第3章-連續(xù)信號的正交分解課件

3.1引言復雜信號可以分解成單位沖激函數(shù)的疊加LTI系統(tǒng)的特性完全可以由其單位沖激響應來表征信號分析——研究信號如何表示為各分量的和通常用正交函數(shù)集作為單元函數(shù)三角函數(shù)集3.1引言復雜信號可以分解成單位沖激函數(shù)的疊加3.2

正交函數(shù)集和信號的分解

3.2.1矢量的正交分解1.矢量的分量

3.2正交函數(shù)集和信號的分解1.矢量的分量

兩矢量V1與V2正交時的夾角為。矢量V1在V2上的分量為c12V2，則所以系數(shù)1.矢量的分量兩矢量V1與V2正交時的夾角為。分析若V1與V2正交，則θ=90°,cosθ=0，此時系數(shù)c12=0。這表明當V1與V2正交時，用c12V2來近似表示V1還不如用0來近似V1。因此，我們可以把兩個矢量V1與V2正交的概念解釋如下：給定兩個矢量V1和V2，現(xiàn)在要用與V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求誤差矢量Ve=V1?c12V2的模|Ve|最小(此時的c12稱為最佳)。若最佳的c12=0，則V1與V2正交。當兩矢量V1與V2正交時，c12=0，即V1·V2=0。當V1=V2時，c12=1分析若V1與V2正交，則θ=90°,cosθ=0，此時系數(shù)2.矢量的正交分解平面矢量的正交分解2.矢量的正交分解平面矢量的正交分解2.矢量的分解三維空間矢量的正交分解2.矢量的分解三維空間矢量的正交分解2.矢量的分解推廣到n維情況其中，系數(shù)2.矢量的分解推廣到n維情況其中，系數(shù)3.2.2信號的正交分解1、正交函數(shù)——設f1(t)和f2(t)為定義在(t1,t2)區(qū)間上的兩個函數(shù)，現(xiàn)在要用與f2(t)成比例的一個函數(shù)c12f2(t)近似地代表f1(t)，其誤差函數(shù)為3.2.2信號的正交分解1、正交函數(shù)——設f1(t)和f2設f1(t)、f2(t)均為復函數(shù)，此時，c12也可能為一復數(shù)系數(shù)。式中，“*”代表取共軛復數(shù)。將上式右邊展開，得設f1(t)、f2(t)均為復函數(shù)，此時，c12也可能為一復據(jù)平方誤差的定義知Ee≥0，式中惟一可供選擇的參數(shù)為c12。為使誤差能量Ee最小，于是有若f1(t)、f2(t)正交，c12應為零。因此據(jù)平方誤差的定義知Ee≥0，式中惟一可供選擇的參數(shù)為c12。2.信號的正交展開設有一函數(shù)集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它們定義在區(qū)間(t1,t2)上，如果對于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有則該函數(shù)集就稱為區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集。如果

則稱該函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。2.信號的正交展開設有一函數(shù)集｛g1(t),g2(t)，例如,三角函數(shù)集｛1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝在區(qū)間（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)組成正交函數(shù)集,而且是完備的正交函數(shù)集。這是因為例如,三角函數(shù)集1.三角傅里葉級數(shù)

周期為T的函數(shù)f(t)都可分解為無限個正弦和余弦函數(shù)的代數(shù)和，即f(t)在(t0,t0+T)區(qū)間的三角傅里葉級數(shù)展開。f(t)應滿足狄利克雷條件。

3.3信號表示為傅里葉級數(shù)直流分量基波分量n=1諧波分量n>11.三角傅里葉級數(shù)3.3信號表示為傅里葉級數(shù)直流基波分直流分量余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)直流分量余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)根據(jù)三角函數(shù)的運算法則,上式還可以寫成。根據(jù)三角函數(shù)的運算法則,上式還可以寫成。說明實用中進行信號分析時，不可能無限多次諧波，而只能取有限項來近似，這不可避免地要有誤差n愈大，即所取級數(shù)項數(shù)愈多，方均誤差愈小。方均誤差趨于零。說明實用中進行信號分析時，不可能無限多次諧波，而只能取有限項例3-1將下列方波信號展開成三角級數(shù)1-1tTT/2例3-1將下列方波信號展開成三角級數(shù)1-1tTT/2解：要把函數(shù)展開成三角級數(shù)，只要求得分量系數(shù)a和b。解：要把函數(shù)展開成三角級數(shù)，只要求得分量系數(shù)a和b。因此，該非周期信號在區(qū)間（0，T）內可以表示為紅----一項近似，綠-----兩項近似，水紅----三項近似因此，該非周期信號在區(qū)間（0，T）內可以表示為紅----一項2.復指數(shù)傅里葉級數(shù)指數(shù)函數(shù)具有如下關系因此，指數(shù)函數(shù)，為一完備的正交函數(shù)集2.復指數(shù)傅里葉級數(shù)指數(shù)函數(shù)具有如下關系任意函數(shù)，可在區(qū)間（t0,t0+T）內用此函數(shù)表示為上式稱為復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。它是可以從三角傅里葉級數(shù)直接導出的。任意函數(shù)，可在區(qū)間（t0,t0+T）內用此函數(shù)表根據(jù)歐拉公式且考慮到An是n或頻率的偶函數(shù)，而是奇函數(shù)因此由于其數(shù)學表示更為簡潔,故在后續(xù)章節(jié)中,這一式子用得更多。

根據(jù)歐拉公式且考慮到An是n或頻率的偶函數(shù)，而是奇下面以周期性矩形脈沖為例,說明周期信號頻譜的特點。設有一幅度為A,脈沖寬度為τ的周期性矩形脈沖,其周期為T,如圖所示，試求其傅里葉系數(shù)3.4周期信號的頻譜A下面以周期性矩形脈沖為例,說明周期信號頻譜的特點。3.令上式中的n=0，求其極限得直流分量周期矩形脈沖的指數(shù)傅立葉級數(shù)（Ω=2π/T）令上式中的n=0，求其極限得直流分量周期矩形脈沖的指數(shù)傅立葉畫出了T=5τ、A=1的周期性矩形脈沖的頻譜。畫出了T=5τ、A=1的周期性矩形脈沖的頻譜。周期信號頻譜具有以下幾個特點：第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率Ω的整數(shù)倍頻率上，即含有Ω的各次諧波分量，而決不含有非Ω的諧波分量。第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨nΩ的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著nΩ的增大而逐漸減小。當nΩ→∞時，|An|→0。周期信號頻譜具有以下幾個特點：第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的1.頻譜與周期的關系T=10τT=20τ1.頻譜與周期的關系T=10τT=20τ2.頻帶寬度與脈寬的關系TT1ττ2.頻帶寬度與脈寬的關系TT1ττ3.頻帶寬度周期矩形脈沖信號的主要能量集中在第一個零點之內，因而，常常將ω=0~ 這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度。記為或3.頻帶寬度周期矩形脈沖信號的主要能量集中在第一個零點之周期方波信號的頻譜（幅度譜）奇次諧波1-1tTT/2周期方波信號的頻譜（幅度譜）奇次諧波1-1tTT/2非周期信號周期足夠長的周期信號來處理。因此,我們可以從周期信號的頻譜分析來推測非周期信號的頻譜。當周期T無限趨大時，3.5傅里葉變換與非周期信號的頻譜非周期信號周期足夠長的周期信號來處理。因此,我們可以從周期信傅里葉變換對正變換：反變換：記作：記作：傅里葉變換對正變換：反變換：記作：記作：頻譜密度函數(shù)幅頻特性相頻特性頻譜密度函數(shù)幅頻特性相頻特性

從物理意義上理解傅里葉變換：是一個密度函數(shù)的概念是一個連續(xù)譜包含了從零到無限高頻的所有頻率分量各頻率分量的頻率不成諧波關系從物理意義上理解傅里葉變換：傅立葉變換存在的充分條件用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅立葉變換絕對可積傅立葉變換存在的充分條件用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿

例3―2求沖激信號δ(t)的頻譜。解:由頻譜函數(shù)的定義式有3.6常用信號的傅里葉變換3.6常用信號的傅里葉變換沖激信號及其頻譜沖激信號及其頻譜例3―3求矩形脈沖信號的頻譜。矩形脈沖信號及其頻譜例3―3求矩形脈沖信號的頻譜。矩形脈沖解：矩形脈沖信號是一個門函數(shù)。其定義為gτ(t)的傅里葉變換為解：矩形脈沖信號是一個門函數(shù)。其定義為gτ(t)的傅里葉變例3―4求單邊指數(shù)信號的頻譜。解:單邊指數(shù)信號是指例3―4求單邊指數(shù)信號的頻譜。單邊指數(shù)信號及其頻譜單邊指數(shù)信號及其頻譜例3―5求雙邊指數(shù)信號的頻譜。

解：從頻譜函數(shù)的定義式出發(fā)例3―5求雙邊指數(shù)信號的頻譜。雙邊指數(shù)信號及其頻譜雙邊指數(shù)信號及其頻譜例3―6求符號函數(shù)的頻譜。解符號函數(shù)簡記為sgn(t),它的定義為例3―6求符號函數(shù)的頻譜。符號函數(shù)及其頻譜符號函數(shù)及其頻譜

符號函數(shù)sgn(t)也可看作是下述函數(shù)在α取極限趨近0時的一個特例:(其中α>0)符號函數(shù)sgn(t)也可看作是下述函數(shù)在α取極限趨近0時的3.7周期信號的傅里葉變換在引入奇異函數(shù)之前，周期信號因不滿足絕對可積條件而無法進行傅里葉變換，只能通過傅里葉級數(shù)展開為諧波分量來研究其頻譜性質。而在引入奇異函數(shù)之后，從極限的觀點來分析，周期信號也存在傅里葉變換。3.7周期信號的傅里葉變換在引入奇異函數(shù)之前，周期信號因不3.7.1指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換因為則有由于是偶函數(shù)3.7.1指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換因為改變積分變量：則有即改變積分變量：則有即特別的，當時，有利用歐拉公式，有特別的，當時，有利用歐拉公3.7.2周期信號的傅里葉變換一個以T為周期的周期信號f(t)，總有傅里葉級數(shù)展開：3.7.2周期信號的傅里葉變換一個以T為周期的周期信號f(則，周期信號f(t)的傅里葉變換為則，周期信號f(t)的傅里葉變換為例3-7求均勻沖激序列的傅里葉變換。例3-7求均勻沖激序列的傅里葉變換。解：則解：則所以即所以即均勻沖激序列的頻譜均勻沖激序列的頻譜傅里葉變換表：見P125，表3-1傅里葉變換表：見P125，表3-13.8傅里葉變換的基本性質為了方便起見,我們將傅里葉變換式重寫如下性質：3.8傅里葉變換的基本性質為了方便起見,我們將傅里葉變1.線性

且設a1,a2為常數(shù)，則有

若

1.線性

且設a1,a2為常數(shù)，則有若例3-8求單位階躍函數(shù)的頻譜函數(shù)。由于因此解：單位階躍函數(shù)可看作是幅度為1/2的直流信號與幅度為1/2的符號函數(shù)sgn(t)之和,即例3-8求單位階躍函數(shù)的頻譜函數(shù)。由2.對稱性2.對稱性例3-9利用對稱性求單位直流信號的頻譜。例3-9利用對稱性求單位直流信號的頻譜。

單位直流信號及其頻譜單位直流信號及其頻譜例3-10利用對稱性求Sa(t)的頻譜。解：由于所以令例3-10利用對稱性求Sa(t)的頻譜。解：由于所以令抽樣函數(shù)Sa(t)及其頻譜-11Sa(t)t抽樣函數(shù)Sa(t)及其頻譜-11Sa(t)t3.尺度變換將時間函數(shù)f(t)中的t換成at(a為常量),考察與之對應的頻譜函數(shù)?，F(xiàn)在來求時間函數(shù)f(t)尺度變換后的頻譜函數(shù)。設f(at)=f1(t),則有3.尺度變換將時間函數(shù)f(t)中的t換成at(a為常量),例3―11已知求的頻譜函數(shù)。解：根據(jù)傅里葉變換的尺度變換性質,的頻譜函數(shù)為例3―11已知解：根據(jù)傅里葉變換的尺度變換性質,尺度變換尺度變換4.時移特性在時間函數(shù)f(t)中,當時間t變?yōu)閠+t0時,就會引起相應的頻譜函數(shù)的變換,稱為時移特性。這里t0為實常量。設f(t+t0)=f1(t)，且已知4.時移特性在時間函數(shù)f(t)中,當時間t變?yōu)閠+t0時移特性可表示如下：幅頻特性：保持不變相頻特性：增加線性相位時移特性可表示如下：幅頻特性：保持不變相頻特性：增加線性相位例3-12已知求和的頻譜。解：一般的：例3-12已知求和例3-13求移位沖激函數(shù)δ(t+t0)的頻譜函數(shù)。解：由于已知沖激函數(shù)δ(t)的頻譜函數(shù)為1,求移位沖激函數(shù)δ(t+t0)的頻譜函數(shù)，此時可利用傅里葉變換的時移特性式。例3-13求移位沖激函數(shù)δ(t+t0)的頻譜函數(shù)。解：由于已5.頻移特性頻移特性與時移特性對稱,此時所考慮的是頻譜函數(shù)F(ω)中,頻率ω變?yōu)棣?ω0,相應的時間函數(shù)怎樣隨之而變。這里ω0為實常量。5.頻移特性頻移特性與時移特性對稱,此時所考慮的是頻譜函數(shù)

因此,移頻特性可簡寫如下：例3―13求高頻脈沖信號的頻譜函數(shù)。且ω0為實常數(shù)解：由于因此,移頻特性可簡寫如下：例3―13求高頻脈沖信號且ω0故有根據(jù)頻移特性有：故有根據(jù)頻移特性有：頻移特性頻移特性6.卷積定理(1)時域卷積性質設有兩個時間函數(shù)f1(t)和f2(t),它們分別對應的頻譜函數(shù)為F1(ω)和F2(ω)。兩個函數(shù)卷積的傅里葉變換為6.卷積定理設有兩個時間函數(shù)f1(t)和f2(t),它們分這就是時域卷積定律，可簡記為：這就是時域卷積定律，可簡記為：

(2)頻域卷積性質同時域卷積定律一樣，我們也可以證明頻域卷積定律。在這里略去證明，只寫出結論。(2)頻域卷積性質7.時域微分

若，則此性質證明如下。根據(jù)傅立葉變換定義，有上式兩端對t求微分得7.時域微分若，則此性質證明如下。根據(jù)傅立葉變換定義，有例如，我們知道 ,利用時域微分性質顯然有此性質表明，在時域中對信號f(t)求導數(shù)，對應于頻域中用jω乘f(t)的頻譜函數(shù)。如果應用此性質對微分方程兩端求傅里葉變換，即可將微分方程變換成代數(shù)方程。從理論上講，這就為微分方程的求解找到了一種新的方法。此性質還可推廣到f(t)的n階導數(shù)，即例如，我們知道 ,利用時域微分性質顯然有例3-14求如下三角函數(shù)的頻譜。1三角形脈沖及其一、二階導數(shù)的波形例3-14求如下三角函數(shù)的頻譜。1三角形脈沖及其一、二階解：根據(jù)時域微分的性質因此解：根據(jù)時域微分的性質因此三角函數(shù)及其頻譜三角函數(shù)及其頻譜8.時域積分

若，則如果，則有證明：由于應用時域卷積定理，有8.時域積分若，則如果，則有證明：由于應