15彎曲設備選型浙江大學資料

第１章工程力學基礎1.5梁的平面彎曲上一頁下一頁臥式容器車床工程實例1.5.1彎曲的實例與概念1.5.1彎曲的實例與概念彎曲變形是工程上最常見的一種基本變形受力特點:所受載荷和支反力都垂直于桿件軸線。變形特點:桿件的軸線因變形由直線變成了曲線。下一頁梁工程中以彎曲變形為主的桿件稱為上一頁下一頁縱向對稱面：梁的軸線與橫截面縱向對稱軸所構成的平面。平面彎曲：梁上的載荷和支反力均位于縱向對稱面內時，梁的軸線由直線彎成一條位于縱向對稱面內的平面曲線。梁軸線縱向對稱面彎曲的概念橫截面對稱軸R1R2Pqm上一頁下一頁梁的計算簡圖一、結構的簡化用梁的軸線來代替實際的梁，折桿或曲桿用中心線代替。二、外載的簡化：集中載荷P、分布載荷q、集中力偶m三、支座的分類根據支座對梁在載荷平面內的約束情況，一般可以簡化為三種基本形式：1.固定鉸支座2.滑動鉸支座3.固定端支座上一頁下一頁支座反力僅利用靜力平衡方程便可全部求出的梁，稱為靜定梁，主要有以下三種形式：1.簡支梁2.外伸梁3.懸臂梁

梁彎曲時橫截面上一般存在兩個內力素：剪力Q、彎矩M上一頁下一頁1.5.2內力——剪力和彎矩下一頁剪力與彎矩符號確定規(guī)則：上一頁下一頁根據變形確定內力符號剪力Q彎矩MQ>0Q<0M>0M<0左上右下左下右上下凹上凸上一頁下一頁

求圖示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的內力(剪力和彎矩)。例題1上一頁下一頁解(1)求反力(2)求內力上一頁下一頁推論：梁任意橫截面上的剪力，數值上等于該截面一側所有外力的代數和。梁任意截面上的彎矩，數值上等于該截面一側所有外力對該截面力矩的代數和。上一頁下一頁1.5.3剪力圖和彎矩圖

在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置的不同而變化。若以梁的軸線為x軸，坐標x表示橫截面的位置，則可將梁各橫截面上的剪力和彎矩表示為坐標x的函數，即剪力方程彎矩方程

根據這兩個方程，畫出剪力和彎矩沿梁軸線變化的圖線，這樣的圖形稱作剪力圖和彎矩圖。

利用剪力圖和彎矩圖很容易確定梁的最大剪力和最大彎矩，以及梁危險截面的位置。上一頁下一頁例2解上一頁下一頁例3解上一頁下一頁上一頁下一頁例4解上一頁下一頁例5解AB上一頁下一頁剪力圖和彎矩圖的規(guī)律

（1）若梁上某段無均布載荷，則剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。

（2）若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。

（4）若梁上有集中力偶，則在集中力偶作用處，剪力圖無變化，而彎矩圖有突變，突變值即為該處集中力偶的力偶矩。

（3）若梁上有集中力，則在集中力作用處，剪力圖有突變，突變值即為該處集中力的大小，彎矩圖在此處有轉折。

（5）在剪力Q=0的地方，彎矩取極值。上一頁下一頁載荷集度q(x)、剪力Q和彎矩M的微分關系上一頁下一頁一、試作出下圖所示梁的剪力圖和彎矩圖。小測驗上一頁下一頁純彎曲橫力彎曲1.5.4純彎曲時梁橫截面上的正應力

CD段各橫截面剪力為0，彎矩為常量，這種情況下的彎曲稱為純彎曲。

AC、DB兩段橫截面上既有剪力又有彎矩，稱為橫力彎曲。上一頁下一頁

在橫截面上，只有法向內力元素dN=σdA才能合成彎矩M，只有切向內力元素dQ=τdA才能合成剪力Q。

橫力彎曲時，梁橫截面上既有彎矩M，又有剪力Q。

橫力彎曲梁上既有正應力σ、又有剪應力τ橫力彎曲梁上的應力即上一頁下一頁分析純彎曲梁上的正應力應從三方面考慮變形幾何關系物理關系靜力學關系上一頁下一頁1.變形幾何關系觀察矩形截面梁純彎變形現象上一頁下一頁變形現象（1）所有縱向線(aa和bb)變成弧線(和)，靠近上部的縮短，下部伸長。

（2）所有橫向線(mm和nn)仍保持為直線，相對旋轉一定角度后，仍垂直于弧線(和)。假設一：彎曲變形的平面假設

變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的梁軸線。上一頁下一頁

根據實驗，還可作出縱向纖維之間互不擠壓的假設，得各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。

梁在彎曲變形時，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短，保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸假設二：縱向纖維互不擠壓假設上一頁下一頁中性層中性軸

建立Y、Z坐標系上一頁下一頁1212oobbdxyd

o

b

b

o

y

1221

取長為dx的一段梁，如左圖所示，o-o為中性層，bb為距中性層為y的縱向纖維。

變形后中性層的曲率半徑為

，相距為dx的兩橫截面夾角為d，如右圖所示。則的線應變?yōu)椋?/p>

對給定截面

為常數，反映彎曲的程度，上式表明橫截面上某點的縱向應變與該點到中性軸的距離成正比。上一頁下一頁2.物理關系

由于縱向纖維間無擠壓，可認為每一縱向纖維都只受到單向拉伸或壓縮。所以，其應力-應變關系服從胡克定律，即

上式表明橫截面上任一點的正應力與該點到中性軸的距離成正比，距中性軸等距的各點上正應力相等。

此時中性軸z的位置未定，曲率半徑也未定上一頁下一頁3.靜力學關系

純彎曲梁截面上只有法向內力元素σdA，整個截面上的法向內力元素構成一個空間平行力系。

梁純彎曲時橫截面上沒有軸向內力，這些內力元素的合力在x方向的分量為零，即

這里只有繞z軸的力矩M與繞z軸的外力偶矩m平衡，因此有上一頁下一頁Iz稱為橫截面對中性軸z的慣性矩上一頁下一頁中性軸過截面形心中性層的曲率公式：彎曲正應力計算公式：上一頁下一頁由正應力計算公式知橫截面上正應力分布如圖:

正應力沿截面高度線性分布，在中性軸上各點的應力為零，在中性軸兩側，一側受拉，一側受壓，離中性軸愈遠處的正應力愈大。上一頁下一頁橫截面上的最大正應力：當中性軸是橫截面的對稱軸時：Wz——抗彎截面模量上一頁下一頁極慣性矩上一頁下一頁解求圖示矩形對對稱軸y、z的慣性矩。

例6上一頁下一頁

求圖示圓平面對y、z軸的慣性矩。對于外徑為D，內徑為d的空心圓環(huán)形截面，其慣性矩為:例7解對于直徑為d的實心圓截面，其慣性矩為:上一頁下一頁簡單圖形的慣性矩和抗彎截面模量上一頁下一頁1.5.5彎曲正應力的強度條件上式是在平面假設和縱向纖維互不擠壓假設基礎上推導的，實驗證明在純彎曲情況下這是正確的。彈性力學精確分析結果指出：當梁的跨度大于梁的橫截面高度5倍(即l>5h)時，剪應力和擠壓應力對彎曲正應力的影響甚小，可以忽略不計。因此由純彎曲梁導出的正應力計算公式，仍可以應用于橫力彎曲的梁中。對于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。上一頁下一頁梁的正應力強度條件利用上式可以進行三方面的強度計算：①已知外力、截面形狀尺寸、許用應力，校核 梁的強度②已知外力、截面形狀、許用應力，設計梁的 截面尺寸③已知截面形狀尺寸、許用應力，求許可載荷上一頁下一頁

兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應力強度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？例題8解上一頁下一頁

圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應力［σ］=160MPa，試校核該梁的強度。

由彎矩圖可見故該梁滿足強度條件，安全解例題9上一頁下一頁

圖示鑄鐵梁，許用拉應力[σt]=30MPa，許用壓應力[σc]=60MPa，Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強度。例題10上一頁下一頁C截面：B截面：上一頁下一頁1.5.6梁的彎曲變形概述一、工程實踐中的彎曲變形問題

在工程實踐中，對某些受彎構件，除要求具有足夠的強度外，還要求彎曲變形不能過大，即要求構件有足夠的剛度，以保證結構或機器正常工作。搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至會出現廢品。

但在另外一些情況下，有時卻要求構件具有較大的彎曲變形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。上一頁下一頁1.撓曲線二、彎曲變形的基本概念撓曲線

梁在載荷作用下，由于彎曲而變形，使它的軸線變成平面曲線，變形后的梁軸線稱為撓曲線。上一頁下一頁2.撓度和轉角規(guī)定：向上的撓度為正逆時針的轉角為正撓曲線方程：轉角方程：撓曲線的曲率為上一頁下一頁3.梁的撓曲線近似微分方程式則上一頁下一頁梁的撓曲線近似微分方程:用積分法求梁的變形：式中，積分常數C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定，如上一頁下一頁三、疊加法求梁變形

彈性范圍內,梁的撓度和轉角與載荷成正比。當梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的變形是各自獨立的，互不影響。若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計算各個載荷單獨作用下的變形，然后疊加。上一頁下一頁四、彎曲的剛度條件剛度條件：

[v]、[θ]是構件的許可撓度和轉角，它們決定于構件正常工作時的要求。

梁的彎曲剛度主要用最大撓度和最大轉角來控制:上一頁下一頁

圖示工字鋼梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。試根據梁的剛度條件，確定梁的許可載荷[P]，并校核強度。例題11上一頁下一頁解：由剛度條件上一頁下一頁1.5.7提高梁彎曲強度和剛度的措施

影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的載荷和支承情況有關，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀、跨度有關。所以，要想提高彎曲強度和剛度，就應從上述各種因素入手。一、合理安排梁上的受力二、選擇合理的截面形狀上一頁下一頁一、合理安排梁上的受力上一頁下一頁二、選擇合理的截面形狀

大部分鋼