考點(diǎn)24 解三角形12種常見考法歸類（解析版）

考點(diǎn)24解三角形12種常見考法歸類考點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求邊或角（二）判斷三角形解的個(gè)數(shù)考點(diǎn)二正弦定理的應(yīng)用考點(diǎn)三余弦定理的應(yīng)用考點(diǎn)四判斷三角形的形狀考點(diǎn)五正余弦定理的綜合應(yīng)用考點(diǎn)六與角度、邊長(zhǎng)有關(guān)的最值問題考點(diǎn)七三角形面積的計(jì)算及應(yīng)用（一）求三角形的面積（二）已知三角形面積求邊、角（三）三角形面積的最值問題考點(diǎn)八三角形周長(zhǎng)的計(jì)算及應(yīng)用（一）求三角形的周長(zhǎng)（二）三角形周長(zhǎng)的最值問題考點(diǎn)九解三角形的實(shí)際應(yīng)用（一）測(cè)量距離問題（二）測(cè)量高度問題（三）測(cè)量角度問題（四）其他實(shí)際問題考點(diǎn)十正、余弦定理解決幾何問題考點(diǎn)十一解三角形與三角函數(shù)的綜合問題考點(diǎn)十二解三角形與平面向量的綜合問題1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，則正弦定理余弦定理文字語言在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)三角形的邊長(zhǎng)之比等于對(duì)應(yīng)角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.(5)大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊(6)合分比：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).，，2.三角形內(nèi)角和及三角形常見重要關(guān)系(1)內(nèi)角和定理：，進(jìn)而有eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2)等式子(2)三角函數(shù)關(guān)系：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；等差關(guān)系：若三角形三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2π,3)；若三角形三邊a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c?2sinB＝sinA＋sinC.(4)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．(5)角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.即若AD為∠A的角平分線，則有比例關(guān)系：eq\f(BD,CD)＝eq\f(AB,AC).3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r.）(4)S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，即海倫公式，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)為△ABC的半周長(zhǎng).(5)其中4．正弦定理、余弦定理的作用正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系．（1）已知兩角及任意一邊解三角形①正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每個(gè)等式涉及四個(gè)元素，所以只要知道其中的三個(gè)就可以求另外一個(gè).②因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個(gè)角.（2）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形①用正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值；②用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；③根據(jù)正弦定理求出第三條邊.其中進(jìn)行①時(shí)要注意討論該角是否可能有兩個(gè)值.（3）解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解（4）利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知兩邊和一邊的對(duì)角，可以用余弦定理解三角形．（5）利用正、余弦定理解三角形的注意點(diǎn)正余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，應(yīng)抓住兩個(gè)定理的特點(diǎn)：正弦定理“邊對(duì)角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵．（6）當(dāng)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等，可以考慮使用余弦定理或變形形式對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形.5．判斷三角形形狀的2種途徑判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.(1)利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：①化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑)；eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；②化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R為△ABC外接圓的半徑)；eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)，eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).(2)利用余弦定理判斷三角形形狀的方法①利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思考路線先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換(因式分解、配方等)，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系,統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解．②判斷三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常用到以下結(jié)論△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝.6．求三角形面積的方法(1)若已知三角形的一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)及該角的兩邊長(zhǎng)度，代入公式求面積；(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，或直接代入海倫公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．7．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．8．解三角形中的最值或范圍問題的解決方法：解三角形中的最值或范圍問題主要有兩種解決方法：一是將問題表示為邊的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將問題用三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)表示，利用三角函數(shù)的有界性，單調(diào)性再結(jié)合角的范圍確定最值或范圍．9.正弦定理之齊次式結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：每一項(xiàng)中都有邊或sin角且次數(shù)一致，即可實(shí)現(xiàn)邊和對(duì)應(yīng)sin角的互化結(jié)構(gòu)示例：（1）整式齊次式：①邊的齊次式②sin角的齊次式（2）分式齊次式：注：在等式(不等式)或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次，利用正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊、內(nèi)角的正弦轉(zhuǎn)化。如果在等式(不等式)或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次且為一次(求角)時(shí)，一般情況要化為角的正弦，如出現(xiàn)二次，一般情況要化為邊，再利用余弦定理。10.拆角合角技巧1、化簡(jiǎn)后的式子同時(shí)含有三個(gè)角時(shí)，解題思路是減少角的個(gè)數(shù)，方法主要有以下兩種①合角如：②拆角——拆單角（“單身狗角”）如：注：（1），，（2），（3）中①②（舍去）①②，則或11.余弦定理之不等式結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：已知三角形一角及其對(duì)邊，求面積或周長(zhǎng)的最值核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范圍（最值）求周長(zhǎng)的最大值求周長(zhǎng)的最大值求面積的最大值求面積的最大值12.解三角形中的常用術(shù)語(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①).(2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②).(3)方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角.北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③).北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向.南偏西等其他方向角類似.(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角).坡度指坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度，i＝tanθ).坡度又稱為坡比.13.測(cè)量距離問題的求解策略(1)確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另外三角形中求解；(2)確定選用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．14.測(cè)量物體高度的求解策略高度也是兩點(diǎn)之間的距離，其解法同測(cè)量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的高度(某線段的長(zhǎng)度)納入到一個(gè)三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求出該高度．(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．15.測(cè)量角度問題的求解策略測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．解決角度問題的注意事項(xiàng)(1)測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．提醒：方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．16.與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計(jì)算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系．具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果．[注意]做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題．17.解三角形與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟18.利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解．考點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形（一）求邊或角1．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中）的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由以及余弦定理得,故選：D2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，分別是內(nèi)角所對(duì)的邊，若，則邊（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先根據(jù)正弦定理算出，從而得到，繼續(xù)用正弦定理求.【詳解】依題意，由正弦定理：得,解得，故或，經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意.當(dāng)時(shí)，則，由正弦定理，得，解得；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)為等腰三角形滿足.綜上，或.故選：D3．（2023·河南·許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：C.4．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┰谥校茿，B，C所對(duì)的邊分別是，a，b，c，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理可得，再結(jié)合倍角正弦公式即可求解.【詳解】由正弦定理得：.故選：C5．（2023春·廣東東莞·高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則角C＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值．【詳解】由余弦定理可得，，．故選：．6．（2023春·天津和平·高三?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，則BD等于（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)及余弦定理可求解.【詳解】，，在中，由余弦定理可得，，，.故選：D.（二）判斷三角形解的個(gè)數(shù)7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對(duì)于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對(duì)于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對(duì)于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對(duì)于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.8．（2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的邊分別為，知，，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若該三角形有兩解C．周長(zhǎng)的最小值為12 D．面積的最大值【答案】C【分析】對(duì)于ABC，根據(jù)正、余弦定理結(jié)合基本不等式即可解決；對(duì)于D，由面積公式及正弦定理得，根據(jù)基本不等式解決即可.【詳解】對(duì)于A，，，由正弦定理得，所以，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理得得，所以，因?yàn)椋瑒t有兩個(gè)解，所以該三角形有兩解，故B正確；對(duì)于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三角形周長(zhǎng)最大為等邊三角形，周長(zhǎng)為12，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故所以面積的最大值為，故D正確.故選：C.9．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理結(jié)合已知，可推得.進(jìn)而根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)推得，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應(yīng)有，且，所以，所以.故選：B．10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：由正弦定理，即，所以，因?yàn)椴晃ㄒ?，即有兩解，所以且，即，所以，所以，即；故選：A考點(diǎn)二正弦定理的應(yīng)用11．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，、，則，所以，，所以，，故.故選：C.12．（2023·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再利用正弦定理求出，利用三角形內(nèi)角和可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以或；因?yàn)?，所以舍去，故，所?故選：A.13．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到，解得答案.【詳解】，即，即，，則，，則，故，，故，.故選：B14．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用正弦定理與和差公式求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得：，，，即，，又，所以，即或，得或（舍），又，，，所以；故選：B.15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，，，若在上的投影長(zhǎng)等于的外接圓半徑，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由題知，，進(jìn)而得，即，再結(jié)合正弦定理求解即可.【詳解】∵是銳角三角形，在上的投影長(zhǎng)等于的外接圓半徑，，又，，，，兩式相加得：，即，，即，又，，.故選：B.16．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）三棱錐中，平面，直線與平面所成角的大小為，，，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可求得，進(jìn)而得出.作圖設(shè)出球心以及外接圓的圓心為，則，且，根據(jù)正弦定理即可得出外接圓的圓心的半徑，進(jìn)而即可得出外接球的半徑，根據(jù)面積，即可得出答案.【詳解】由已知可得，即為直線與平面所成的角，所以.因?yàn)椋?，所?如圖，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐的外接球的球心為，則，且.在中，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，所以，即.因?yàn)?，所以，所以，三棱錐的外接球的半徑，所以，三棱錐的外接球的體積.故選：A.考點(diǎn)三余弦定理的應(yīng)用17．（2023春·北京·高三匯文中學(xué)?？计谥校┰谥校茿，，的對(duì)邊分別為，，，且，則角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用余弦定理計(jì)算即可.【詳解】，∵，∴.故選：C18．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）是單位圓的內(nèi)接三角形，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則等于（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化簡(jiǎn)給定等式，求出角A，再利用正弦定理求解作答.【詳解】在中，由已知及余弦定理得，即，由正弦定理邊化角得：，而，即，則，即有，又的外接圓半徑，所以.故選：C19．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，的面積為，則等于（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】先利用面積公式求出，再利用余弦定理求出.【詳解】因?yàn)椋?，的面積為，所以,所以.由余弦定理得：.故選：D.20．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）在中，滿足，且，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)求出，再利用余弦定理即可求解AC.【詳解】解：，即，解得，由余弦定理可知，則，整理得，解得或（舍），故選：C.21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，，則（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列等差中項(xiàng)的應(yīng)用可得、，利用余弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【詳解】由，得，由成等差數(shù)列，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，由得.則，，所以，故選：B.22．（2023春·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，為銳角，，且對(duì)于，的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合其最小值為，得到，再結(jié)合，得到，然后利用余弦定理即得.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最小值，則，所以，又為銳角，故，因?yàn)椋裕?，得，所以．故選：D考點(diǎn)四判斷三角形的形狀23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】使用正弦定理和兩角和的正弦公式花間即可求解.【詳解】，所以由正弦定理可得所以，所以，所以，所以，在三角形中，所以，所以為鈍角，故選：C.24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】將化簡(jiǎn)并結(jié)合余弦定理可得的值，再對(duì)結(jié)合正、余弦定理化簡(jiǎn)可得邊長(zhǎng)關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.【詳解】由，得，整理得，則，因?yàn)椋?，又由及正弦定理，得，化?jiǎn)得，所以為等邊三角形，故選：B25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再根據(jù)正弦定理化角為邊，再結(jié)合已知求出，即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，則，則，所以為有一個(gè)角為的直角三角形.故選：B.26．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡(jiǎn)已知等式可得，即可判斷的形狀．【詳解】由正弦定理，余弦定理及得，，即，則，即或?yàn)榈妊切位蛑苯侨切危蔬x：D.27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理或三角恒等變換，記得判斷的形狀.【詳解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理為，即，得，或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：D28．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）在中，分別為角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換得，再由余弦定理解決即可.【詳解】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形狀為直角三角形，故選：A考點(diǎn)五正余弦定理的綜合應(yīng)用29．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等變換及余弦定理即可處理.【詳解】原式=化簡(jiǎn)得：由正弦定理角化邊得：，由余弦定理得：故選：B.30．（2023秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）在中，角的對(duì)邊分別為，且．角A等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理角化邊化簡(jiǎn)，可得，再根據(jù)余弦定理即可求得答案.【詳解】在中,,則,即，即，故，而,故，故選：B31．（2023秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則C等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理邊角關(guān)系有，結(jié)合已知、余弦定理求，即可確定角的大小.【詳解】由正弦定理邊角關(guān)系：化為，由余弦定理得：，而，故.故選：B32．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，且，，則（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】C【分析】利用可得到，然后分和兩種情況進(jìn)行討論即可求解【詳解】∵，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，，為直角三角形．∵，，∴；②當(dāng)時(shí)，則有，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，綜上，或．故選：C．33．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程來求得.【詳解】，，即，，，則故選：D34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，為的角平分線，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，然后由，結(jié)合三角形的面積公式可求得的值，進(jìn)而可求得的值，再利用余弦定可求得的值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，由可得，即，解得，，由余弦定理可得，因此?故選：B.考點(diǎn)六與角度、邊長(zhǎng)有關(guān)的最值問題35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，，，若.則角A的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，在根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】∵，由正弦定理可得，則，在銳角三角形中，，則，∴，即，可得，解得.故選：C.36．（2023·河南·開封高中校考模擬預(yù)測(cè)）若的內(nèi)角A，B，C滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切化弦后，再由正余弦定理化為邊的關(guān)系，由余弦定理求出，再由均值不等式求最值即可.【詳解】，,，由正弦和余弦定理可得，，化簡(jiǎn)得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，故選：C37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用正弦定理可得，進(jìn)而整理，并求的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)分析運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，則，因?yàn)?，，則，所以，即，則，因?yàn)椋獾?，所以，則，即的取值范圍是.故選：B.38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理,將角化邊,即可得到三邊關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成余弦定理形式求解.（2）用二倍角公式降冪，然后利用輔助角公式合并，根據(jù)角的范圍求解.【詳解】（1）及，，化簡(jiǎn)得，，又，.（2）由（1）可得為銳角三角形，且，，.，，故的取值范圍為.39．（2023春·湖南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在銳角△ABC中，，，則BC的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理、兩角差的正弦公式和正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由正弦定理得，所以因?yàn)殇J角△ABC中，，所以，所以，所以，所以，即．故選:B.40．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，則的最小值（

）A．-4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用正弦定理將邊化角，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】在中，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，則的最小值為.故選：A41．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合已知求出邊b長(zhǎng)的取值范圍，再借助平面向量用b表示出中線的長(zhǎng)，求出函數(shù)值域作答.【詳解】令的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，由正弦定理及得，即，銳角中，，即，同理，于是，解得，又線段為邊上的中線，則，又，于是，因此，當(dāng)時(shí)，，，所以中線的取值范圍是.故選：D42．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再利用三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】（1）∵，即，由于，則，即，兩邊同乘以可得：，則，且，解得.（2）由題意及正弦定理，得，，則，由（1）可知，且為銳角三角形，則，解得，則，所以，故的取值范圍是.43．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角△中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，進(jìn)而有，再把化為并確定的范圍，應(yīng)用余弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】由，則，所以，則，所以或（舍），故，綜上，，且所以，，由銳角△，則，可得，則，所以，故.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將條件由邊化角求角的關(guān)系，即，再把目標(biāo)式，由邊化角得求范圍.44．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谥?，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長(zhǎng)為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理可求得，再利用等面積法結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A.45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別a，b，c，若，，則，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得，進(jìn)而可得，根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式，由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題意知，由正弦定理知，，又，，故在中,．，，又由余弦定理可得：，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，的最大值為．又，故的取值范圍是，考點(diǎn)七三角形面積的計(jì)算及應(yīng)用（一）求三角形的面積46．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B． C．12 D．16【答案】B【分析】由正弦定理及兩角和的正弦公式得，再利用余弦定理得，從而求出的面積.【詳解】由正弦定理及，得，所以，所以，即，所以.由正弦定理得.因?yàn)?，所以，又，所以由余弦定理得，解得，所以的面積為.故選：B.47．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）在中，已知，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式和正弦定理，由可得，再在和中分別利用余弦定理列式，結(jié)合長(zhǎng)度關(guān)系解得和，代入面積公式即可求解.【詳解】由可得，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以在中由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即①，在中，由余弦定理可得，即②，①②?lián)立解得，，所以，，所以，故選：D48．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，分別是角的對(duì)邊，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用余弦定理得，再利用向量數(shù)量積公式求得，最后利用三角形面積公式即可.【詳解】由余弦定理得，因?yàn)椋裕?，所以，則，則，故選：C.（二）已知三角形面積求邊、角49．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，，且的面積為，若，則（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形面積可推出，利用余弦定理即可求得答案.【詳解】由于,，故有，解得，又，則,故選：A．50．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】由已知利用三角形面積公式可求，結(jié)合利用余弦定理求出邊.【詳解】解：，的面積為，∴，又，由余弦定理，，可得：.故選：B51．（2023·四川成都·川大附中?？级＃┤鐖D，在平面四邊形中，，，，，三角形的面積為，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由正弦定理，結(jié)合，，可得.由三角形的面積為，可得.由余弦定理可得，后可得答案.【詳解】在中，，由正弦定理有：，即，解得.由三角形的面積公式有：，則.在中，由余弦定理有：.則.故選：B52．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正余弦定理及面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理可得：由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若成等差數(shù)列，且的面積為，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由成等差數(shù)列得，結(jié)合余弦定理，可得，由的面積為，可得，兩式相除可得答案.【詳解】若成等差數(shù)列，則，由余弦定理得，，則，①由的面積為，得，則，②由②÷①得.故選：C.（三）三角形面積的最值問題54．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）在中，角A，B，C所對(duì)邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求與，故，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由余弦定理可得，所以.因?yàn)?，，所以，即，解?所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.55．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，根據(jù)面積公式可得，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得面積的最大值.【詳解】由題意可得，所以由正弦定理得，由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，則當(dāng)時(shí)，取最大值為.故選：B.56．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.若為銳角三角形，且a=3，則面積最大為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理、三角形面積公式結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得，在銳角中，，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是的面積，所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值.故選：D57．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）在中，角A，B，C所對(duì)邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由正弦定理和和角公式得到，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，得到點(diǎn)C的軌跡，從而確定面積的最大值.【詳解】，，，，，，由正弦定理得.設(shè)，，，∵，∴，，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.過C作，當(dāng)CD最大時(shí)，有最大值，.故選：C58．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）在中，若，則面積的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，可得，，再由可得答案.【詳解】如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，若，則，，所以，則面積的最大值為1

.故選：C.59．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若外接圓的面積為，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用邊角轉(zhuǎn)化結(jié)合余弦定理可得，根據(jù)面積公式和基本不等式可求答案.【詳解】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圓面積為，得外接圓的半徑為1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：B．考點(diǎn)八三角形周長(zhǎng)的計(jì)算及應(yīng)用（一）求三角形的周長(zhǎng)60．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，的面積為，則的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，利用余弦定理及三角形的周長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋拿娣e為，所以，解得.所以.由余弦定理得，解得，所以的周長(zhǎng)為.故選：D.61．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長(zhǎng)是（

）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面積公式得到，再利用余弦定理求出，得到答案.【詳解】，由正弦定理得，，又，所以，因?yàn)椋?，故，因?yàn)椋裕扇切蚊娣e公式可得，故，由余弦定理得，解得或（舍去），故三角形周長(zhǎng)為.故選：B62．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其中(1)求的周長(zhǎng)；(2)求cosA的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到，由正弦定理得到，進(jìn)而求得的周長(zhǎng)；（2）由基本不等式得到，再由余弦定理求得，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，可得，所以又因?yàn)榍遥裕烧叶ɡ淼?，所以，所以的周長(zhǎng)是.（2）解：因?yàn)榍遥傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，在中，由余弦定理得，所以的最小值是.（二）三角形周長(zhǎng)的最值問題63．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的面積為，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．6 C． D．【答案】B【分析】首先利用正弦定理及誘導(dǎo)公式，二倍角公式對(duì)原式化簡(jiǎn)得，即求出的大小，再利用三角形面積公式得，從而求出的最小值，最后得到，利用函數(shù)單調(diào)性即可求出其最小值.【詳解】由題設(shè)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)：，根據(jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式得，，，，即，，則，則，解得,則，所以，則，又僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)余弦定理得，即，設(shè)的周長(zhǎng)為，則，設(shè)，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)得：在上為單調(diào)增函數(shù)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故選：B64．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃┰谥校瑑?nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知，且的面積為，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理及誘導(dǎo)公式，二倍角公式對(duì)原式化簡(jiǎn)得，即求出的大小，再利用三角形面積公式得，從而求出的最小值，最后得到，利用函數(shù)單調(diào)性即可求出其最小值.【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式得，，，，即，，則，則解得,所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)余弦定理得，即，設(shè)的周長(zhǎng)為，所以，設(shè)，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)的結(jié)論得：在上為單調(diào)增函數(shù)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故選：C.65．（2023·河南安陽·安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，若內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．7 B． C． D．4【答案】C【分析】先利用面積相等與三角形面積公式，結(jié)合正弦的倍角公式求得，再利用余弦定理的推論與余弦的倍角公式得到的關(guān)系式，從而利用基本不等式求得，由此得解.【詳解】由題可得，，即，又，所以，則，因?yàn)椋?，則，所以，即，又因?yàn)椋?，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，故周長(zhǎng)的最小值為.故選：C..考點(diǎn)九解三角形的實(shí)際應(yīng)用（一）測(cè)量距離問題66．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得，，，，則A、B兩點(diǎn)的距離為___________m．【答案】【分析】根據(jù)已知的邊和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案為?7．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考二模）火箭造橋技術(shù)是我國(guó)首創(chuàng)在陡峭山區(qū)建橋的一種方法.由兩枚火箭牽引兩條足夠長(zhǎng)的繩索精準(zhǔn)的射入對(duì)岸的指定位置，是建造高空懸索橋的關(guān)鍵.位于湖北省的四渡河大橋就是首次用這種技術(shù)建造的懸索橋.工程師們需要測(cè)算火箭攜帶的引導(dǎo)索的長(zhǎng)度（引導(dǎo)索比較重，如果過長(zhǎng)影響火箭發(fā)射），已知工程師們?cè)诮蛱幙磳?duì)岸目標(biāo)點(diǎn)的正下方地面上一標(biāo)志物的高為，從點(diǎn)處看點(diǎn)A和點(diǎn)俯角為，．求一枚火箭應(yīng)至少攜帶引導(dǎo)索的長(zhǎng)度（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】在Rt中可得，在中，利用正弦定理運(yùn)算求解即可.【詳解】在Rt中，，在中，可知，由正弦定理可得：，即，所以.故選：C.68．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某輪船以V海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60度，輪船從A處向北航行30分鐘后到達(dá)B處，測(cè)得油井P在南偏東15度，且海里．輪船以相同的速度改為向東北方向再航行60分鐘后到達(dá)C點(diǎn)．(1)求輪船的速度V；(2)求P，C兩點(diǎn)的距離．【答案】(1)海里/小時(shí)(2)海里【分析】（1）利用正弦定理即可求出結(jié)果；（2）利用余弦定理即可求出結(jié)果；【詳解】（1）由題可知，在中，，，所以，又，由正弦定理有：，即，解得，所以，故輪船的速度是海里/小時(shí)．（2）由（1）有，，由題可知，，所以在中，由余弦定理有：，所以所以.69．（2023·安徽合肥·二模）如圖，某地需要經(jīng)過一座山兩側(cè)的D，E兩點(diǎn)修建一條穿山隧道．工程人員先選取直線DE上的三點(diǎn)A，B，C，設(shè)在隧道DE正上方的山頂P處測(cè)得A處的俯角為，B處的俯角為，C處的俯角為，且測(cè)得，試求擬修建的隧道DE的長(zhǎng)．【答案】【分析】利用條件得出，再在和中，利用正弦定理，求出，從而求出結(jié)果.【詳解】由題意知，．在中，由正弦定理得，，即，所以．在中，因?yàn)?，由正弦定理得，即?/p>

所以，所以，即隧道DE的長(zhǎng)為．70．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，為了在兩座山之間的一條河流上面修建一座橋，勘測(cè)部門使用無人機(jī)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：無人機(jī)P距離水平地面的高度為，A，B兩點(diǎn)的俯角分別為45°，60°．則A，B兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意有，即可求距離.【詳解】由點(diǎn)俯角對(duì)應(yīng)內(nèi)錯(cuò)角為，點(diǎn)俯角對(duì)應(yīng)內(nèi)錯(cuò)角為，為上的高，由上圖，，，所以米.故選：C71．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點(diǎn)之間的距離為______米.【答案】【分析】根據(jù)已知角的關(guān)系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.【詳解】由題意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案為：（二）測(cè)量高度問題72．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.如圖，小明為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度約為(取)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在直角中可得，再在中利用正弦定理可得，所以由結(jié)合正弦的兩角差公式即可求解.【詳解】在直角中，，因?yàn)樵谥?，，，所以，在中由正弦定理可得，又由，所以在直角中，可?故選：B73．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）喜來登月亮酒店是浙江省湖州市地標(biāo)性建筑，某學(xué)生為測(cè)量其高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)處測(cè)得酒店頂端的仰角，則酒店的高度約是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．91米 B．101米 C．111米 D．121米【答案】B【分析】在△中應(yīng)用正弦定理求，注意應(yīng)用和角正弦公式求，再由求建筑物的高.【詳解】由題設(shè)，在△中，又，所以，又米.故選：B74．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而流芳后世．如圖，小明同學(xué)為測(cè)量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）測(cè)得樓頂A，滕王閣頂部C的仰角分別為和，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為，則小明估算滕王閣的高度為（

）（精確到）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，得出，在中求得，由正弦定理得，再在中得出，計(jì)算即可．【詳解】由題意得，在中，，在中，，，所以，由正弦定理，得，又，在中，，故選：D．75．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛經(jīng)、僧人遺體等的高聳型點(diǎn)式建筑，稱“佛塔”．如圖，為測(cè)量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．13米 B．24米 C．39米 D．45米【答案】C【分析】在Rt△ABC根據(jù)∠ACB的正切得AB與BC的關(guān)系，在△BCD中利用正弦定理列式即可求解．【詳解】設(shè)，則，在中，，由正弦定理得，因?yàn)?，代入?shù)據(jù)，解得（米），故選：C．76．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高度，先在山腳處測(cè)得山頂處的仰角為，又利用無人機(jī)在離地面高的處（即），觀測(cè)到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_(dá)________m．

【答案】【分析】確定，，，在中，利用正弦定理求出，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算得到答案.【詳解】依題意，則，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，則.

故答案為：（三）測(cè)量角度問題77．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為.貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（

）A．處與處之間的距離是 B．燈塔與處之間的距離是C．燈塔在處的西偏南 D．在燈塔的北偏西【答案】ABC【分析】作圖，運(yùn)用正弦定理和余弦定理解相應(yīng)的三角形即可.【詳解】在中，由已知得，，則，．由正弦定理得，所以處與處之間的距離為，故A正確；在中，由余弦定理得，，又，解得．所以燈塔與處之間的距離為，故B正確，，，燈塔在處的西偏南，故C正確；燈塔在的南偏東，在燈塔的北偏西，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．78．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．A、D之間的距離為海里C．A、B兩處島嶼間的距離為海里D．B、D之間的距離為海里【答案】BC【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角三角形性質(zhì)求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C.【詳解】解：由題意可知，，，，，所以，故A錯(cuò)誤；，在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正確；在中，因?yàn)椋?，所?海里)，故D錯(cuò)誤；在中，由余弦定理得，(海里)，故C正確.故選：BC.79．【多選】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了解三角形的知識(shí)后，為了鍛煉實(shí)踐能力，某同學(xué)搞了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng)他位于河?xùn)|岸，在靠近河岸不遠(yuǎn)處有一小湖，他于點(diǎn)處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏西的方向上，由于受到地勢(shì)的限制，他又選了點(diǎn)，，，使點(diǎn)，，共線，點(diǎn)位于點(diǎn)的正西方向上，點(diǎn)位于點(diǎn)的正東方向上，測(cè)得，，，，并經(jīng)過計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)，則其中正確的是（

）A． B．的面積為C． D．點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向上【答案】AC【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；對(duì)于，先求出，，，再根據(jù)，，即可判斷；對(duì)于，根據(jù)三角形的面積公式求解即可，即可判斷；對(duì)于，在中，由正弦定理，即可判斷；對(duì)于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易知，即可判斷．【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，點(diǎn)位于點(diǎn)的南偏西的方向上，所以，，，又，，，，在，中，，，所以，故A正確；對(duì)于，的面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正確；對(duì)于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易知，所以，故D錯(cuò)誤，故選：．80．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，足球門框的長(zhǎng)為，設(shè)足球?yàn)橐稽c(diǎn)，足球與，連線所成的角為.(1)若隊(duì)員射門訓(xùn)練時(shí)，射門角度，求足球所在弧線的方程；(2)已知點(diǎn)到直線的距離為，到直線的垂直平分線的距離為，若教練員要求隊(duì)員，當(dāng)足球運(yùn)至距離點(diǎn)為處的一點(diǎn)時(shí)射門，問射門角度最大可為多少？【答案】(1)(2)【詳解】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，求出過兩點(diǎn)的圓的方程，即得答案,（2）設(shè)過的圓的圓心為，根據(jù)題意可知該圓與以為圓心，半徑為的圓外切時(shí)，射門角度最大，由此列出等式求得a，結(jié)合正弦定理即可求得答案.（2）以所在直線為軸，的垂直平分線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)足球所在弧線所在圓即為的外接圓，則其圓心在x軸上，設(shè)半徑為R，，，，，由于，設(shè)足球所在弧線的圓的圓心為，則，圓心坐標(biāo)為，足球所在弧線的方程為；（2）由題意，設(shè)過的圓的圓心為，則半徑為，不妨設(shè)點(diǎn),(該點(diǎn)在球門前面)該圓與以為圓心，半徑為的圓外切時(shí)，射門角度最大，則，,或（舍去）,足球所在弧線的半徑為，，，則或，結(jié)合圖象可知為銳角，應(yīng)舍去，射門角度最大可為.（四）其他實(shí)際問題81．（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，（1）若甲、乙都以每分鐘100的速度從點(diǎn)出發(fā)在各自的大道上奔走，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后到達(dá)，甲到達(dá)，求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；（2）甲、乙、丙所在位置分別記為點(diǎn).設(shè)，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且，請(qǐng)將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由題意，，中，由余弦定理可得甲乙兩人之間的距離；（2）中，由正弦定理可得，可將甲乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離.【詳解】（1）依題意得在△中，，所以在△中，由余弦定理得=，所以答：甲、乙兩人之間的距離為.（2）由題意得在中，在△中，由正弦定理得即所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值答：甲、乙之間的最小距離為.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.82．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的，位于該市的某大學(xué)與市中心的距離km，且.現(xiàn)要修筑一條鐵路，在上設(shè)一站，在上設(shè)一站，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)，其中，，km.

(1)求大學(xué)與站的距離；(2)求鐵路段的長(zhǎng).【答案】(1)km(2)km【分析】（1）在中運(yùn)用余弦定理即可；（2）首先利用正弦定理求得，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求得和的值，再在中利用正弦定理即可求得的長(zhǎng).【詳解】（1）在中，，，且，，由余弦定理，得，所以，所以大學(xué)與站的距離為km；（2）因?yàn)椋覟殇J角，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，由題意知為銳角，所以，所以，因?yàn)?，，且為銳角，所以，，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，解得，所以鐵路段的長(zhǎng)為km.83．（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點(diǎn)按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.(1)求岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離；(2)如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）【答案】(1)米(2)55076元【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可；（2）先由正弦定理計(jì)算出相關(guān)長(zhǎng)度，再計(jì)算收益表達(dá)式，最后由輔助角公式求最值.【詳解】（1），岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離為米.（2）△中，，，，（），設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為元，則，當(dāng)，即時(shí)，（元）所以兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高約為55076元.84．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）由于2020年1月份國(guó)內(nèi)疫情爆發(fā)，餐飲業(yè)受到重大影響，目前各地的復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作在逐步推進(jìn)，居民生活也逐步恢復(fù)正常．李克強(qiáng)總理在考察山東煙臺(tái)一處老舊小區(qū)時(shí)提到，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，也是中國(guó)的商機(jī)．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者王某準(zhǔn)備在商場(chǎng)門前“擺地?cái)偂?，?jīng)營(yíng)“冷飲與小吃”生意．已知該商場(chǎng)門前是一塊扇形區(qū)域，擬對(duì)這塊扇形空地進(jìn)行改造．如圖所示，平行四邊形區(qū)域?yàn)轭櫩偷男菹^(qū)域，陰影區(qū)域?yàn)椤皵[地?cái)偂眳^(qū)域，點(diǎn)P在弧上，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線段和線段上，且米，．記．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)請(qǐng)寫出顧客的休息區(qū)域的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值．【答案】(1)；(2)，；當(dāng)時(shí)，取得最大值.【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由數(shù)量積的定義求得結(jié)果；（2）在△中由正弦定理用表示，結(jié)合三角形的面積公式，即可求得結(jié)果，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的.【詳解】（1）根據(jù)題意，在△中，，又，故由正弦定理可得：解得，，故.即.（2）由題可知，在△中，，則由正弦定理，可得，故可得，故.即.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取得最大值.考點(diǎn)十正、余弦定理解決幾何問題85．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，AB邊上的高為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得，再結(jié)合余弦定理，即可求得的值，即可求解.【詳解】解：在中，設(shè)邊上的高為，則，所以，由余弦定理得，即，又由余弦定理得．故選：B.86．（2023·全國(guó)·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，在中，，點(diǎn)D在線段AB上，且滿足，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，結(jié)合角平分線定理、二倍角公式、正弦定理即可求得的值.【詳解】在中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為，又點(diǎn)D在線段AB上，且滿足，所以，又，由角平分線定理可得，所以，則，又，所以，則，由正弦定理得.故選：B.87．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，的角平分線交于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先在中，由余弦定理求得，即可知為等腰三角形，再解出和，然后在中，由正弦定理求解即可.【詳解】如圖所示，在中，由余弦定理得，∴，∴為等腰三角形，，，又∵為角平分線，∴，∴在中，，由正弦定理得得，.故選：A．88．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，，，則的最大值為（

）A．25 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)（），在中，根據(jù)正弦定理得到，在中，根據(jù)余弦定理和三角函數(shù)值得到，從而得到，再在中，由余弦定理得到，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)（），則，在中，由正弦定理可得，又，在中，，，則，則，在中，由余弦定理可得，即，又，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為．故選：B．89．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某園區(qū)有一塊三角形空地（如圖），其中，，，現(xiàn)計(jì)劃在該空地上劃分三個(gè)區(qū)域種植不同的花卉，若要求，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可知為一個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)圓心、點(diǎn)P、點(diǎn)C共線（點(diǎn)P在中間位置）時(shí)取得最小值，再用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以在如圖所示的圓上，圓的半徑為，由圓周角的