中考數(shù)學(xué)與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題試題(24題)

（二講）與中點(diǎn)有關(guān)的幾何題（2014年昌平二模）24．【探究】如圖1，在△ABC中，D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，AE，BF相交于點(diǎn)M，連接DE，DF.則DE，DF的數(shù)量關(guān)系為.【拓展】如圖2，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC于點(diǎn)E，MF⊥AC于點(diǎn)F，連接DE，DF.求證：DE=DF；【推廣】如圖3，若將上面【拓展】中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.海淀2-海淀25.在矩形ABCD中,點(diǎn)F在AD延長(zhǎng)線上，且DF=DC,M為AB邊上一點(diǎn),N為MD的中點(diǎn),點(diǎn)E在直線CF上（點(diǎn)E、C不重合）.（1）如圖1,若AB=BC,點(diǎn)M、A重合,E為CF的中點(diǎn)，試探究BN與NE的位置關(guān)系及的值,并證明你的結(jié)論;（2）如圖2，且若AB=BC,點(diǎn)M、A不重合,BN=NE，你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否成立,若成立,加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;（3）如圖3，若點(diǎn)M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的結(jié)論兩個(gè)是否成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論.豐臺(tái)1-24．已知：△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，聯(lián)結(jié)EC，取EC的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)BM和DM．（1）如圖1，如果點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是；（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．海淀1-24．在□ABCD中，∠A=∠DBC,過(guò)點(diǎn)D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,連接EF、EC,N、P分別為EC、BC的中點(diǎn)，連接NP．（1）如圖1，若點(diǎn)E在DP上,EF與DC交于點(diǎn)M,試探究線段NP與線段NM的數(shù)量關(guān)系及∠ABD與∠MNP滿足的等量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；（2）如圖2，若點(diǎn)M在線段EF上,當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，你在（1）中得到的結(jié)論仍然成立，寫(xiě)出你確定的點(diǎn)M的位置，并證明（1）中的結(jié)論.MMBDCFEANPPNAEFCDB圖1圖2∴AB∥CG．∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.∵N為MD的中點(diǎn)，∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG，BN=GN.∵BN=NE，∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°．……………5分∵EH⊥CE，∴∠CEH=90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由（1）得∠DCF=45°．∴∠CHE=∠HCE=45°．∴EC=EH,∠EHG=135°．∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°，∴∠ECB=∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG，CB=HG．∵BN=NG，∴BN⊥NE.……………6分∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=CE，∴=.……………7分（3）BN⊥NE；不一定等于.…………8分9（2012豐臺(tái)一模）924.解：（1）BM=DM且BM⊥DM．………2分（2）成立．……………3分理由如下：延長(zhǎng)DM至點(diǎn)F，使MF=MD，聯(lián)結(jié)CF、BF、BD．易證△EMD≌△CMF．………4分∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．………5分又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6分∴∠DBF=∠ABC=90°．∵M(jìn)F=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．（海淀一模）解:（1）NP=MN,∠ABD+∠MNP=180(或其它變式及文字?jǐn)⑹?各1分).………2分（2）點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)(或其它等價(jià)寫(xiě)法).M1324PNAEFCM1324PNAEFCDB∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，∴∠ABD=∠BDC.∵∠A=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.①………3分∵∠EDF=∠ABD,∴∠EDF=∠BDC.∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.即∠BDE=∠CDF.②又DE=DF，③由①②③得△BDE≌△CDF.…………4分∴EB=FC,∠1=∠2.∵N、P分別為EC、BC的中點(diǎn)，∴NP∥EB,NP=.同理可得MN∥FC，MN=.∴NP=NM.…………………5分∵NP∥EB,∴∠NPC=∠4.∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.∵M(jìn)N∥FC，∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180-∠BDC=180-∠ABD.∴∠ABD+∠MNP=180.……7分（2014燕山一模）解析：24.解：（1）；…2分（2）①成立．以下給出證明：如圖，連接，∵在Rt中，為斜邊中點(diǎn)，∴，，∴．…3分∵四邊形為正方形，∴，且，∴，∴．……4分在和中，∴≌，∴．……5分②由①可得，當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，，最大值為.………6分如圖,此時(shí)．……7分（2014年門(mén)頭溝二模）24.（1）MD=ME……………1分（2）如圖，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F、G．因?yàn)镈F、EG分別是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜邊上的高，所以F、G分別是AB、AC的中點(diǎn)．又∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，所以MF、MG是△ABC的中位線．∴，，MF//AC，MG//AB．∴∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．∴∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．……………2分∵DF、EG分別是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜邊上的中線，∴，．∴MF＝EG，DF＝NG．……………3分∴△DFM≌△MGE．∴DM＝ME．……………4分∠FM