直線與平面垂直的判定定稿

直線與平面垂直的判定”教學(xué)設(shè)計(jì)邢臺市第七中學(xué)李常彬一、內(nèi)容和內(nèi)容解析直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時(shí)它又是直線和平面所成的角、直線與平面、平面與平面距離等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一。直線與平面垂直的定義：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就稱這條直線與這個(gè)平面互相垂直。定義中的“任意一條直線”就是“所有直線”。定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線。直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。該定理把原來定義中要求與任意一條（無限）直線垂直轉(zhuǎn)化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，使直線與平面垂直的判定簡捷而又具有可操作性。對直線與平面垂直的定義的研究遵循“直觀感知、抽象概括”的認(rèn)知過程展開，而對直線與平面垂直的判定的研究則遵循“直觀感知、操作確認(rèn)、歸納總結(jié)、初步運(yùn)用”的認(rèn)知過程展開，通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力、一定的推理論證能力和運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力。同時(shí)體驗(yàn)和感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，即“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”，“無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題”，“直線與直線垂直和直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化”。教學(xué)重點(diǎn)：直觀感知、操作確認(rèn)，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析借助對實(shí)例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；通過直觀感知，操作確認(rèn)，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題；在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力，同時(shí)感悟和體驗(yàn)“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)化為有限”等數(shù)學(xué)思想.三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、平面平行的判定及性質(zhì)，學(xué)習(xí)了兩直線（共面或異面）互相垂直的位置關(guān)系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力。在直線與平面垂直的判定定理中，學(xué)生對為什么要且只要兩條相交直線的理解有一定的困難，因?yàn)槎x中“任一條直線”指的是“所有直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導(dǎo)致學(xué)生形成理解上的思維障礙。同時(shí)，由于學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力有待進(jìn)一步加強(qiáng)，在直線與平面垂直判定定理的運(yùn)用中，不知如何選擇已知平面內(nèi)的兩條相交直線證直線與平面線垂直，或選擇與直線垂直的平面證明直線與直線垂直，導(dǎo)致證明過程中無從著手或發(fā)生錯(cuò)誤。

教學(xué)難點(diǎn)：操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的判定定理及其初步運(yùn)用。四、教學(xué)支持條件分析為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可準(zhǔn)備投影儀，多媒體課件，三角板，教鞭（表直線）。學(xué)生自備學(xué)具：三角形紙片、三角板、筆（表直線）、課本（表平面）。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）、觀察歸納直線與平面垂直的定義1、直觀感知問題1：請同學(xué)們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關(guān)系？你能舉出一些類似的例子嗎？設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，從而建立初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備。師生活動：觀察圖片，引導(dǎo)學(xué)生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系，直立書的書脊與桌面的位置關(guān)系等，由此引出課題。2、觀察歸納思考1：直線和平面垂直的意義是什么？問題2：（1）如圖1，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC,旗桿所在的直線與影子所在直線的位置關(guān)系是什么？（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線BC的位置關(guān)系又是什么？由此可以得到什么結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”與“降維”的思想來思考問題，通過觀察思考，感知直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵。問題3:通過上述觀察分析,你認(rèn)為應(yīng)該如何定義一條直線與一個(gè)平面垂直？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。師生活動：學(xué)生回答,教師補(bǔ)充完善,指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞,同時(shí)給出直線與平面垂直的記法與畫法。定義：如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面a互相垂直，記作：1丄a.直線l叫做平面a的垂線，平面a叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。畫法邊垂直，圖畫法邊垂直，圖23、辨析討論辨析1：下列命題是否正確，為什么？（1） 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。（2） 如果一條直線垂直一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線。設(shè)計(jì)意圖：通過問題辨析與討論，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性。由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思。由（2）使學(xué)生明確，直線與平面垂直的定義既是判定又是性質(zhì)，“直線與直線垂直”和“直線與平面垂直”可以相互轉(zhuǎn)化。（二）、探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理1、分析實(shí)例思考2：我們該如何檢驗(yàn)學(xué)校廣場上的旗桿是否與地面垂直？問題4:如圖,觀察跨欄、簡易木架等實(shí)物，你認(rèn)為其豎桿能豎直立于地面的原因是什么?設(shè)計(jì)意圖：通過圖片觀察思考，感知判定直線與平面垂直時(shí)只需平面內(nèi)有限條直線（兩條相交直線），從中體驗(yàn)有限與無限之間的辯證關(guān)系。2、操作確認(rèn)實(shí)驗(yàn)：如圖3，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個(gè)試驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.問題5：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

DD圖3圖4設(shè)計(jì)意圖：通過觀察試驗(yàn)，分析折痕AD與桌面不垂直的原因，探究發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的條件。問題6:如圖4,由折痕AD丄BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD丄CD,AD丄BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的條件：AD垂直桌面內(nèi)兩條相交直線。問題7：(1)如圖5,把AD、BD、CD抽象為直線匚朋、挖，把桌面抽象為平面直線！與平面①垂直的條件是什么？(2)如圖6,若a內(nèi)兩條相交直線聊、挖與］無公共點(diǎn)且！丄處！丄挖，直線/還垂直平面a嗎？由此你能給出判定直線與平面垂直的方法嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生歸納出直線與平面垂直的判定定理，并能用符號語言準(zhǔn)確表示，使學(xué)生明白要判斷一條直線與一個(gè)平面是否垂直,取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)是無關(guān)緊要的。定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。用符號語言表示為：I丄mg丄衛(wèi) J3、質(zhì)疑深化辨析2：下列命題是否正確，為什么？如果一條直線與一個(gè)梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面。

設(shè)計(jì)意圖：通過辨析，強(qiáng)化定理中“兩條相交直線”的條件。（三）、初步應(yīng)用例1、求證：與三角形的兩條邊同時(shí)垂直的直線必與第三條邊垂直。設(shè)計(jì)意圖：初步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運(yùn)用判定定理的條件。師生活動：學(xué)生根據(jù)題意畫圖（如圖7）,將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：△ABC中，a丄AC,a丄BC，求證：a丄AB。請兩位同學(xué)板演，其余同學(xué)在練習(xí)本上完成，師生共同評析，明確運(yùn)用線面垂直判定定理時(shí)的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相圖7圖7例2、如圖8，已知a〃b，a丄a，求證：b丄a。1111②AC1111②AC丄面BDDB11④AC丄BD1FC設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理或用定義證明直線與平面垂直，體會空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系。練習(xí)、如圖11，在正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AA、CC的中點(diǎn)，判斷下列結(jié)論是否正確①AC丄面CDDC11③EF丄面BDDB11設(shè)計(jì)意圖：利用所學(xué)知識解決直線與平面垂直的有關(guān)問題，體會轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的作用。其中①是定義的應(yīng)用，②是判定定理的應(yīng)用，③是例2結(jié)論的應(yīng)用，④是判定定理與定義的應(yīng)用。（四）、總結(jié)反思（1） 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2） 上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？（3）關(guān)于直線與平面垂直你還有什么問題？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生對問題進(jìn)行質(zhì)疑和概括。

六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)1、如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD.求證：PO丄