北郵概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)條件概率

PAGE5-§1.3條件概率條件概率是概率論中的一個(gè)基本概念，也是概率論中的一個(gè)重要工具，它既可以幫助我們認(rèn)識(shí)更復(fù)雜的隨機(jī)事件，也可以幫助我們計(jì)算一些復(fù)雜事件的概率。1.條件概率的定義及計(jì)算在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中或隨機(jī)現(xiàn)象中，當(dāng)我們已知一個(gè)事件發(fā)生了，這時(shí)對(duì)另外一個(gè)事件發(fā)生的概率往往需要重新給出度量.稱事件的這個(gè)新概率為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率,記為.為了對(duì)條件概率有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)以及考慮該如何給出條件概率的數(shù)學(xué)定義,我們先看一個(gè)例子.例1一批同類產(chǎn)品由甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)，各車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)及正品和次品的情況如下表甲車間乙車間合計(jì)正品465510975次品151025合計(jì)4805201000從這批產(chǎn)品中任取一件，則這件產(chǎn)品是次品的概率為現(xiàn)在假設(shè)被告知取出的產(chǎn)品是由甲車間生產(chǎn)的，那么這件產(chǎn)品為次品的概率就不再是，而是在本例中，設(shè)表示事件“取出的產(chǎn)品是由甲車間生產(chǎn)的”，表示事件“取出的產(chǎn)品是次品”，前面算出的事件的概率是在沒有任可進(jìn)一步的信息的情況下得到的，而后面算出的事件的概率是在有了“事件發(fā)生了”這一信息的情況下得到的.后一個(gè)概率就是在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率.與此對(duì)應(yīng)，我們可以把前一個(gè)概率稱為無條件概率。經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算有這個(gè)關(guān)系式盡管是從本例得出的，但它具有普遍意義.受由啟發(fā),我們可以在一般的樣本空間中給出條件概率的數(shù)學(xué)定義.定義設(shè)是樣本空間中的兩個(gè)事件，且，在事件發(fā)生的條件下，事件的條件概率定義為根據(jù)條件概率的定義，不難驗(yàn)證條件概率滿足概率定義中的三條公理：（1）非負(fù)性：對(duì)任一事件，有；（2）規(guī)范性：；（3）可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有自然地，條件概率也具有三條公理導(dǎo)出的一切性質(zhì).比如,.例2將一骰子擲兩次,已知兩次的點(diǎn)數(shù)之和為6,求第一次的點(diǎn)數(shù)大于第二次點(diǎn)數(shù)的概率.解:設(shè)事件“兩次的點(diǎn)數(shù)之和為6”,事件“第一次的點(diǎn)數(shù)大于第二次點(diǎn)數(shù)2”方法一(在縮減的樣本空間中計(jì)算).在事件發(fā)生的條件下,樣本空間縮減為在此樣本空間中考慮,事件包含個(gè)樣本點(diǎn),所以.方法二.,,所以.例對(duì)于壽險(xiǎn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)而言,需關(guān)注不同年齡的人能繼續(xù)存活若干年的概率.假設(shè)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或某種壽命分布理論,人的壽命超過60歲的概率為0.9,超過70歲的概率為0.8.求60歲的人能繼續(xù)存活10年的概率.思考：1．考慮恰有2個(gè)小孩的家庭，從這樣的家庭中任選一家，已知這個(gè)家有男孩，那么這家兩個(gè)小孩都是男孩的概率是多少？2．隨機(jī)地遇到一男孩，并發(fā)現(xiàn)他屬于兩個(gè)孩子的家庭，那么他家的另一個(gè)小孩也是男孩的概率是多少？3．有3張完全相同的卡片，第一張卡片兩面全涂成紅色，第二張卡片兩面全涂成黑色，第三張卡片一面涂成紅色一面涂成黑色.現(xiàn)從3張卡片中隨機(jī)取1張并放在桌面上,如果朝上的一面是紅色,那么另一面是黑色的概率有多大?4.（領(lǐng)獎(jiǎng)問題）某人參加了有獎(jiǎng)競(jìng)答活動(dòng),他全過關(guān)了,現(xiàn)到領(lǐng)獎(jiǎng)階段,領(lǐng)獎(jiǎng)規(guī)則是:有三個(gè)房間,其中一個(gè)房間里放有獎(jiǎng)品,而另外二個(gè)房間沒有獎(jiǎng)品,全過關(guān)的選手任選一個(gè)房間,若房間里有獎(jiǎng)品則他獲得此獎(jiǎng)品,否則沒有獎(jiǎng)品.現(xiàn)此人選了一房間,在他還沒有打開房門時(shí)主持人打開了另外二個(gè)房門中的一個(gè),結(jié)果沒有獎(jiǎng)品,這時(shí)該選手還有重新選擇的機(jī)會(huì),你認(rèn)為應(yīng)該堅(jiān)持原來的選擇還是換一個(gè)選擇或兩者皆可?二.條件概率的應(yīng)用這里主要介紹涉及條件概率的三個(gè)公式:(1)乘法公式;(2)全概率公式;(3)貝葉斯公式.乘法公式由條件概率的定義易知沒吸毒過?”改為“你的生日是否在7月1日之前?”，那么，①式變?yōu)榈墓烙?jì)值為下面介紹全概率公式在遺學(xué)中的應(yīng)用，下面問題作為思考題留給同學(xué)們?nèi)ソ鉀Q。對(duì)于三種基因型式：AA,Aa,aa,假定親本總體中的比例為(),且數(shù)量很多,而參與交配的親本是該總體中隨機(jī)的兩個(gè)(比如,菜園中的豌豆是經(jīng)過充分混和的),對(duì)于子一代,這三種基因型式的比例會(huì)如何呢?子二代又會(huì)如何呢?貝葉斯公式定理設(shè)為樣本空間的一個(gè)分割,且,為一事件,且,則.以上公式叫做貝葉斯公式,是概率論中的一個(gè)著名的公式.從形式推導(dǎo)來看很平凡,它不過是條件概率的定義和全概率公式的簡(jiǎn)單推論.之所以著名,是具有哲理意義上的解釋:,是在沒有進(jìn)一步的信息(不知是否發(fā)生)情況下,人們對(duì)諸事件的認(rèn)識(shí)?，F(xiàn)有了新的信息（知道發(fā)生了），人們諸事件的認(rèn)識(shí)會(huì)有所調(diào)整,貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了在有了進(jìn)一步信息的條件下對(duì)諸事件的認(rèn)識(shí)的調(diào)整.,,稱為先驗(yàn)概率（或先驗(yàn)信息），,…,稱為后驗(yàn)概率（或后驗(yàn)信息）。我們先看下面問題?？紤]不放回抽樣模型:一個(gè)袋有7個(gè)球,其中5個(gè)紅球,2個(gè)白球.從中依次取2次球,每次取一個(gè),取后不放回.第一次取到紅球的條件下第二次取到紅球的條件概率為,這是簡(jiǎn)單、直觀的.下面來求第二次取到紅球的條件下第一次取到紅球的條件概率.解:設(shè)“第一次取到紅球”,“第二次取到紅球”,由貝葉斯公式這個(gè)條件概率與第一次取到紅球的條件下第二次取到紅球的條件概率相等.從時(shí)間順序上看,我們可能會(huì)覺得后面的結(jié)果不會(huì)對(duì)前面的結(jié)果產(chǎn)生影響.果真如此嗎?設(shè)想你和另外一位同學(xué)抓鬮,鬮中一部分有獎(jiǎng),另一部分沒獎(jiǎng).在你抓了鬮但還沒看結(jié)果時(shí),你看到了另外一同學(xué)中獎(jiǎng)了,此時(shí)你會(huì)覺得“我中獎(jiǎng)的可能性減少了”,無論你是先抓還是后抓都會(huì)產(chǎn)生這種感覺.由此可見,上面的結(jié)果其實(shí)是符合“直觀”的.例續(xù)保險(xiǎn)問題,假設(shè)任一投保人在各年是否出事故相互獨(dú)立,且出事故的概率不變.求下列概率(1)新投保的人第一年出了事故,求他是易發(fā)事故者的概率；(2)新投保的人第一年出了事故,求他第二年會(huì)出事故的概率。解:記“投保人為易出事故者”,“投保人第年出事故”(,則有,,,(1)(2)先求思考:1.新投保的人連續(xù)年出事故,求他第年會(huì)出事故的概率,在很大時(shí)這個(gè)概率的近似值是多少?2.在人類遺傳學(xué)中,某種“壞”的基因會(huì)引起夭折.設(shè)是這樣的一個(gè)基因,基因型將不能長(zhǎng)大成人,基因型的人稱為“帶菌者”(具隱性性狀).已知某人有一個(gè)兄弟由于具有基因型而在童年死去,(1)求他是帶菌者的概率.()(2)假定在自然成人人群中(不論性別如何)帶菌者的概率為(成人人群中帶基因的比例是，帶基因的比例是)，若他與一位不知是否具有這種“歷史”的女人結(jié)婚,他們的小孩具有基因型的概率各是多少?（）注:如果把事件看成是會(huì)影響結(jié)果發(fā)生機(jī)率的原因,則