極值點偏移問題專題 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

攻破極值點偏移問題典例已知函數(shù)f（x）=x+1x，若存在x1、x2∈0，+∞，使得f（先通過圖像來看一下正解：f’（x）=1?1x2，令f’（x）=0，x=1；f’因此f（x）min不妨設(shè)x1＞1＞x2＞0，要證x1即證f（x1）＞f（2?又f（x1）=f（x因此只需證f（x2）＞f（2?（第一步，把其中一個點偏移到另一邊，使得兩點處的單調(diào)性相同，并將x之間的比較利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為f（x）之間的比較）令F（x）=f（x）-f（2?x）=x+1x?2+x-12?xF’（x）=2?1x2?1(2?x)2因此F（x）min=F（1）=0，即F（x）=f（x）-f（2?（第二步，根據(jù)上一步得出的兩個函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)的正負(fù)來判定原來兩個函數(shù)的大小關(guān)系，類似作差法比較大?。┧詅（x2）＞f（2?即x1（第三部，下結(jié)論，一步步往回推）極值點偏移問題的實質(zhì)即為在一個不對稱的圖像中，先把極值點a所在的直線x=a看做“對稱軸”，取函數(shù)值相同的兩個點x1、x2，找出其中一個點x2的“對稱點”x0（即典例中的2?[注：該類題雖然可以用求二階導(dǎo)或者琴生不等式直接“秒殺”，但是如果作為解答題出現(xiàn)，上面才是完整的步驟，否則會被扣分的！]小試牛刀1.已知函數(shù)f（x）=x2?lnx，若存在x1、x2∈0，+∞2.已知函數(shù)f（x）=xex，若存在x1、x2∈0，+∞3.已知函數(shù)f（x）=lnxx，若存在x1、x2∈0，+∞，使得f（4.已知函數(shù)f（x）=exx，若存在x1、x2∈0，+∞5.已知函數(shù)f（x）=xlnx，若存在x1、x2∈0，+∞6.已知函數(shù)f（x）=x2ex，若存在x1、x2∈?1進階練習(xí)1.已知f（x）=x-ex（1）若已知f（x）在定義域內(nèi)只有一個極大值，求該點橫坐標(biāo)的范圍（要求區(qū)間長度小于1）（2）若g（x）=x-f（x），且有兩個實數(shù)x1、x2（x1≠x2.已知f（x）=t2xt1-(1)若t1=3，100t2∈Z，且f（x）在?2,2上單調(diào)，求(2)若t1=1，t2=2，且存在x1、x2（x1≠x真題練習(xí)（2021新高考Ⅰ卷22題）已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)(1)討論f(x)的單調(diào)性(2)設(shè)a,b為兩個不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b證明:2<答案：（2）ln即1+lnaa=1+令p=1a，q=不妨設(shè)0＜p＜1＜q，下面證明2＜p+q＜e①先證p+q>2，當(dāng)pz2時結(jié)論顯然成立當(dāng)q∈(1,2)時，p+q>2,，則p>2-q，所以2-q<1.只需設(shè)f(p)>f(2-q)即證當(dāng)q∈(1,2)時，由f(p)>f(2-q)令g(x)=f(x)-f(2-x).g’(x)=f'(x)+f’(2-x)=-lnx-ln(2?x)=-In[-(x-1)當(dāng)x∈(1,2)時，-(x-1)2+1<1，所以g'(x)>0.g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增g(q)>g(1)=0，即f(q)>f(2-q)②再設(shè)p+q<e,當(dāng)x∈(0,e)時,f(x)>0,當(dāng)x∈(e,+∞)時,f(x)<0所以q＜e因為0＜p＜1所以e-p＞e-1＞1要證q<e-p只需證f(q)>f(e-p)即證當(dāng)p∈(0,1)時，有f(p)>f(e-p)設(shè)h(x)=f(x)-f(e-x)，x∈(0,1)h'(x)=f'(x)+f'(e-x)=-lnx-ln(e?x)設(shè)ex-x