3.4 曲線與方程（練習(xí)） - 解析版

33．4曲線與方程（練習(xí)）解析第頁3．4曲線與方程（練習(xí)）解析一．單項(xiàng)選擇題：（每小題5分，共6小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．下列各對方程中，表示相同曲線的一組是A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】選項(xiàng)A，表示直線，不表示直線，所以表示不同曲線；選項(xiàng)B，表示點(diǎn)，表示兩條直線和，所以表示不同曲線；選項(xiàng)C，與都表示雙曲線；選項(xiàng)D，中，而中，表示不同曲線．故選C．2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的倍，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離是到點(diǎn)的距離的2倍，所以，化簡得，．即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．故選B．3．設(shè)定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．不存在【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓．故選C．4．“點(diǎn)在曲線上”是“點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離相等”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由“點(diǎn)在曲線上”一定能推出“點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離相等”，故充分性成立；當(dāng)“點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等”時(shí)，點(diǎn)不一定在曲線上，此時(shí)，點(diǎn)也可能在曲線上，故必要性不成立．故選A．5．已知，為兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)，則方程與所表示的曲線可能是ABCD【答案】C【解析】由題意知：，當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是過一、二、三象限的直線，故選項(xiàng)A不可能；當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是過一、二、三象限的直線，故選項(xiàng)B不可能；當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，是過一、三、四象限的直線，故選項(xiàng)C可能；當(dāng)時(shí)，為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，是過一、二、四象限的直線，故選項(xiàng)D不可能；故選C．6．平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是A．軌跡的方程為B．在上到直線的距離為點(diǎn)有三個(gè)C．在上存在點(diǎn)，使得D．在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得【答案】D【解析】設(shè)，則，化簡得，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；圓心到直線的距離，又半徑為，所以在上到直線的距離為點(diǎn)有兩個(gè)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，則，化簡得，與聯(lián)立，方程組無解，故不存在點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；假設(shè)在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得，設(shè)，，則，化簡得，由軌跡的方程為，可得，，解得，或，（舍去），所以選項(xiàng)D正確．故選D．二．填空題（每小題5分，共6小題．）7．已知過平面外一點(diǎn)的斜線與平面所成角為，斜線交平面于點(diǎn)，若點(diǎn)與平面的距離為，則斜線段在平面上的射影所形成的圖形面積為．【答案】【解析】如圖，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，連接，所以線段為線段在平面上的射影，為斜線與平面所成的角，則，又，所以，故射影形成的圖形為半徑為的圓面，其面積為．8．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)且與直線相切，則圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，且與直線相切，所以圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，均為的半徑．因此，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，所以其方程為．9．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】或【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，兩邊平方并化簡，得，所以.于是動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為或．10．下列關(guān)于曲線的說法正確的是_________．（填上所有正確的序號(hào)）①點(diǎn)在曲線上；②曲線關(guān)于直線對稱；③曲線是中心對稱圖形；④曲線圍成的區(qū)域的面積小于．【答案】①③【解析】對①，將點(diǎn)代入可得，故①正確；對②，替換可得，與原表達(dá)式不同，故②錯(cuò)誤；對③，將替換成，替換成可得，故③正確；對④，因?yàn)?，故，則，故，設(shè)為曲線上一點(diǎn)，故，說明在圓上或圓外，故曲線C圍成的區(qū)域的面積應(yīng)大于或等于，故④錯(cuò)誤．綜上所述，①③正確．三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）11．（本小題滿分12分）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且．證明：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明詳見解析．【解析】（1）設(shè)，，則，．由得．因?yàn)樵谏?，所以，所以．因此點(diǎn)的軌跡為．由題意知，設(shè)，，則，由，得，即，又由（1）知，故．又，所以，.所以．又過點(diǎn)存在唯一直線垂直于，所以過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)．12．（本小題滿分12分）已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)，，若過的直線與交于兩點(diǎn)，且直線與交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】（1）；（2）證明詳見解析．【解析】（1）由題意可知：點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之差為，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是