淺談學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的缺失及完善

精品文檔-下載后可編輯淺談學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的缺失及完善數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有嚴(yán)密的符號(hào)體系、獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)、形象的圖像語(yǔ)言，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的作用無(wú)可替代的。但在常規(guī)教學(xué)中，常常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生做的題總是會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，究其原因就是學(xué)生的優(yōu)良思維品質(zhì)欠缺所導(dǎo)致的結(jié)果。教學(xué)中，教師若能針對(duì)學(xué)生在易出錯(cuò)的地方進(jìn)行分析歸納，找出其錯(cuò)誤的根源，然后再利用學(xué)生的“錯(cuò)誤”資源進(jìn)行教學(xué)，無(wú)論是對(duì)教師本人的成長(zhǎng)還是學(xué)生的思維品質(zhì)的完善都是非常有意義的，下面就學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤進(jìn)行分析，窺探一下學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中優(yōu)良思維品質(zhì)的缺失現(xiàn)象，以便為其在以后的學(xué)習(xí)中有所借鑒。

一、對(duì)概念本質(zhì)的理解缺乏深刻性

李邦河院士在一次報(bào)告中談到一個(gè)重要的思想：數(shù)學(xué)玩的是概念，而不是純粹的技巧。因?yàn)橹行W(xué)數(shù)學(xué)里面的概念比較少，所以就在一些難題、技巧上下功夫，這恰恰是舍本逐末的做法，可見概念教學(xué)對(duì)學(xué)生的發(fā)展是多么的重要。

例1如圖1在ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=■.

■

圖1

（1）在線段BC上任取點(diǎn)M，求BM

（2）在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于M，求BM

解：（1）由已知條件很容易得出：BD=1，CD=■，設(shè)“在線段BC上任取M點(diǎn)，滿足BM

（2）仿照（1）的解答，設(shè)“∠BAC在內(nèi)作射線AM交BC于M，滿足BM

[錯(cuò)解分析]顯然（2）的結(jié)果是錯(cuò)的，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)生也有懷疑自己做法的正確性，但苦于找不到錯(cuò)誤的原因，只能做簡(jiǎn)單的模仿。要說(shuō)清楚道理，還是回到定義，蘇教版教科書必修3上幾何概型的公式是：P（A）=■，這里要求D的測(cè)度不為0，其中“測(cè)度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)d的測(cè)度分別是長(zhǎng)度、面積和體積，但應(yīng)用公式的前提是小d的測(cè)度與大測(cè)度成正比，也就是說(shuō)小的測(cè)度均勻分布在大測(cè)度內(nèi)，保持大內(nèi)小的發(fā)生是等可能的。顯然同學(xué)們對(duì)定義的本質(zhì)（等可能性）理解不夠深刻，（2）中的當(dāng)點(diǎn)M在線段BC做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，射線AM在∠BAC內(nèi)分布并不均勻，而射線AM在∠BAC內(nèi)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，射線AM與BC交點(diǎn)M在線段BC的分布也不均勻，說(shuō)明兩種情況下的等可能性是不能同時(shí)存在的，而學(xué)生恰恰混淆它們本質(zhì)上區(qū)別，造成解題錯(cuò)誤。

[評(píng)注]教師在講解一個(gè)新概念時(shí)，千萬(wàn)不要直接把概念、方法告訴學(xué)生，而是在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，讓學(xué)生質(zhì)疑、發(fā)現(xiàn)、探究、歸納、判斷、概括新概念，教會(huì)學(xué)生自己去建構(gòu)，之后在實(shí)際應(yīng)用中再讓學(xué)生去感受概念的內(nèi)涵，理解概念的本質(zhì)，這樣就會(huì)減少學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)理解不清的錯(cuò)誤。

（2）的正確解法如下：由已知條件很容易得出：∠BAM=30°，∠BAC=75°，設(shè)“在∠BAC內(nèi)作射線AM交于M，滿足BN

二、對(duì)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用缺少靈活性

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)的靈魂，對(duì)數(shù)學(xué)的解題在宏觀上有指導(dǎo)作用，但同一種思想在不同的背景，不同的條件下，不同的問(wèn)題中其結(jié)論總會(huì)有所變化，同學(xué)們往往忽視了這種變化，還在套用前面的方法和經(jīng)驗(yàn)，這樣就難免會(huì)出錯(cuò)。

例2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+kn+2，若對(duì)n∈N*，有an+1>an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____

錯(cuò)解由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n2+kn+2可聯(lián)想到二次函數(shù)y=x2+kx+2，要使an+1>an，等同于y=x2+kx+2在[1，+∞）上為增函數(shù)，則需滿足其對(duì)稱軸x=-■≤1可得k≥-2。

[錯(cuò)解分析]上面的轉(zhuǎn)化其實(shí)并不等價(jià)，學(xué)生錯(cuò)把函數(shù)的單調(diào)性等價(jià)于數(shù)列的單調(diào)性，其實(shí)不然。

正解根據(jù)二次函數(shù)圖像，注意定義域x∈N*。要使f（1）

[評(píng)注]數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，教師在講授數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)應(yīng)該努力反映和體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體會(huì)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).但一定要讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想的精神實(shí)質(zhì)，一定不要照搬照抄，要做到活靈活用。

三、忽略公式成立的條件，對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的把握缺少嚴(yán)密性

學(xué)生剛剛學(xué)完一個(gè)公式或一條性質(zhì)，難以抑制心中的興奮，因?yàn)橛辛诉@個(gè)公式和這條性質(zhì)，心中的那份“疑惑”或“難點(diǎn)”已經(jīng)不復(fù)存在了，興奮之余難免會(huì)“丟三落四”。

例3（1）求y=■+■（0

錯(cuò)解：0

y=■+■（0

[錯(cuò)因分析]上面的做法顯然忽視了運(yùn)用基本不等式需滿足的三個(gè)條件，一“正”二“定”三“相等”，其中“相等”是取等號(hào)的條件。

正解：y=■+■=■+■+■≥2■+■≥2+■=■。當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí)，即sinx=1，此時(shí)■也取最小值，因此當(dāng)sinx=1時(shí)，y=■+■（0

（2）若函數(shù)f（x）=■（k為常數(shù)）在定義域上為奇函數(shù)，則k=________

錯(cuò)解：f（x）=■為奇函數(shù)，f（x）=0，從而k=0。

[錯(cuò)解分析]此題忽略了y=f（x）為奇函數(shù)有f（0）=0的前提是函數(shù)在原點(diǎn)有定義，而此題當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）=■在原點(diǎn)沒有意義。

正解由奇函數(shù)的定義可知，在定義域內(nèi)，f（-x）=-f（x）恒成立，化簡(jiǎn)得（k2-1）·4x=0

上式恒成立，k2-1=0，k=±1。

[評(píng)注]數(shù)學(xué)公式及數(shù)學(xué)性質(zhì)揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的基本規(guī)律，具有一定的形式符號(hào)化的抽象性和概括性的特征，牢固