2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019題型講義第19講空間幾何體概念-1

第19講基本立體圖形【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：多面體與旋轉(zhuǎn)體①多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)．②旋轉(zhuǎn)體：我們把由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．考點(diǎn)二：幾種常見的多面體①棱柱1.棱柱的定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱2.棱柱的有關(guān)概念：棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)表示法：用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如三棱柱分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱……按棱柱的性質(zhì)分類：(1)斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．(2)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．(4)平面六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，即平行六面體的六個面都是平行四邊形．(5)長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體．(6)正方體：棱長都相等的長方體叫做正方體．5.棱柱的簡單性質(zhì)：(1)側(cè)棱互相平行且相等；側(cè)面都是平行四邊形．(2)兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形．(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形．②棱錐1.棱錐的定義：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐2.棱錐的有關(guān)概念：多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱表示法：用表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示，如四棱錐S－ABCD分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……，其中三棱錐又叫四面體按棱錐的性質(zhì)分類：(1)正棱錐：底面為正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心的棱錐．(2)正四面體：每個面均為正三角形的三棱錐．5.棱錐的性質(zhì)：(1)側(cè)棱有公共點(diǎn)，即棱錐的頂點(diǎn)；側(cè)面都是三角形．(2)底面與平行于底面的截面是相似多邊形．(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是三角形．③棱臺1.棱臺的定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺2.棱臺的有關(guān)概念：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；其它各面叫做棱臺的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱；底面與側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺的頂點(diǎn)表示法：用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱臺，如四棱臺ABCD－A′B′C′D分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺、四棱臺、五棱臺……5.棱臺的性質(zhì)：(1)側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)；側(cè)面是梯形．(2)兩個底面與平行于底面的截面是相似多邊形．(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是梯形．考點(diǎn)三：幾種常見的旋轉(zhuǎn)體①圓柱1.圓柱的定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱2.圓柱的有關(guān)概念：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線表示法：用表示它的軸的字母，即表示兩底面圓心的字母表示，可記作圓柱O′O4.圓柱的簡單性質(zhì)：(1)圓柱有無數(shù)條母線，它們平行且相等．(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓．(3)過軸的截面(軸截面)都是全等的矩形．(4)過任意兩條母線的截面是矩形．②圓錐1.圓錐的定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐2.圓錐的有關(guān)概念：如上圖所示，軸為SO，底面為⊙O，SA為母線．另外，S叫做圓錐的頂點(diǎn)，OA(或OB)叫做底面⊙O的半徑表示法：圓錐用表示它的軸的字母表示，上圖中的圓錐可記作圓錐SO4.圓錐的簡單性質(zhì)：(1)圓錐有無數(shù)條母線，它們有公共點(diǎn)即圓錐的頂點(diǎn)，且長度相等．(2)平行于底面的截面都是圓．(3)過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形．(4)過任意兩條母線的截面是等腰三角形．③圓臺1.圓臺的定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺2.圓臺的有關(guān)概念：原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面．與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、側(cè)面、母線，如上圖所示，軸為OO′，AA′為母線表示法：用表示軸的字母表示，上圖中的圓臺可記作圓臺OO′4.圓臺的簡單性質(zhì)：(1)圓臺有無數(shù)條母線，且它們相等，延長后相交于一點(diǎn)．(2)平行于底面的截面是圓．(3)過軸的截面是全等的等腰梯形．(4)過任意兩條母線的截面是等腰梯形．④球1.球的定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球2.球的有關(guān)概念：半圓的圓心叫做球的球心；半圓的半徑叫做球的半徑；半圓的直徑叫做球的直徑表示法：球常用表示球心的字母表示，如上圖中的球記作球O【題型目錄】題型一：簡單幾何體的識別題型二：平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體題型三：空間想象能力與幾何體的側(cè)面展開【典型例題】題型一：簡單幾何體的識別【例1】下列幾何體不屬于棱柱的是（）A．B．C．D．【例2】若一個正棱錐的各棱長和底面邊長均相等，則該棱錐一定不是（）A．三棱錐B．四棱錐C．五棱錐D．六棱錐【例3】下列命題：①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【題型專練】1.關(guān)于如下圖所示的4個幾何體，說法正確的是（）A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱2．下面的幾何體中棱柱有（）A．個B．個C．個D．個3．觀察四個選項(xiàng)中的幾何體，其中判斷正確的是（）A．幾何體是棱臺B．幾何體是圓臺C．幾何體是棱錐D．幾何體不是棱柱4．下列說法正確的是A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形5．（多選題）下列關(guān)于棱柱的說法正確的是()A．所有的棱柱兩個底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰兩個面的公共邊互相平行C．棱柱至少有五個面D．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱題型二：平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體【例1】給出下列說法：（1）圓柱的底面是圓面；（2）經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；（3）圓臺的任意兩條母線所在的直線可能相交，也可能不相交；（4）夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體．其中說法正確的是．【例2】給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點(diǎn)、圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【例3】下列說法正確的是（）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D．一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺【題型專練】1．下列命題中，正確的個數(shù)是（）①圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個；②用任意一個平面去截球體得到的截面一定是一個圓面；③用任意一個平面去截圓錐得到的截面一定是一個圓面.A．0B．1C．2D．32．下列結(jié)論中正確的是（）A．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個圓錐B．以直角梯形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個圓臺C．以平行四邊形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的面所圍成的幾何體是一個圓柱D．圓面繞其一條直徑所在直線旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是一個球3．給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；⑤圓臺所有母線的延長線交于一點(diǎn)其中正確的命題是（）A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤4．下列平面圖形中，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的空間圖形的是（）A．B．C．D．題型三：空間想象能力與幾何體的側(cè)面展開【例1】如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長為，過點(diǎn)的平面與側(cè)棱相交于，則△的周長的最小值為（）A．B．C．D．【例2】如圖，已知正三棱柱的底面邊長為，高為，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長為（）A．12B．13C．D．15【例3】如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點(diǎn)處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A．B．C．D．【例4】如圖所示，正方體的棱長為2，是上的一個動點(diǎn)，則的最小值是________.【例5】在長方體中,,,.(1)一只螞蟻從長方體表面上一點(diǎn)A出發(fā),沿表面爬行到另外一點(diǎn),求螞蟻爬行的最短路程;(2)一只螞蟻從長方體表面上一點(diǎn)A出發(fā),沿表面經(jīng)過線段上一點(diǎn)爬行到另外一點(diǎn),求螞蟻爬行的最短路程;(3)一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿表面爬行到點(diǎn),求螞蟻爬行的最短路程.【例6】已知直三棱柱中，，，為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【題型專練】1.如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)A1，則爬行的最短路線長為．2.如圖所示，在正三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到的最短路線為.設(shè)這條最短路線與的交點(diǎn)為，求：（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線的長；（2）和的長.3．如圖，在正四棱錐中，側(cè)棱長均為4，且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為分別是線段上的一點(diǎn)，則的最小值為_______．4．如圖所示的幾何體中，四邊形是矩形，平面平面，已知，，且當(dāng)規(guī)定正視方向垂直平面時，該幾何體的側(cè)視圖的面積為.若，分別