第一章 矩陣的相似變換

第一章矩陣的相似變換第1頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1特征值與特征向量第一章矩陣的相似變換定義設，如果存在和非零向量，使，則叫做的特征值，叫做的屬于特征值的特征向量。第2頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）屬于不同特征值的特征向量是線性無關的。矩陣的特征值與特征向量的性質：（2）特征值的幾何重數不大于它的代數重數。（1）一個特征向量不能屬于不同的特征值。第3頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）設是的個互不同的特征值，的幾何重數為，是對應于的個線性無關的特征向量，則的所有這些特征向量仍然是線性無關的。第4頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）設階方陣的特征值為，則

第5頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2相似對角化定義：設，若存在使得則稱相似矩陣的性質：相似矩陣有相同的特征多項式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。定義：設，如果相似于一個對角矩陣，則稱可對角化。

第6頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：階矩陣可以對角化的充分必要條件是每一個特征值的代數重數等于其幾何重數。例1判斷矩陣是否可以對角化？定理：階矩陣可以對角化的充分必要條件是有個線性無關的特征向量。

第7頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月于是的特征值為（二重）由于是單的特征值，它一定對應一個線性無關的特征向量。下面我們考慮解：先求出的特征值第8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月于是從而不相似對角矩陣，不能對角化。第9頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3Jordan標準形介紹第10頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4Hamilton-Cayley定理第11頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.5向量的內積內積的性質：第12頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解：根據定義可知例在中求下列向量的長度第14頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：長度為1的向量稱為單位向量，對于任何一個非零的向量，向量是單位向量，稱此過程為單位化。定義：如果，則稱與正交。第15頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定義設為一組不含有零向量的向量組，如果內的任意兩個向量彼此正交，則稱其為正交向量組。定義

如果一個正交向量組中任何一個向量都是單位向量，則稱此向量組為標準正交向量組。第16頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月與向量組都是標準正交向量組。例

在中向量組第17頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：正交的向量組是一個線性無關的向量組。反之，由一個線性無關的向量組出發(fā)可以構造一個正交向量組，甚至是一個標準正交向量組。Schmidt正交化與單位化過程:設是個線性無關的向量，利用這個向量完全可以構造一個標準正交向量組。第18頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步正交化容易驗證是一個正交向量組.第19頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步單位化顯然是一個標準的正交向量組。例1運用正交化與單位化過程將向量組化為標準正交向量組。第20頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月再單位化解：先正交化第21頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月那么即為所求的標準正交向量組。第22頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：設為一個階復矩陣，如果其滿足則稱是酉矩陣，一般記為設為一個階實矩陣，如果其滿足則稱是正交矩陣。第23頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例：是一個正交矩陣第24頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月是一個正交矩陣是一個正交矩陣第25頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）設且，如果則是一個酉矩陣。通常稱為Householder矩陣。是一個酉矩陣第26頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月設，那么酉矩陣與正交矩陣的性質：第27頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：設，是一個酉矩陣的充分必要條件為的個列（或行）向量組是標準正交向量組。第28頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.6酉相似下的標準形定義：設，若存在

，使得則稱酉相似(或正交相似)于定理(Schur引理)：任何一個階復矩陣酉相似于一個上(下)三角矩陣。第29頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：用數學歸納法。的階數為1時定理顯然成立?，F設的階數為時定理成立，考慮的階數為時的情況。取階矩陣的一個特征值，對應的單位特征向量為，構造以為第一列的階酉矩陣，因為構成的一個標準正交基，故第30頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月，因此第31頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月令那么其中是階矩陣，根據歸納假設，存在階酉矩陣滿足(上三角矩陣)注意:等號右端的三角矩陣主對角線上的元素為矩陣的全部特征值.第32頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月試求酉矩陣使得為上三角矩陣.解:首先求矩陣的特征值例:已知矩陣第33頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月所以為矩陣的三重特征值.當時,有單位特征向量再解與其內積為零的方程求得一個單位解向量第34頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月再解與內積為零的方程組求得一個單位解向量取第35頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月計算可得第36頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月再求矩陣的特征值所以為矩陣的二重特征值.當時,有單位特征向量令第38頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月再解與其內積為零的方程求得一個單位解向量第39頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月取計算可得第40頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月令于是有第41頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣即為所求的酉矩陣.正規(guī)矩陣定義:

設,如果滿足則第43頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月那么稱矩陣為一個正規(guī)矩陣.設,如果同樣滿足那么稱矩陣為一個實正規(guī)矩陣.例:

(1)

為實正規(guī)矩陣

第44頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)其中是不全為零的實數,容易驗證這是一個實正規(guī)矩陣.第45頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)這是一個正規(guī)矩陣.(4)Hermite陣,反Hermite陣,正交矩陣,酉矩陣,對角矩陣都是正規(guī)矩陣.第46頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月引理1:

設是一個正規(guī)矩陣,則與酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣.引理2:設是一個三角矩陣,則是正規(guī)矩陣的充要條件是為對角矩陣.由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結構定理定理:設,則酉相似于對角矩陣的充要條件是為正規(guī)矩陣。正規(guī)矩陣的性質與結構定理第47頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月其中是矩陣的特征值.推論:階正規(guī)矩陣有個線性無關的特征向量.第48頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例1:設求正交矩陣使得為對角矩陣.解:先計算矩陣的特征值第49頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月其特征值為對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系現在將單位化并正交化,得到兩個標準正交向量第50頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系將其單位化得到一個單位向量第51頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月將這三個標準正交向量組成矩陣第52頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月則矩陣即為所求正交矩陣且有例2:設求酉矩陣使得為對角矩陣.第53頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月解:先計算矩陣的特征值其特征值為對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系第54頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月現在將單位化,得到一個單位向量對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系將其單位化得到一個單位向量第55頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月對于特征值解線性方程組求得其一個基礎解系將其單位化得到一個單位向量第56頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月將這三個標準正交向量組成矩陣則矩陣即為所求酉矩陣且有第57頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月推論：

1Hermite矩陣的特征值為實數;反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數.2實對稱矩陣的特征值為實數;實反對稱矩陣的特征值為零或純虛數.3是正規(guī)矩陣，是的特征值，是對應的特征向量，則是的特征值，對應的特征向量仍為。4是正規(guī)矩陣，則屬于不同特征值的特征向量正交。

第58頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例:設是一個階Hermite

陣且存在自然數使得,證明:.證明:由于是正規(guī)矩陣,所以存在一個酉矩陣使得第59頁，課件共62