群論基礎-第1章 群的基本知識

第一部分群論基礎

第一章群的基知識一、對稱性與化學在化學中引進對稱性有悠久的歷史公元前540年Pythagorras學派直觀地使用對稱性認出分子中有哪些原子是等同的，鑒別分子中等同原子的組數(shù)，進而確定可能存在的取代分子的種數(shù)。如二群論理論的歷史Evaristegalois(1811-1832)最早在方程論的著作中首次引入群的概念，后提出置換群理論。ArthurCayley(1821-1895)定義了廣義抽象群的概念，發(fā)展了矩陣理論。GeorgeFerdinndFrobenius(1849-1917)德國代數(shù)學家。提出群表示理論和群的特征標的概念群論最早的應用之一是在晶體結構研究方面，后應用于X-衍射分析，其代表人物為HermanWeyl和EugenepaulWignerWeyl(1885-1955)自然界的和諧可以用數(shù)學定律來表示，創(chuàng)造了連續(xù)群矩陣表示的廣義理論，并發(fā)現(xiàn)量子力學的許多規(guī)律可用群論得到。Wigner(1902-?)將群論應用于原子核原子核問題。1963年與他人一起獲得諾貝爾物理獎。H.A.Bethe(1906-?)應用群論于晶體本質(zhì)有關問題。

P.1二、

群及其性質(zhì)

1群的定義:

元素(數(shù)學對象)的集合{A,B,C,D-----}具備下列條件,構成群.(1)封閉性,AB=C(2)結合律,A(BC)=(AB)C(3)單位元(不變元素)E,EA=AE=A(4)逆元A-1,AA-1=A-1A=E

2群的性質(zhì):P.2(1)E-1=E,E的逆元仍為E,(2)(A-1)-1=A,逆元之逆元為元素本身(自證)(3)(AB)-1=B-1A-1

證明:∵(AB)-1=(AB)-1E=(AB)-1AA-1=(AB)-1AA-1E=(AB)-1AEA-1=(AB)-1A

(BB-1)A-1

=

(AB)-1(AB)

B-1A-1=EB-1A-1=B-1A-1

∴(AB)-1=B-1A-13群階:

群元數(shù)有限群(h):群中所含元素個數(shù)有限。如：C2v,D3h

無限群(∞):群中所含元素個數(shù)無限。如：C∞v,D∞h4可換群:(阿貝爾群)

群乘與群元的順序無關

AB=BA三群元和群乘P.31數(shù)群:

以數(shù)為群元，以數(shù)學運算為群乘，構成數(shù)群

例(1)：全部正負整數(shù)(包括0)的集合，群乘為加法

E=0，A=n,A-1=-n

這是無限群、可換群

例(2)：全部正負整數(shù)(不包括0)的集合，群乘為乘法

E=1，A=n,A-1=1/n

提問：這是不是群？為什么？答案：不是，因為A-1=1/n不是整數(shù)，A沒有逆元。

2置換群P.4

以變換位置的操作為群元，以相繼操作為群乘，構成置換群例:Z3

群(三位置置換群)┌123┐∣∣表示將1、2、3處之物分別放於2、3、1處，└231┘

┌123┐[A][B][C]→∣∣→[C][A][B]└231┘Z3群由以下六元素構成：P.5

┌123┐┌123┐┌123┐e=∣∣a=∣∣b=∣∣└123┘└213┘└132┘

┌123┐┌123┐┌123┐c=∣∣d=∣∣f=∣∣└321┘└231┘└312┘可以證明它們符合群的四個基本條件

3矩陣群:P.6

以矩陣為群元，以矩陣乘法為群乘，構成矩陣群例d3

群┌100┐┌010┐┌100┐e=∣010∣a=∣100∣b=∣001∣└001┘└001┘└010┘

┌001┐┌001┐┌010┐c=∣010∣d=∣100∣f=∣001∣└100┘└010┘└100┘

封閉性：ad=b,bd=c,d2=?

4

對稱群

以對稱操作為群元，以相繼操作為群乘，構成對稱群例D3

群

E不動C繞C軸轉180o

A繞A軸轉180oD順時針轉120o

B繞B軸轉180oF逆時針轉120o(2)

氨分子所在的C3v群的乘法表：（也滿足群的四個條件）C3vê?31?32êê?31?32?31?31?32ê?32?32ê?31ê?31?32?32ê?31?31?32êNH3分子

P.8

5列表群的名稱群元群乘舉例數(shù)群數(shù)運算(加、乘等)例(1)

置換群置換相繼置換Z3群矩陣群矩陣矩陣乘法d3群對稱群對稱操作相繼操作D3群

四

群表及群表定理P.91群表：群元的乘積表例：d3群：ad=b,bd=c,d2=fD3群:AD=B,BD=C,D2=F

EABCDFEEABCDFAAEDFBCBBFEDCACCDFEABDDCABFEFFBCAED

[提問：D3群是不是阿貝爾群？][答案：不是，因為AB(=D)≠BA(=F)]

習題:試證明D3群群表最后一行的偶數(shù)位,即證明

FA=B,FC=A,F2=D*群表即群:群的信息全部在群表中，群表即群

[思考題：你能找出d3

,D3及Z3

群之間的內(nèi)在聯(lián)系嗎?][答案:(1)D3群的對稱操作可視為三角形三頂點位置的置換；

(2)D3

群和Z3

群的操作都可表示為3×3的變換矩陣。

(3)它們的群表相同，就數(shù)學而言它們是同一群；

d3

群=Z3

群=D3

群]3群表定理（重排定理）

G：{E，A2，

A3，A4---------Ah}

AkG

:{Ak，

AkA2，AkA3，AkA4---------AkAk

}中或GAk

:{Ak，

A2AK，A3Ak，A4Ak---------AkAk

}中每個元素必然出現(xiàn)并只出現(xiàn)一次(只是重排)，即群G被其中的元素左乘或右乘仍為該群G.(群中群論無順序)

Ak

G=G

Ak

=G*五

子群和陪集P.121

子群(subgroup)(1)定義：群G中集合S在相同的群乘下構成的群，為G

的子群

(2)顯然子群：（1）E，（2）G(3)子群S的條件和檢驗:（1）不變元素；（2）逆元；（3）封閉性.[提問：集合律是否需要檢驗？為什么？][答案：群乘不變，集合律自然滿足]

例，[提問：以下哪些集合是D3

群的子群？(根據(jù)群表){E}，{E，A}，{E，B}，{E，D}，{A，F(xiàn)},{D，F(xiàn)}{E，A，F(xiàn)}，{E，D，F(xiàn)}][答案：{E},{E,A},{E,B},{E,D,F}]*

2陪集（coset）P.13

子群S

G，又X

G，但X

S

則，SX為S關于X的右陪集,XS為S關于X的左陪集（若X

S，則XS=SX=S）[提問:為什么?][答案:群表定理]

例：D3

群中子群的陪集（1）子群：S={E，D，F(xiàn)}；

陪集：{A，B，C}（=A{E，D，F(xiàn)}={E，D，F(xiàn)}B）（2）子群：{E，A}；

陪集：{B，F(xiàn)}，（=B{E，A}=F{E，A}）

{B，D}，（={E，A}B={E，A}D）

{C，D}，（=C{E，A}=D{E，A}）

[提問：陪集是不是群？為什么？][答案:不是。因為沒有E](其普遍性證明見后)*

3陪集定理：陪集SX

和SY要么完全相同，要么完全不同（即若有一共同元，則全同）4子群階定理:若子群S

群G

則子群S的階g必然是群G階h的正整因子

六

類及其性質(zhì)P.161共軛（conjugate）

(1)共軛元（conjugateelement）

若B=XAX-1

（A，B，X

G）

則A，B共軛，即A，B互為共軛元

(2)共軛的傳遞性若A與B共軛，B與C共軛，則A與C共軛證明：若B=XAX-1，C=YBY-1

則C=YBY-1=Y(XAX-1)Y-1=YXAX-1Y-1

=(YX)A(YX)-1=ZAZ-1(Z=YX

G)

故C與A共軛

(3)相似矩陣矩陣群中彼此共軛的元為彼此相似的矩陣*

2類:群G中彼此共軛的群元構成類P.17

對于類C,自然有XCX-1=C(X為群G中任一群元)[提問:為什么?]3類的性質(zhì)

(1)單位元自成一類（XEX-1=E）

(2)類相互獨立，彼此無共同元[提問：為什么？][答案：如有一共同元，則為同一類（類的傳遞性）](3)除E以外，所有的類都不是群[提問：為什么？][答案:缺E][提問:為什么缺E][答案:E自成一類](4)對于矩陣群，同類的元具有相同的矩陣跡(又稱特征標)[提問：為什么？][答案：矩陣相似變換，矩陣跡不變]*

4分類P.18(1)基本方法：利用群表尋求共軛元，進行分類

(2)可換群：每元素自成一類證明:∵XA=AX(可換群)∴(兩邊右乘X-1)

XAX-1=AXX-1=A(3)轉動群中兩轉角相同的轉動操作，若其轉軸可由群中某一操作相互轉換，則該二轉動操作同類

XAX-1=B(OA軸

OB軸)(繞OA軸轉θ角)(OB軸

OA軸)=(繞OA軸轉θ角)(4)D3群的分類（可自己練習）分類方法：（1）利用群表尋求共軛元（2）根據(jù)第3條分類結果：（1）{E}（E自成一類）（2）{D，F(xiàn)};{A,B,C}各為一類習題:試將D3群分類,并根據(jù)群表證明之.*

七

不變子群P.191定義：有子群N

G

若XNX-1=N

或XN=NX（X為G中的任一元素）則N為不變子群

2性質(zhì)

(1)不變子群必包括一個或幾個完整的類（即不變子群由完整的類構成）證明：若群元C

N(注意群元C與類C不同)

則XCX-1

N（∵XNX-1=N,C

N）

即類C

N（∵XCX-1=C）

(即類中若有一元素屬于N，則整個類屬于N)*(2)含一個或幾個完整類的子群是不變子群P.20

證明：若

子群S=C1+C2

(以兩類為例)

∵XC1X-1=C1，XC2

X-1=C2

∴XSX-1=X（C1+C2）X-1=XC1X-1+XC2

X-1=C1+C2

=S

即S為不變子群

(3)不變子群的兩個陪集相乘（包括自乘）必為一個陪集或不變子群自身證明：N為G的不變子群

NK和NL為N的陪集

NKNL=NKN（K-1K）L

=N（KNK-1）KL=NNKL=N（KL）（NN=N）

若KL不在N中，則N（KL）是N的陪集若KL在N中，則N（KL）是N自身*例D3

群中，不變子群N={E，D，F(xiàn)}P.21

兩陪集的乘積(NA)(NB)={E,D,F}A{E,D,F}B={E,D,F}{E,D,F}AB={E,D,F}(AB)[提問:是因為D3

群是可換群嗎?][答案:是因為{E,D,F}是不變子群](AB=D)={E,D,F}D(仍是陪集,={E,D,F})(4)不變子群的判斷判別條件:（1）由完整的類構成；

(缺一不可)（2）其階是G群階的因子(子群階定理)[提問：下列集合中哪些是D3群的不變子群?]{E,A},{E,D},{E,A,B},{E,D,F},{A,B,C}][答案：{E，D，F(xiàn)}]({A,B,C}缺E,其余不是完整類)][提問：{E，A，B，C}是否為不變子群？][答案：不是，其階4，不是h=6的因子]*八

商群P.221定義:若不變子群N

G，則以N及其陪集為群元，以其乘法為群乘,構成商群，記為G/N，其階m=h/g，其中g和h為N和G的階

2證明G/N={N，NK2，NK3-------NKm}確實是群

(1)單位元：N為單位元證明:N（NKi）=NNKi

=NKi

同理（NKi）N

=N（KiN）=N（NKi

）=Nki

故N為單位元

(2)逆元：NKi

的逆元為NKi-1，即(NKi)-1=NKi-1

證明：（NKi）（NKi-1）=NKiNKi-1=NNKiKi-1=NN=N(3)封閉性:不變子群的兩陪集相乘為一陪集或不變子群自身

(4)結合律:群G商群的乘積最終化為群G群元的乘積，群G服從結合律，其商群必服從結合律*例：D3群的商群P.23

母群G={E，A，B，C，D，F(xiàn)}