列車(chē)食品價(jià)格方案優(yōu)化

列車(chē)食品價(jià)格方案優(yōu)化摘要本文針對(duì)長(zhǎng)途列車(chē)食品的價(jià)格問(wèn)題，根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的有關(guān)規(guī)律，分別討論了價(jià)格與銷(xiāo)售量和減少率的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上再計(jì)算收入和成本，進(jìn)而得到利潤(rùn)，由此建立了兩個(gè)模型。模型I:首先確定了盒飯和方便面銷(xiāo)售量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)微分方程模型，得到了盒飯銷(xiāo)售量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系：x（c'）=200e?（C-c）和方便面銷(xiāo)售量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系：y（c）二100e0（q-cj，則總收入為：1W二200cea（c-c）+100ce卩（q-cj，并在銷(xiāo)售量減少率a和p是固定的情況下可求出1最大利潤(rùn)。模型II：由于實(shí)際情況中銷(xiāo)售量減少率a和p不是固定的，因此我們利用一個(gè)分段函數(shù)表示出價(jià)格與銷(xiāo)售量減少率之間的關(guān)系，并以此確定收入與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系：…I200ce-0.02c2+0.4c-2(10<c<20)1100ce-0.06c12+0.36c1-0.54(3<c<9)200ce-0.2c+21（c>9）200ce-0.2c+21（c>9）1方便面價(jià)格為4.81I200ce-0-2c+2(c>20)21100ce-0.36c1+1.08c1111收入為：W二W+W。從而得出合適的盒飯價(jià)格為12元，12元，最大利潤(rùn)為310.7元關(guān)鍵詞：列車(chē)食品價(jià)格微分方程銷(xiāo)售量減少率Matlab一、問(wèn)題重述長(zhǎng)途列車(chē)由于時(shí)間漫長(zhǎng)，需要提供車(chē)上的一些服務(wù)。提供一天三餐是主要的服務(wù)。由于火車(chē)上各方面的成本高，因此車(chē)上食物的價(jià)格也略高。以T238次哈爾濱到廣州的列車(chē)為例，每天早餐為一碗粥、一個(gè)雞蛋及些許咸菜，價(jià)格10元；中午及晚上為盒飯，價(jià)格一律15元。由于價(jià)格偏貴，乘客一般自帶食品如方便面、面包等。列車(chē)上也賣(mài)方便面及面包等食品，但價(jià)格也偏貴。如一般售價(jià)3元的方便面賣(mài)5元。當(dāng)然，由于列車(chē)容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，適當(dāng)提高幾個(gè)是正常的。但高出的價(jià)格應(yīng)有一個(gè)限制，不能高的過(guò)頭。假如車(chē)上有乘客1000人，其中500人有在車(chē)上買(mǎi)飯的要求，但車(chē)上盒飯每餐只能供給200人；另外，車(chē)上還可提供每餐100人的方便面。請(qǐng)你根據(jù)實(shí)際情況設(shè)計(jì)一個(gè)價(jià)格方案，使列車(chē)在用餐銷(xiāo)售上效益最大。二、問(wèn)題分析根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中需求的定義，我們可以知道，商品的價(jià)格越低，人們的需求量自然會(huì)越低，因此，我們可以把需求函數(shù)近似的看做隨自變量向右下方漸變的曲線(xiàn)，也就是價(jià)格和需求量之間存在反向變化的關(guān)系，即在其他條件不變的情況下需求量隨著價(jià)格的上升而減少，隨著價(jià)格的下降而增加。火車(chē)提供快餐只是火車(chē)的次營(yíng)業(yè)務(wù)，因此火車(chē)運(yùn)行商不可能把精力都投放到快餐的供給上來(lái)，而且火車(chē)車(chē)廂容量有限，這樣火車(chē)快餐供給量基本上是穩(wěn)定的但是火車(chē)乘客的數(shù)量較大，他們對(duì)快餐的需求量大大超過(guò)了火車(chē)快餐的供給量。這樣在市場(chǎng)價(jià)格情況下，就造成了火車(chē)快餐的供不應(yīng)求。人們對(duì)火車(chē)快餐的需求量大于其供給量，如果火車(chē)快餐保持原價(jià)的話(huà)，就會(huì)出現(xiàn)爭(zhēng)搶的局面，而且不利于火車(chē)運(yùn)營(yíng)商獲取超額利潤(rùn)。在這種情況下，火車(chē)運(yùn)營(yíng)商一方面為了獲取超額利潤(rùn)，另一方面為了火車(chē)平安穩(wěn)定的運(yùn)行，他都要將價(jià)格提高。隨著價(jià)格的慢慢提高，從收入低的旅客們開(kāi)始慢慢地減少對(duì)火車(chē)快餐的需求?；疖?chē)快餐價(jià)格提的越高，人們的需求量越小，直到達(dá)到供給與需求的均衡點(diǎn)，這樣就造成了火車(chē)上快餐的價(jià)格遠(yuǎn)遠(yuǎn)的高于市場(chǎng)上快餐的價(jià)格。而選擇消費(fèi)火車(chē)快餐的群體一般是那些收入較高或中等收入的群體。三、模型假設(shè)1、列車(chē)上每餐只提供盒飯和方便面兩種食物。2、每位乘客每餐只需要一盒盒飯或一袋方便面。3、火車(chē)快餐每餐的成本是固定不變的。四、符號(hào)說(shuō)明C］：?jiǎn)未奖忝娴膬r(jià)格a:盒飯價(jià)格上漲時(shí)，銷(xiāo)售量減少率0:方便面價(jià)格上漲時(shí)，銷(xiāo)售量減少率x(c):盒飯價(jià)格為c時(shí)，每餐盒飯銷(xiāo)售量y(ci):方便面價(jià)格為ci時(shí)，每餐方便面銷(xiāo)售量W:總收入W:每餐固定成本0五、模型的建立與求解5.1模型I因?yàn)樵诨疖?chē)上，餐飲量不會(huì)受到外界太多影響，所以每餐的餐飲銷(xiāo)售量不會(huì)有太大偏差，所以只考慮一頓飯的總收入；且每餐成本穩(wěn)定為W，這樣要求最大0收益只需考慮一頓飯的最大收入即可。5.1.1首先找出銷(xiāo)售量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系：當(dāng)盒飯的價(jià)格由c上漲到c+Ac時(shí)，銷(xiāo)售量的減少量為x(c+Ac)-x(c)=-ax(ckc對(duì)上式整理得：x(c+Ac)-x(c)()=-ax2丿Ac進(jìn)一步推導(dǎo)得：dx—axdc當(dāng)c為盒飯成本價(jià)C時(shí)x(C)=200，于是時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)需求量大于供應(yīng)量，故而所有的盒飯都賣(mài)光，此建立方程組：dx——=—ax<dcx(C)=200解上述方程組得盒飯銷(xiāo)售量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系：x(c)=200ea(C-c)由以上分析可得x(c)大體圖像如下:圖1圖1盒飯價(jià)格與銷(xiāo)售量的關(guān)系同理，可以求得方便面銷(xiāo)售量與價(jià)格之間的關(guān)系：當(dāng)c為方便面成本價(jià)同理，可以求得方便面銷(xiāo)售量與價(jià)格之間的關(guān)系：當(dāng)c為方便面成本價(jià)C時(shí),11y(C)二100，于是有:1~dy產(chǎn)—0yvdc1、y(C1)=100整理上述方程組得：y(c)=100ey(c)=100eMq-C])111上式的圖像大致為:圖2方便面價(jià)格與銷(xiāo)售量的關(guān)系上述式中的C和C分別表示盒飯和方便面的成本價(jià)，在此假設(shè)C二10，C=3。11則固定成本W(wǎng)二200x10+100x3=2300。05.1.2求出銷(xiāo)售量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系后再求一頓飯的總收入。由數(shù)學(xué)關(guān)系式：總收入二價(jià)格X銷(xiāo)售量可得：W=cx(c)+cy(c)11將盒飯及方便面與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式分別代入上式得：W=200ceu（c-c）+100ce卩（q-q）1=200ceu（10-c）+100ce卩（3-彳1要想求總收入W的最大值可以分別求出盒飯、方便面的收入最大值W和W。12W=200ceu（10-c）1W=100ce卩（3-cp21對(duì)上述兩式分別求收入對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)：W'=200e?（10-c）（1-ac）1W'=100eP（3-c1）（1—pc）21TOC\o"1-5"\h\zf1f1貝VW=0時(shí)c=；W=0時(shí)c=1a21P1f1f我們可以知道當(dāng)c<—時(shí)，W>0,則W單調(diào)遞增；當(dāng)c>—時(shí)，W<0,則W單a11a22調(diào)遞減，所以c=-時(shí)W達(dá)到最大點(diǎn)。同理c=1時(shí)W達(dá)到最大點(diǎn)。a11P2由此要確定最大收入，就要知道銷(xiāo)售量減少率，求列車(chē)快餐的最大收入，可以運(yùn)用調(diào)查問(wèn)卷的形式來(lái)確定銷(xiāo)售量減少率a和P的值。例如：若盒飯銷(xiāo)售量減少率a=0.05，則制定盒飯價(jià)格c=20，此時(shí)盒飯收入最大W=2426元；同樣方便面銷(xiāo)售量減少率p=0.1，則制定方便面價(jià)格c=10，此時(shí)11方便面收入最大W2=497元。最大利潤(rùn)二最大收入-固定成本，得最大利潤(rùn)=2923-W0=2923-2300=623元。5.2模型II由模型I知總收入與快餐的價(jià)格及減少率有關(guān)。因?yàn)椴煌南M(fèi)者對(duì)于商品價(jià)格的承受能力是不同的，即不同的價(jià)格對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)售量減少率是不同的。所以下面討論價(jià)格與減少率之間的關(guān)系。要確定價(jià)格上漲時(shí)對(duì)銷(xiāo)售量減少率的影響，就要考慮消費(fèi)者的需求和購(gòu)買(mǎi)行為及價(jià)格上漲時(shí)消費(fèi)者的承受能力。由于價(jià)格較低時(shí)，可以承受的消費(fèi)者人數(shù)較多，此時(shí)減少率較??；而當(dāng)價(jià)格慢慢上升超出大部分消費(fèi)者承受價(jià)格的范圍，人數(shù)減少的速度增快，即減少率增大；當(dāng)價(jià)格增大到一定程度時(shí)，所能消費(fèi)者的承受能力基本穩(wěn)定，減少率趨于穩(wěn)

定。根據(jù)分析可畫(huà)出減少率與價(jià)格的大致圖像：圖3價(jià)格與減少率的關(guān)系假設(shè)價(jià)格與減少率之間存在函數(shù)關(guān)系：根據(jù)實(shí)際假設(shè)當(dāng)盒飯價(jià)格為成本價(jià)C二10時(shí)，盒飯全部賣(mài)出，則盒飯的銷(xiāo)售量減少率a二0；當(dāng)盒飯價(jià)格C二20時(shí)，減少率達(dá)到最大值a二0.2；當(dāng)C>20時(shí)，a將穩(wěn)定不再發(fā)生變化，如下圖：圖4盒飯價(jià)格與減少率的關(guān)系fAc+B(10<c<20)a(c)—<[0.2(20<c)從而得A—0.02,B——0.2,所以f0.02c—0.2(10<c<20)a(c)—<[0.2(20<c)同樣假設(shè)當(dāng)方便面價(jià)格為成本價(jià)C]—3時(shí)，方便面全部賣(mài)出，則方便面的銷(xiāo)售量減少率0=0；當(dāng)方便面價(jià)格c=9時(shí)，減少率達(dá)到最大0=0.36；當(dāng)c>9時(shí)，B將11穩(wěn)定不再發(fā)生變化，如下圖：穩(wěn)定不再發(fā)生變化，如下圖：圖5方便面價(jià)格與減少率的關(guān)系Pc+Q(3<c<9)110.36(c>9)1P=P=0.06,Q=—0.18所以0(c)=0.06c—0.18(3<c0(c)=0.36(c>9)1整理上述式子得：W=200W=200ce(0.02c—0.2)(10—c)200ce0.2(10—c)(10<c<20)(c>20)(10(10<c<20)(c>20)100ce(0.06丁0.18)(3巧)(3<c<9)W=vii2100ce0.36(3巧)(c>9)11100ce-0.06c2+0.36c1-0.54(3<c<9)=v11100ce-0.36c]+1曲1(c>9)1111200ce-0.02c2i_0.4c-2200ce-0.2c+2對(duì)Wi求導(dǎo)’當(dāng)Wi'=0時(shí)c=5+5邁取得極值。運(yùn)用MALAB軟件（程序詳見(jiàn)附錄一）畫(huà)出盒飯總收入叫與價(jià)格曲線(xiàn):

500152fJ2530354025002D0D150D1DD0圖6500152fJ2530354025002D0D150D1DD0圖6盒飯總收入與價(jià)格的關(guān)系由圖知c=5+5邁時(shí)W取得最大值，即將盒飯價(jià)格定為12元時(shí)，總收入取得最大1值為2215.5元。同理對(duì)W求導(dǎo)，當(dāng)W'二0時(shí)c二9+、381取得極值。2216運(yùn)用MALAB軟件（程序詳見(jiàn)附錄二）畫(huà)出方便面總收入W與價(jià)格曲線(xiàn)：2圖7方便面總收入與價(jià)格的關(guān)系圖7方便面總收入與價(jià)格的關(guān)系1F—\1360A3002S0\2DO■\150\1039]■0,1111A6a101214161020由圖知ci二害!時(shí)^取得最大值，即將方便面價(jià)格定為4?8元時(shí)，總收入取得最大值為：395.2元?？偸杖隬=W+W=2215.5+395.2=2610.7,12最大利潤(rùn)二2610.7-Wo二2610.7-2300二310.7元。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的評(píng)價(jià)模型I是通過(guò)建立微分方程得到價(jià)格與銷(xiāo)售量之間的關(guān)系，再根據(jù)收入=價(jià)格X銷(xiāo)售量，得到收入與銷(xiāo)售量減少率及價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系。該模型的銷(xiāo)售量減少率假設(shè)為穩(wěn)定值，可以通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查得出。該模型簡(jiǎn)單扼要，容易理解，但沒(méi)有考慮到銷(xiāo)售量減少率可能會(huì)隨著價(jià)格的變動(dòng)而改變。模型II考慮了該因素，進(jìn)而對(duì)模型I進(jìn)行改進(jìn)，先求出銷(xiāo)售量減少率與價(jià)格的變動(dòng)關(guān)系，然后將減少率函數(shù)代回模型I,得出總收入與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系。模型II較復(fù)雜，計(jì)算量比較大。整體模型沒(méi)有考慮到對(duì)沒(méi)有賣(mài)出的快餐進(jìn)行降價(jià)銷(xiāo)售的情況，而且也沒(méi)考慮到火車(chē)上還提供其他的食物。6.2模型的推廣隨著我國(guó)交通的高速發(fā)展，城市之間的往來(lái)會(huì)越來(lái)越頻繁，列車(chē)的數(shù)量也會(huì)隨之增加，關(guān)于列車(chē)上食品價(jià)格的界定也成為了焦點(diǎn)問(wèn)題。如何平衡消費(fèi)者的接受能力與最大利潤(rùn)之間的關(guān)系尤為重要，本文以此為基點(diǎn)，在消費(fèi)者可接受的范圍內(nèi)確定盒飯和方便面的價(jià)格，并實(shí)現(xiàn)最大利潤(rùn)。而在本文中除盒飯和方便面之外的食品也可以參照此方法確定它們的價(jià)格，實(shí)現(xiàn)最大利潤(rùn)。七、參考文獻(xiàn)⑴李德宜，李明.數(shù)學(xué)建模[M].北京:科學(xué)出版社,2009.⑵吳建國(guó).數(shù)學(xué)建模案例精編[M].北京:中國(guó)水利水電出版社,2005.⑶劉衛(wèi)國(guó).MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2006.7.附錄附錄1c=10:0.1:40