎn)

A,B間的距離是4厘米，AG=BE=1厘米.ZE=ZF=ZG=90°.平行光線從A8區(qū)

域射入，NBNE=60。，線段FM、FN為感光區(qū)域，當(dāng)EP的長(zhǎng)度為多少時(shí)，感光區(qū)域長(zhǎng)

度之和最大，并求出最大值.

【變式5-1](2019?南通)定義：若實(shí)數(shù)x,y滿足/=2y+r,y2=2x+/,且xWy,，為常數(shù)，

則稱點(diǎn)M(x,y)為“線點(diǎn)例如，點(diǎn)(0,-2)和(-2,0)是“線點(diǎn)已知：在直

角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)PG",〃).

(1)P(3,1)和P2(-3,I)兩點(diǎn)中，點(diǎn)是“線點(diǎn)”；

(2)若點(diǎn)P是“線點(diǎn)”，用含，的代數(shù)式表示機(jī)〃，并求，的取值范圍；

(3)若點(diǎn)Q(〃，〃?)是“線點(diǎn)”，直線PQ分別交x軸、y軸于點(diǎn)A,B,當(dāng)|/尸。。-/

AO2|=30°時(shí)，直接寫出/的值.

【變式5-2](2019?揚(yáng)州)如圖,平面內(nèi)的兩條直線“、/2,點(diǎn)A,B在直線八上，點(diǎn)C、D

在直線/2上，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線/2的垂線，垂足分別為A],B\,我們把線段AIBI

叫做線段AB在直線/2上的正投影，其長(zhǎng)度可記作T,AB.CD,或TSB?v特別地線段

AC在直線/2上的正投影就是線段4c.

請(qǐng)依據(jù)上述定義解決如下問(wèn)題：

(1)如圖1,在銳角△ABC中，AB=5,T,AC,=3,則T<BC,AB>=；

(2)如圖2,在RtZSABC中，ZACB=90°,T<AC,AB>=4,7'<BC,AB)=9,求△ABC的

面積；

(3)如圖3,在鈍角△ABC中，NA=60°，點(diǎn)。在AB邊上，NACD=90°,TIAD.AC>

=2,TtBC,AB>=6,求T<BC.處，

【變式5-3］（2020,宿遷模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（30）,B（t+2,0）,C（n,

1）,若射線OC上存在點(diǎn)P,使得aABP是以AB為腰的等腰三角形，就稱點(diǎn)P為線段

48關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn).

（1）如圖，若f=0,〃=0,則線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的坐標(biāo)是；

（2）若線段48關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3,V3）,求〃和I的值；

（3）若〃=整，且射線OC上只存在一個(gè)線段A8關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)，則f的取值范

圍是.

壓軸精練

一.選擇題（共5小題）

1.（2020?徐州）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm.6cm,則它的第三邊的長(zhǎng)可能是（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

2.（2020?宿遷）在△ABC中，AB=1,BC=V5,下列選項(xiàng)中，可以作為AC長(zhǎng)度的是（）

A.2B.4C.5D.6

3.（2020?常州）如圖，A8是。。的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（C不與A、B重合），CH

LAB,垂足為H,點(diǎn)M是8c的中點(diǎn).若00的半徑是3,則長(zhǎng)的最大值是（）

B

A.3B.4C.5D.6

4.（2020?南通）如圖，在△ABC中，AB=2,NABC=60°,NACB=45°,。是BC的中

點(diǎn)，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,AEU,BFVI,垂足分別為E,F,則AE+B尸的最大值為（）

A.V6B.2V2C.2V3D.3V2

5.（2020?惠山區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，ZCAB=120°,AB=AC=3,點(diǎn)E是三角

形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足BE2-C尋=3A總,則點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的圖形的長(zhǎng)為

2V37T

C.3V3D.------

3

6.（2020?徐州）如圖，在RtZ^ABC中，NABC=90°,。、E、產(chǎn)分別為AB、BC、C4的中

點(diǎn)，若BF=5,則Z）E=

7.（2020?蘇州）如圖，在aABC中，已知AB=2,ADLBC,垂足為O,BD=2CD.若E

是AO的中點(diǎn)，則EC=.

8.（2020?泰州）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點(diǎn)重合，若

兩直角重疊形成的角為65°,則圖中角a的度數(shù)為.

9.（2020?亭湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)/為△A8C的重心，AB=4,作/力〃AB交8c于點(diǎn)￡>,

則ID=

10.（2020?如皋市一模）如圖，已知乙4。8=60°，點(diǎn)尸在邊0A上，0尸=12,點(diǎn)M,N在

11.（2020?沐陽(yáng)縣模擬）如圖，在直角△ABC中，ZC=90°,AC=9,AB=15,尸、Q分別

為邊BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則PQ

12.（2020?徐州）如圖，ZMON=30°,在OM上截取。41=遍.過(guò)點(diǎn)4作Ai8i_LOM,

交ON于點(diǎn)Bi,以點(diǎn)Bi為圓心，B1O為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A2；過(guò)點(diǎn)42作上及,

OM,交ON于點(diǎn)及，以點(diǎn)B2為圓心，B2。為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)43;按此規(guī)律，所

得線段A20B20的長(zhǎng)等于.

三.解答題（共10小題）

13.(2020?南通模擬)如圖，A。、AE分別是AABC的角平分線和高線.

(1)若/B=50°,ZC=60",求ND4E的度數(shù)；

(2)若猜想NZME與/C-NB之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

14.(2020?常州)己知：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在一條直線上，EA//FB,EA=FB,AB=

CD.

(1)求證：NE=NF；

(2)若/A=40°,ZD=80°,求/E的度數(shù).

15.(2019?鎮(zhèn)江)如圖，四邊形A8CD中，AD//BC,E,F分別在A。、5c上，AE^CF,

過(guò)點(diǎn)A、C分別作EF的垂線，垂足為G、H.

(1)求證：AAGE絲△CHF；

(2)連接AC,線段G4與AC是否互相平分？請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.(2020?清江浦區(qū)二模)已知：如圖，AB為。。的直徑，。。過(guò)AC的中點(diǎn)。，DE1BC

于點(diǎn)E.

(1)試判斷直線QE與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)若DE=2?NBAC=30°,求。0的直徑.

17.(2019?高郵市二模)在RlZ\ABC中，NACB=90°,點(diǎn)。、E分別是A8、BC的中點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)C作C/〃AB,與。E的延長(zhǎng)線并交于點(diǎn)凡連接8F.

(1)試判斷四邊形CQBF的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)若C￡>=5,sinNC4B=5，過(guò)點(diǎn)C作CHL8F,垂足為4點(diǎn)，試求CH的長(zhǎng).

18.(2020?射陽(yáng)縣校級(jí)模擬)如圖，在△ABC中，ZACB=45°,過(guò)點(diǎn)A作AO_LBC于點(diǎn)

D,點(diǎn)E為AO上一點(diǎn)，且ED=BQ.

(1)求證：AABD咨ACED；

(2)若CE為/4C￡>的角平分線，求/8AC的度數(shù).

19.(2020?鼓樓區(qū)二模)如圖，。是△48C邊BC上的點(diǎn)，連接AO,ZBAD^ZCAD,BD

CD.用兩種不同方法證明AB=

AC.

20.（2020?如皋市二模）（1）如圖，一塊四邊形紙板剪去得到四邊形ABCE,測(cè)得

NBAE=NBCE=90°,BC=CE,AB=DE.能否在四邊形紙板ABCE上只剪一刀，使剪

下的三角形與全等？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）我市某學(xué)校八年級(jí)同學(xué)乘坐大巴車去長(zhǎng)江青少年素質(zhì)教育實(shí)踐基地參加綜合實(shí)踐活

動(dòng).1號(hào)車出發(fā)4分鐘后，2號(hào)車才出發(fā)，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)，已知素質(zhì)教育基地距離該

校18千米，2號(hào)車的平均速度是1號(hào)車的平均速度的1.2倍.請(qǐng)你就“1號(hào)車”提出一個(gè)

用分式方程解決的問(wèn)題，并寫出解題過(guò)程.

21.（2020?海門市校級(jí)模擬）在△ABC中，NB=45°,AM1BC,垂足為M.

（1）如圖1,若AB=4魚(yú)，BC=7,求4c的長(zhǎng)；

（2）如圖2,點(diǎn)。是線段4歷上一點(diǎn)，點(diǎn)E是△A8C外一點(diǎn)，CE=C4,連

接并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)尸，且求證

@BF=CF.

22.（2020?寶應(yīng)縣模擬）數(shù)學(xué)課上，老師出示了如下框中的題目

在等邊三角形45C中，點(diǎn)E在48上，

點(diǎn)。在CB的延長(zhǎng)愛(ài)上，且ED=EC,女圖.

試爆定圾段兒E與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明

理由.

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答:

（1）特殊情況?探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)時(shí)，如圖1,確定線段AE與08的大小關(guān)系.請(qǐng)你直接寫出結(jié)論:

AEDB（填或“=

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，AE與OB的大小關(guān)系是：AEDB（填或"="）理由如

下：如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EF〃BC,交AC于點(diǎn)F,（請(qǐng)你接著繼續(xù)完成以下解答過(guò)程）

（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線上AB上，點(diǎn)。在直線BC上，且ED=EC.若△ABC

的邊長(zhǎng)為3,AE=5,求CQ的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）.

專題10以三角形為載體的幾何綜合問(wèn)題

mi]（2020?奇州）

【考點(diǎn)1]三角形有關(guān)角的計(jì)算綜合問(wèn)題

【例1】（2020?常州）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC、A8于點(diǎn)E、F.若

30

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到/，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到/A尸C

=60°,從而可得的度數(shù).

【解析】垂直平分8C,

：.BF=CF,

：.ZB=ZBCF,

,/△ACF為等邊三角形,

.?.NAFC=60°，

.?./B=/BCF=30°.

故答案為：30.

【變式1-1】(2019?南通)如圖，ZXABC中，AB=BC,/ABC=90°,尸為AB延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，HAE=CF,若NBAE=25°,則/ACF=70度.

【分析】先證明△A8E絲/XCBF,可得NBAE=NBCF=25°；然后根據(jù)AB=BC,ZABC

=90°,求出NAC8的度數(shù)，即可求出NAC尸的度數(shù).

【解析】在RtzMBE與RtZXCB尸中，[絲=/，

=DL

.,.Rt^ABE^RtACBF(HL).

；.NBAE=NBCF=25°:

■：AB=BC,NABC=90°,

；.NACB=45°,

AZACF=250+45°=70°；

故答案為：70.

【變式1-2](2020?南京)如圖，線段AB、BC的垂直平分線八、/2相交于點(diǎn)O,若Nl=

39°,則/AOC=.

【分析】解法-：連接80,并延長(zhǎng)BO到P,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AO=O8

=OC和NBOO=NBEO=9(T,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°得N。OE+NABC=18(r,

根據(jù)外角的性質(zhì)得NAOP=N4+NA8O,NCOP=NC+NOBC,相加可得結(jié)論.

解法二：連接08,同理得AO=O3=OC,由等腰三角形三線合一得NAOO=NBOD,

ZBOE=ZCOE,由平角的定義得N3OO+N3OE=141。，最后由周角的定義可得結(jié)論.

【解析】解法一：連接80,并延長(zhǎng)8。到P,

,??線段AB、8C的垂直平分線力、/2相交于點(diǎn)。，

：.AO=OB=OC,NBDO=/BEO=90°,

：,ZDOE+ZABC=\SO°,

VZDOE+Z1=180°,

AZABC=Z1=39°,

?：OA=OB=OC,

：.ZA=ZABO,NOBC=NC,

VZAOP=ZA+ZABOfNCOP=NC+NOBC,

：.ZAOC=ZAOP+ZCOP=ZA+ZABC+ZC=2X39°=78°；

解法二：

連接OB,

???線段A8、8c的垂直平分線A、/2相交于點(diǎn)0,

???AO=O8=OC,

???ZAOD=/BOD,ZBOE=ZCOEf

VZDOE+Z1=180°,Zl=39°,

；.NDOE=141°,即NBO￡>+NBOE=141°,

/.ZAOD+ZCO￡=141°,

；.NAOC=360°-（NBOD+NBOE）-（ZAOZHZCOE）=78°:

故答案為：78°.

【考點(diǎn)2］三角形有關(guān)線段計(jì)算問(wèn)題

【例2】（2019?揚(yáng)州）已知〃是正整數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是“+2、〃+8、3〃，則滿

足條件的”的值有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【分析】分三種情況討論：①若"+2<〃+8W3〃，②若〃+2V3〃W"+8,③若3〃W”+2V

〃+8,分別依據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解析】①若"+2<〃+8W3",貝?。?/p>

jn+2+ri+8>3n

+8<3n

解得［nVIO,即4W〃<io,

（n>4

，正整數(shù)”有6個(gè)：4,5,6,7,8,9；

②若拉+2V3〃<〃+8,則

+2+3n>n+8

〔3幾<n4-8

解得卜>2,即2〈后4,

二正整數(shù)”有2個(gè):3和4；

③若3〃W”+2<〃+8,則不等式組無(wú)解；

綜上所述，滿足條件的n的值有7個(gè)，

故選：D.

【變式2-1】（2020?宿遷）如圖，在△ABC中，AB=AC,NBAC的平分線AO交BC于點(diǎn)

D,E為A8的中點(diǎn)，若8c=12,A￡>=8,則DE的長(zhǎng)為5.

BD

【分析】利用勾股定理求出A8,再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可.

【解析】AD平分NBAC,

：.ADLBC,BD=CD=6,

NAOB=90°,

：.AB=\/AD2+BD2=V82+62=10,

,:AE=EB,

：.DE=^AB=5,

故答案為5.

【變式2-2］（2020?常州）如圖，在△48C中，ZB=45°,18=6位,D、E分別是AB、

4c的中點(diǎn)，連接。E,在直線DE和直線8C上分別取點(diǎn)尸、G,連接BEDG.若BF=

3DG,且直線8F與直線OG互相垂直，則BG的長(zhǎng)為4或2.

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BTLBF交ED的延長(zhǎng)線于T,過(guò)點(diǎn)B作于H,證明

四邊形力G8T是平行四邊形，求出OH,7W即可解決問(wèn)題.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)8作尸交EO的延長(zhǎng)線于T,過(guò)點(diǎn)8作于”.

'：DG±BF,BTLBF,

C.DG//BT,

'：AD=DB,AE=EC,

：.DE//BC,

二四邊形QG8T是平行四邊形,

:,BG=DT,DG=BT,NA8C=45°,

,:AD=DB=3d

:,BH=DH=3,

■:/TBF=NBHF=9U°，

：.ZTBH+ZFBH=90°,NFBH+NF=90°,

:?/TBH=/F,

?*/TRU_BT_DG

??tanNr-tanN7BH==-^-p=可?

.TH1

??"'———,

BH3

ATH=1,

：.DT=TH+DH=i+3=4,

：.BG=4.

當(dāng)點(diǎn)尸在EO的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得O7=8G=3-1=2.

【變式2?3】（2020?揚(yáng)州）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)

學(xué)的基本框架.如圖所示是其中記載的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地,

去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折

斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？答：折斷處離地觸4.55尺

【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的高度即可.

【解析】設(shè)折斷處離地面x尺，

根據(jù)題意可得:-+32=(10-X)2,

解得：x=4.55.

答：折斷處離地面4.55尺.

故答案為：4.55.

【考點(diǎn)3］三角形有關(guān)周長(zhǎng)和面積計(jì)算問(wèn)題

【例3】(2020?吳江區(qū)二模)如圖，△ABC中，NAC8=90°,AC=2C,點(diǎn)。在A8的延

長(zhǎng)線上，且連接Z)C并延長(zhǎng)，作于E,若AE=4,則△8CZ)的面積為

()

A.8B.10C.8V2D.16

【分析】過(guò)點(diǎn)B作8FJ_CO于F,由“A4S”可證△8FC絲△CEA,可得CF=AE=4,BF

=CE,由平行線分線段成比例可求EF=OF,由三角形中位線定理可求8F=CE=2,由

三角形面積公式可求解.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)5作B以LCQ于尸，

：.ZBFC=ZAEC=90°,

：.ZBCF+ZFBC^90Q,

VZACB=90°,

：.ZBCF+ZACE=90°,

二NACE=NFBC,

又：3C=AC,

：./\BFC^/\CEA(A4S),

ACF=AE=4,BF=CE,

'：BF±CD,AE±CD,

：.BF//AEf

ABEF

?,?------—-------—-IX,

BDDF

:.EF=DF,

又.??A8=8。，

1

：.BF=^AE=2,

:?CE=BF=2,

；?EF=4+2=6=DF,

,△BCD的面積n.xCDXB尸=1x（6+4）X2=10,

故選：B.

【變式34】（2020?祁江區(qū)校級(jí)三模）如圖，△ABC的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)O,已知

△A3。的面積為4,ABOM的面積為2,則四邊形MCN。的面積為（）

A.4B.3C.4.5D.3.5

【分析】連接如圖，利用點(diǎn)O為的重心得到3O=2OM根據(jù)三角形面積公

式得SMON=金相0=2,S^MON='^△MBO=I,貝I」S&AMN=3,再利用SdMNC=S&NMA=

3,然后計(jì)算S&OMN+SXMNC即可.

【解析】連接MM如圖，

和8N為AABC的兩條中線，

???點(diǎn)。為△ABC的重心，

:,BO=2ON,

.1111

??S^AON=]SAABO=2x4=2,SAMON=2sx2=1,

S^AA/N=3,

*：AN=CN,

/.SAMNC=SANMA=3,

二?四邊形MCNO的面積=SaOMN+Szjwvc=1+3=4.

故選：A.

N

BC

【變式3-2］（2020?惠山區(qū)二模）10個(gè)全等的小正方形拼成如圖所示的圖形，點(diǎn)P、X、V是

小正方形的頂點(diǎn)，Q是邊XY一點(diǎn).若線段PQ恰好將這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部

【分析】首先設(shè)QY=X，根據(jù)題意得到PQ下面的部分的面積為：SA+S”:方行|x5X（l+x）

+1=5,解方程即可求得QY的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題.

【解析】設(shè)以=為根據(jù)題意得到PQ下面的部分的面積為：SA+SIW.?=|X5X（1+X）

+1=5,

解得x=|，

32

2

.絲_工_2

??一Q-，

QK13

故選:B.

【變式3-3］（2020?海門市校級(jí)模擬）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國(guó)古算書(shū)《周

髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直

角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，

已知NBAC=90°,A8=6,AC=8,點(diǎn)。、E、F、G、H、/都在矩形KLM/的邊上，則

矩形的周長(zhǎng)為（）

J

I

C.84D.88

【分析】延長(zhǎng)48交"于點(diǎn)O,延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)尸，可得四邊形AOLP是正方形，

然后求出正方形的邊長(zhǎng)，再求出矩形K/.MJ的長(zhǎng)與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)

算即可得解.

【解析】如圖，延長(zhǎng)4B交KF于點(diǎn)O,延長(zhǎng)AC交G用于點(diǎn)P,

四邊形AOLP是正方形，邊長(zhǎng)AO=AB+AC—6+S—14,

；.KL=6+14=20,LM=8+14=22,

二矩形KZJWJ的周長(zhǎng)為2義（20+22）=84.

故選：C.

【考點(diǎn)4］三角形有關(guān)多項(xiàng)判斷綜合計(jì)算問(wèn)題

【例4】（2019?無(wú)錫一模）如圖，在△ABC、△△￡>￡：中，NBAC=/￡）AE=90°,AB=AC,

AD=AE,AF是△AOC的中線，C,D,E三點(diǎn)在一條直線上，連接80，BE,以下五個(gè)結(jié)

論：①BD=CE：@BDLCE；（3）AACE+ZDBC=45°；④2AF=BE⑤中正確的個(gè)

數(shù)是（）

E

D

B

A.2B.3C.4D.5

【分析】①由條件證明△A3。絲△ACE,就可以得到結(jié)論：

②由△A8C四△ACE就可以得出乙48。=乙4CE,就可以得出NBDC=90°而得出結(jié)論:

③由條件知NA8C=NA8D+/。8c=45°，由/￡>8C+NACE=90°,就可以得出結(jié)論.

④延長(zhǎng)AF到G,使得FG=4F,連接CG,DG.則四邊形AOGC是平行四邊形.想辦

法證明△EA8也△GCA,即可解決問(wèn)題；

⑤延長(zhǎng)必交8E于從只要證明乙4m?=90°即可；

【解析】@'：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,

即NBA。=NCAE.

在△ABO和△ACE中，

(AD=AE

\z.BAD=Z.CAE,

(AB=AC

：.AABD^^ACE(SAS),

:.BD=CE.故①正確；

△A8OZZX4CE,

NABD=ZACE.

VZCAB=90°,

/.ZABD+ZDBC+ZACB=90°,

ZDBC+ZACE+ZACB=90°,

/.ZBDC=180°-90°=90°.

：.BD±CE；故②正確；

③?.,/BAC=90°,48=AC,

/.ZABC=45a,

.?.NA8O+N/)8C=45°.

：.ZACE+ZDBC=45°,故③正確，

④延長(zhǎng)AF到G,使得FG=AF,連接CG,DG.則四邊形AQGC是平行四邊形.

：.AD//CG,AD^CG,

：.ZDAC+ZACG=\80°,

'：ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZEAB+ZDAC=l^O°,

:./EAB=NACG,

；EA=AO=CG,AB^AC,

：.^EAB^/^GCA(SAS'),

：.AG=BE,

：.2AF=BE,故④正確，

⑤延長(zhǎng)FA交BE于H.

?:t\EAB色l\GCA(SAS),

：.ZABE=ZCAG,

■：ZCAG+ZBAH=90°,

：.ZBAH+ZABE=90°,

NA〃8=90°,

：.AF±BE,故⑤正確.

故選：D.

【變式4-1］（2019?內(nèi)江模擬）如圖，NBAC與NC8E的平分線相交于點(diǎn)P,BE=BC,PB

與CE交于點(diǎn)H,PG//AD交BC千F,交AB于G,下列結(jié)論：①GA=GP；②S△用C：

S^PAB=AC：AB；③8尸垂直平分CE；@FP^FC；其中正確的判斷有（）

A.只有①②B.只有③④C.只有①③④D.①②③④

【分析】利用角平分線的性質(zhì)對(duì)①②③④進(jìn)行一一判斷，從而求解.

【解析】①??,AP平分N8AC

：.ZCAP^ZBAP

,:PG〃AD

：.ZAPG=ZCAP

：.ZAPG=ZBAP

：.GA=GP

②?.,AP平分N84C

???P到AC,A8的距離相等

.".SAMC：S^PAB=AC：AB

③；BE=BC,BP平分/C8E

垂直平分CE(三線合一)

④：/2AC與NCBE的平分線相交于點(diǎn)P,可得點(diǎn)P也位于NBCD的平分線上

:.NDCP=ZBCP

又PG//AD

：.NFPC=NDCP

：.FP=FC

故①②③④都正確.

故選：D.

【變式4-2](2019?思明區(qū)校級(jí)模擬)如圖，△ABP與△CQP是兩個(gè)全等的等邊三角形，且

PAVPD.有下列四個(gè)結(jié)論：

(1)ZPBC^\5Q；(2)AD//BC-,(3)直線PC與48垂直；(4)四邊形ABCD是軸對(duì)

稱圖形.

【分析】(1)先求出NBPC的度數(shù)是360°-60°X2-900=150°,再根據(jù)對(duì)稱性得

到aBPC為等腰三角形，NPBC即可求出；

(2)根據(jù)題意：有△APO是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；結(jié)合軸對(duì)稱圖形的

定義與判定，可得四邊形A8C。是軸對(duì)稱圖形，進(jìn)而可得②③④正確.

【解析】VAABP^/XCDP,

：.AB^CD,AP=DP,BP=CP.

又「△AB尸與△COP是兩個(gè)等邊三角形，

:.NFAB=NPBA=NAPB=60°.

①根據(jù)題意，ZBPC=360°-60°X2-90°=150°

"：BP=PC,

：.ZPBC=(180°-150°)4-2=15°,

故本選項(xiàng)正確；

@VZABC=60°+15°=75°,

;AP=DP,

：.ZDAP=45a,

；NBA尸=60°,

AZBAD=ZBAP+ZDAP=f>0Q+45°=105°,

；.NBAD+NABC=105°+75°=180°,

.'.AD//BC-,

故本選項(xiàng)正確：

③延長(zhǎng)CP交于AB于點(diǎn)O.

NAPO=180°-(NAPD+NCPD)=180°-(90°+60°)=180°-150°=30°,

VZPAB=60°,

ZAOP=300+60°=90°,

故本選項(xiàng)正確；

④根據(jù)題意可得四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，

故本選項(xiàng)正確.

綜上所述，以上四個(gè)命題都正確.

故選：D.

【考點(diǎn)5）以三角形為背景的幾何綜合探究問(wèn)題

【例5】（2020?鹽城）以下虛線框中為一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的過(guò)程記錄，請(qǐng)

閱讀后完成虛線框下方的問(wèn)題1-4.

（I）在RtZ\A8C中，/C=90°,AB=2a,在探究三邊關(guān)系時(shí)，通過(guò)畫圖，度量和計(jì)

算，收集到一組數(shù)據(jù)如下表：（單位：厘米）

AC2.82.72.62.321.50.4

BC0.40.81.21.622.42.8

AC+BC3.23.53.83.943.93.2

（II）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，選取上表中BC和AC+BC的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析：

①BC=x,AC+BC=y,以（x,y）為坐標(biāo)，在圖①所示的坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn):

②連線：

（III）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所畫的圖象，猜想.當(dāng)》=一時(shí)，y最大；

（IV）進(jìn)一步猜想：若RtZ\ABC中，ZC=90°,斜邊AB=2a（n為常數(shù)，?>0）,則BC

=時(shí)，AC+BC最大.

推理證明

（V）對(duì)（IV）中的猜想進(jìn)行證明.

問(wèn)題1,在圖①中完善（II）的描點(diǎn)過(guò)程，并依次連線；

問(wèn)題2,補(bǔ)全觀察思考中的兩個(gè)猜想：（III）2；（IV）_V2?_；

問(wèn)題3,證明上述（V）中的猜想；

問(wèn)題4,圖②中折線5--E--F--G--A是一個(gè)感光元件的截面設(shè)計(jì)草圖，其中點(diǎn)

A,B間的距離是4厘米，AG=BE=1厘米.NE=NF=NG=90°.平行光線從AB區(qū)

域射入，/BNE=60：線段FM、FN為感光區(qū)域，當(dāng)E尸的長(zhǎng)度為多少時(shí)，感光區(qū)域長(zhǎng)

度之和最大，并求出最大值.

——表示平行入射光線

-----表示不透光材料

單位:厘米

【分析】問(wèn)題1：利用描點(diǎn)法解決問(wèn)題即可.?

問(wèn)題2：利用圖象法解決問(wèn)題即可.

問(wèn)題3：設(shè)BC=x,AC-BC^y,根據(jù)一元二次方程，利用根的判別式解決問(wèn)題即可.

問(wèn)題4：延長(zhǎng)AM交E尸的延長(zhǎng)線于C,過(guò)點(diǎn)4作AH_LE尸于”，過(guò)點(diǎn)8作8K1.G尸于K

Jo

交4〃于。.證明FN+FM=EF+FG-EN-GM=BK+AH一號(hào)

V3=8Q+AQ+KQ+。，一竽=8Q+AQ+2-竽，求出BQ+AQ的最大值即可解決問(wèn)題.

【解析】問(wèn)題I：函數(shù)圖象如圖所示：

問(wèn)題2：(IH)觀察圖象可知，x=2時(shí)，)，有最大值.

(IV)猜想：BC=>/2a.

故答案為：2,BC=y[2a.

問(wèn)題3：設(shè)8C=x,AC+BC^y,

在RtZXABC中，?.,NC=90°

，AC=ylAB2—BC2=V4a2—x2,

，y=x+V4a2—%2,

.?.y-x=V4a2—%2,

Ay2-2xy+x1=4a2-x2,

A2%2-Ixy+y2-4a2=0,

???關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，

/.△=4y2-4X2X(/-4a2)20,

???)2<8白2,

Vy>0,。>0,

:.yWlyfGa,

當(dāng)y=2a〃時(shí)，2/-4/以+4.2=0

，(V2x-2a)2=0,

^?x\=x2=V2af

，當(dāng)3。=或〃時(shí)，y有最大值.

問(wèn)題4：延長(zhǎng)A例交￡尸的延長(zhǎng)線于C,過(guò)點(diǎn)4作于"，過(guò)點(diǎn)5作BKJ_GF于K

交A”于Q.

在RtZXBNE中，ZE=90°,ZBNE=60°,BE=\cm,

pp

:?tan/BNE=麗,

NE=字(cm),

*：AM//BN,

AZC=60°,

???NGF￡=90°,

：.ZCMF=30°,

.?.NAMG=30°,

VZG=90°,AG^icrn,NAMG=30°,

...在RtZ\AGM中，tan/AA/G=需，

/?GM=V3(cm),

；NG=NGF”=90°,NAHF=90°,

四邊形4GF”為矩形，

:.AH=FG,

?.?NGF”=NE=90°,ZBKF=90°

四邊形BKFE是矩形，

:.BK=FE,

'：FN+FM=EF+FG-EN-GM=BK+AH一堂一

V3=BQ+AQ+KQ+QH-=8Q+AQ+2-竽，

在RtZXABQ中，AB=4cm,

由問(wèn)題3可知，當(dāng)BQ=AQ=2&cm時(shí)，4。+8。的值最大，此時(shí)EF=(1+2V2)cm,

，8Q=AQ=2近時(shí)，F(xiàn)N+BW的最大值為(4々+2-竽)cm,此時(shí)EF=(1+2夜)cm.

【變式5-1](2019?南通)定義：若實(shí)數(shù)x,y滿足/=2y+r,y2=2x+f,且xWy,/為常數(shù)，

則稱點(diǎn)M(x,y)為“線點(diǎn)例如，點(diǎn)(0,-2)和(-2,0)是“線點(diǎn)”.已知:在直

角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)P(如〃).

(1)P(3,1)和P2(-3,1)兩點(diǎn)中，點(diǎn)P2是“線點(diǎn)”；

(2)若點(diǎn)尸是“線點(diǎn)”，用含f的代數(shù)式表示相〃，并求，的取值范圍：

(3)若點(diǎn)Q(n,m)是“線點(diǎn)”，直線尸Q分別交x軸、y軸于點(diǎn)A,B,當(dāng)|NPOQ-Z

A。陰=30°時(shí)，直接寫出f的值.

【分析】(1)若x,y滿足/+2y=f,『+2x=f且/為常數(shù)，則稱點(diǎn)M為“線點(diǎn)”,

由新定義即可得出結(jié)論；