群論基礎(chǔ)-第1章 群的基本知識(shí)

第一部分群論基礎(chǔ)

第一章群的基知識(shí)一、對(duì)稱性與化學(xué)在化學(xué)中引進(jìn)對(duì)稱性有悠久的歷史公元前540年P(guān)ythagorras學(xué)派直觀地使用對(duì)稱性認(rèn)出分子中有哪些原子是等同的，鑒別分子中等同原子的組數(shù)，進(jìn)而確定可能存在的取代分子的種數(shù)。如二群論理論的歷史Evaristegalois(1811-1832)最早在方程論的著作中首次引入群的概念，后提出置換群理論。ArthurCayley(1821-1895)定義了廣義抽象群的概念，發(fā)展了矩陣?yán)碚?。GeorgeFerdinndFrobenius(1849-1917)德國(guó)代數(shù)學(xué)家。提出群表示理論和群的特征標(biāo)的概念群論最早的應(yīng)用之一是在晶體結(jié)構(gòu)研究方面，后應(yīng)用于X-衍射分析，其代表人物為HermanWeyl和EugenepaulWignerWeyl(1885-1955)自然界的和諧可以用數(shù)學(xué)定律來表示，創(chuàng)造了連續(xù)群矩陣表示的廣義理論，并發(fā)現(xiàn)量子力學(xué)的許多規(guī)律可用群論得到。Wigner(1902-?)將群論應(yīng)用于原子核原子核問題。1963年與他人一起獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)。H.A.Bethe(1906-?)應(yīng)用群論于晶體本質(zhì)有關(guān)問題。

P.1二、

群及其性質(zhì)

1群的定義:

元素(數(shù)學(xué)對(duì)象)的集合{A,B,C,D-----}具備下列條件,構(gòu)成群.(1)封閉性,AB=C(2)結(jié)合律,A(BC)=(AB)C(3)單位元(不變?cè)?E,EA=AE=A(4)逆元A-1,AA-1=A-1A=E

2群的性質(zhì):P.2(1)E-1=E,E的逆元仍為E,(2)(A-1)-1=A,逆元之逆元為元素本身(自證)(3)(AB)-1=B-1A-1

證明:∵(AB)-1=(AB)-1E=(AB)-1AA-1=(AB)-1AA-1E=(AB)-1AEA-1=(AB)-1A

(BB-1)A-1

=

(AB)-1(AB)

B-1A-1=EB-1A-1=B-1A-1

∴(AB)-1=B-1A-13群階:

群元數(shù)有限群(h):群中所含元素個(gè)數(shù)有限。如：C2v,D3h

無限群(∞):群中所含元素個(gè)數(shù)無限。如：C∞v,D∞h4可換群:(阿貝爾群)

群乘與群元的順序無關(guān)

AB=BA三群元和群乘P.31數(shù)群:

以數(shù)為群元，以數(shù)學(xué)運(yùn)算為群乘，構(gòu)成數(shù)群

例(1)：全部正負(fù)整數(shù)(包括0)的集合，群乘為加法

E=0，A=n,A-1=-n

這是無限群、可換群

例(2)：全部正負(fù)整數(shù)(不包括0)的集合，群乘為乘法

E=1，A=n,A-1=1/n

提問：這是不是群？為什么？答案：不是，因?yàn)锳-1=1/n不是整數(shù)，A沒有逆元。

2置換群P.4

以變換位置的操作為群元，以相繼操作為群乘，構(gòu)成置換群例:Z3

群(三位置置換群)┌123┐∣∣表示將1、2、3處之物分別放於2、3、1處，└231┘

┌123┐[A][B][C]→∣∣→[C][A][B]└231┘Z3群由以下六元素構(gòu)成：P.5

┌123┐┌123┐┌123┐e=∣∣a=∣∣b=∣∣└123┘└213┘└132┘

┌123┐┌123┐┌123┐c=∣∣d=∣∣f=∣∣└321┘└231┘└312┘可以證明它們符合群的四個(gè)基本條件

3矩陣群:P.6

以矩陣為群元，以矩陣乘法為群乘，構(gòu)成矩陣群例d3

群┌100┐┌010┐┌100┐e=∣010∣a=∣100∣b=∣001∣└001┘└001┘└010┘

┌001┐┌001┐┌010┐c=∣010∣d=∣100∣f=∣001∣└100┘└010┘└100┘

封閉性：ad=b,bd=c,d2=?

4

對(duì)稱群

以對(duì)稱操作為群元，以相繼操作為群乘，構(gòu)成對(duì)稱群例D3

群

E不動(dòng)C繞C軸轉(zhuǎn)180o

A繞A軸轉(zhuǎn)180oD順時(shí)針轉(zhuǎn)120o

B繞B軸轉(zhuǎn)180oF逆時(shí)針轉(zhuǎn)120o(2)

氨分子所在的C3v群的乘法表：（也滿足群的四個(gè)條件）C3vê?31?32êê?31?32?31?31?32ê?32?32ê?31ê?31?32?32ê?31?31?32êNH3分子

P.8

5列表群的名稱群元群乘舉例數(shù)群數(shù)運(yùn)算(加、乘等)例(1)

置換群置換相繼置換Z3群矩陣群矩陣矩陣乘法d3群對(duì)稱群對(duì)稱操作相繼操作D3群

四

群表及群表定理P.91群表：群元的乘積表例：d3群：ad=b,bd=c,d2=fD3群:AD=B,BD=C,D2=F

EABCDFEEABCDFAAEDFBCBBFEDCACCDFEABDDCABFEFFBCAED

[提問：D3群是不是阿貝爾群？][答案：不是，因?yàn)锳B(=D)≠BA(=F)]

習(xí)題:試證明D3群群表最后一行的偶數(shù)位,即證明

FA=B,FC=A,F2=D*群表即群:群的信息全部在群表中，群表即群

[思考題：你能找出d3

,D3及Z3

群之間的內(nèi)在聯(lián)系嗎?][答案:(1)D3群的對(duì)稱操作可視為三角形三頂點(diǎn)位置的置換；

(2)D3

群和Z3

群的操作都可表示為3×3的變換矩陣。

(3)它們的群表相同，就數(shù)學(xué)而言它們是同一群；

d3

群=Z3

群=D3

群]3群表定理（重排定理）

G：{E，A2，

A3，A4---------Ah}

AkG

:{Ak，

AkA2，AkA3，AkA4---------AkAk

}中或GAk

:{Ak，

A2AK，A3Ak，A4Ak---------AkAk

}中每個(gè)元素必然出現(xiàn)并只出現(xiàn)一次(只是重排)，即群G被其中的元素左乘或右乘仍為該群G.(群中群論無順序)

Ak

G=G

Ak

=G*五

子群和陪集P.121

子群(subgroup)(1)定義：群G中集合S在相同的群乘下構(gòu)成的群，為G

的子群

(2)顯然子群：（1）E，（2）G(3)子群S的條件和檢驗(yàn):（1）不變?cè)?；?）逆元；（3）封閉性.[提問：集合律是否需要檢驗(yàn)？為什么？][答案：群乘不變，集合律自然滿足]

例，[提問：以下哪些集合是D3

群的子群？(根據(jù)群表){E}，{E，A}，{E，B}，{E，D}，{A，F(xiàn)},{D，F(xiàn)}{E，A，F(xiàn)}，{E，D，F(xiàn)}][答案：{E},{E,A},{E,B},{E,D,F}]*

2陪集（coset）P.13

子群S

G，又X

G，但X

S

則，SX為S關(guān)于X的右陪集,XS為S關(guān)于X的左陪集（若X

S，則XS=SX=S）[提問:為什么?][答案:群表定理]

例：D3

群中子群的陪集（1）子群：S={E，D，F(xiàn)}；

陪集：{A，B，C}（=A{E，D，F(xiàn)}={E，D，F(xiàn)}B）（2）子群：{E，A}；

陪集：{B，F(xiàn)}，（=B{E，A}=F{E，A}）

{B，D}，（={E，A}B={E，A}D）

{C，D}，（=C{E，A}=D{E，A}）

[提問：陪集是不是群？為什么？][答案:不是。因?yàn)闆]有E](其普遍性證明見后)*

3陪集定理：陪集SX

和SY要么完全相同，要么完全不同（即若有一共同元，則全同）4子群階定理:若子群S

群G

則子群S的階g必然是群G階h的正整因子

六

類及其性質(zhì)P.161共軛（conjugate）

(1)共軛元（conjugateelement）

若B=XAX-1

（A，B，X

G）

則A，B共軛，即A，B互為共軛元

(2)共軛的傳遞性若A與B共軛，B與C共軛，則A與C共軛證明：若B=XAX-1，C=YBY-1

則C=YBY-1=Y(XAX-1)Y-1=YXAX-1Y-1

=(YX)A(YX)-1=ZAZ-1(Z=YX

G)

故C與A共軛

(3)相似矩陣矩陣群中彼此共軛的元為彼此相似的矩陣*

2類:群G中彼此共軛的群元構(gòu)成類P.17

對(duì)于類C,自然有XCX-1=C(X為群G中任一群元)[提問:為什么?]3類的性質(zhì)

(1)單位元自成一類（XEX-1=E）

(2)類相互獨(dú)立，彼此無共同元[提問：為什么？][答案：如有一共同元，則為同一類（類的傳遞性）](3)除E以外，所有的類都不是群[提問：為什么？][答案:缺E][提問:為什么缺E][答案:E自成一類](4)對(duì)于矩陣群，同類的元具有相同的矩陣跡(又稱特征標(biāo))[提問：為什么？][答案：矩陣相似變換，矩陣跡不變]*

4分類P.18(1)基本方法：利用群表尋求共軛元，進(jìn)行分類

(2)可換群：每元素自成一類證明:∵XA=AX(可換群)∴(兩邊右乘X-1)

XAX-1=AXX-1=A(3)轉(zhuǎn)動(dòng)群中兩轉(zhuǎn)角相同的轉(zhuǎn)動(dòng)操作，若其轉(zhuǎn)軸可由群中某一操作相互轉(zhuǎn)換，則該二轉(zhuǎn)動(dòng)操作同類

XAX-1=B(OA軸

OB軸)(繞OA軸轉(zhuǎn)θ角)(OB軸

OA軸)=(繞OA軸轉(zhuǎn)θ角)(4)D3群的分類（可自己練習(xí)）分類方法：（1）利用群表尋求共軛元（2）根據(jù)第3條分類結(jié)果：（1）{E}（E自成一類）（2）{D，F(xiàn)};{A,B,C}各為一類習(xí)題:試將D3群分類,并根據(jù)群表證明之.*

七

不變子群P.191定義：有子群N

G

若XNX-1=N

或XN=NX（X為G中的任一元素）則N為不變子群

2性質(zhì)

(1)不變子群必包括一個(gè)或幾個(gè)完整的類（即不變子群由完整的類構(gòu)成）證明：若群元C

N(注意群元C與類C不同)

則XCX-1

N（∵XNX-1=N,C

N）

即類C

N（∵XCX-1=C）

(即類中若有一元素屬于N，則整個(gè)類屬于N)*(2)含一個(gè)或幾個(gè)完整類的子群是不變子群P.20

證明：若

子群S=C1+C2

(以兩類為例)

∵XC1X-1=C1，XC2

X-1=C2

∴XSX-1=X（C1+C2）X-1=XC1X-1+XC2

X-1=C1+C2

=S

即S為不變子群

(3)不變子群的兩個(gè)陪集相乘（包括自乘）必為一個(gè)陪集或不變子群自身證明：N為G的不變子群

NK和NL為N的陪集

NKNL=NKN（K-1K）L

=N（KNK-1）KL=NNKL=N（KL）（NN=N）

若KL不在N中，則N（KL）是N的陪集若KL在N中，則N（KL）是N自身*例D3

群中，不變子群N={E，D，F(xiàn)}P.21

兩陪集的乘積(NA)(NB)={E,D,F}A{E,D,F}B={E,D,F}{E,D,F}AB={E,D,F}(AB)[提問:是因?yàn)镈3

群是可換群?jiǎn)?][答案:是因?yàn)閧E,D,F}是不變子群](AB=D)={E,D,F}D(仍是陪集,={E,D,F})(4)不變子群的判斷判別條件:（1）由完整的類構(gòu)成；

(缺一不可)（2）其階是G群階的因子(子群階定理)[提問：下列集合中哪些是D3群的不變子群?]{E,A},{E,D},{E,A,B},{E,D,F},{A,B,C}][答案：{E，D，F(xiàn)}]({A,B,C}缺E,其余不是完整類)][提問：{E，A，B，C}是否為不變子群？][答案：不是，其階4，不是h=6的因子]*八

商群P.221定義:若不變子群N

G，則以N及其陪集為群元，以其乘法為群乘,構(gòu)成商群，記為G/N，其階m=h/g，其中g(shù)和h為N和G的階

2證明G/N={N，NK2，NK3-------NKm}確實(shí)是群

(1)單位元：N為單位元證明:N（NKi）=NNKi

=NKi

同理（NKi）N

=N（KiN）=N（NKi

）=Nki

故N為單位元

(2)逆元：NKi

的逆元為NKi-1，即(NKi)-1=NKi-1

證明：（NKi）（NKi-1）=NKiNKi-1=NNKiKi-1=NN=N(3)封閉性:不變子群的兩陪集相乘為一陪集或不變子群自身

(4)結(jié)合律:群G商群的乘積最終化為群G群元的乘積，群G服從結(jié)合律，其商群必服從結(jié)合律*例：D3群的商群P.23

母群G={E，A，B，C，D，F(xiàn)}