固體能帶理論總結(jié)

1復(fù)雜的多體問題大量離子和電子彼此相互作用組成系統(tǒng)簡化絕熱近似認(rèn)為離子與電子不交換能量多電子問題單電子問題量子力學(xué)處理晶體中電子問題的思路簡化自洽場法

考慮其余電子的平均場作用第1頁/共45頁多粒子系統(tǒng)多電子系統(tǒng)單電子系統(tǒng)即：每個(gè)電子在由正離子產(chǎn)生的和其他電子的平均電荷分布的勢(shì)場中運(yùn)動(dòng).1.絕熱近似：由于原子核質(zhì)量比電子的質(zhì)量大得多，電子的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于原子核的運(yùn)動(dòng)速度，即原子核的運(yùn)動(dòng)跟不上電子的運(yùn)動(dòng)。所以在考慮電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，認(rèn)為原子實(shí)不動(dòng)。2.單電子近似：一個(gè)電子在離子實(shí)和其它電子所形成的勢(shì)場中運(yùn)動(dòng)。又稱hartree-Fock自洽場近似。能帶理論基本假設(shè)第2頁/共45頁3.周期場近似：單電子近似的結(jié)果：周期性勢(shì)場（周期為一個(gè)晶格常數(shù)，平移對(duì)稱性）Schrodingereq.Bloch波:

在周期性勢(shì)場中運(yùn)動(dòng)的電子氣波函數(shù)由如下形式：其中u具有晶格的周期性，即原子實(shí)和電子所形成的勢(shì)場是周期性的。第3頁/共45頁布洛赫定理在晶格周期性勢(shì)場中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。布洛赫波函數(shù)具有如下特點(diǎn)：在此范圍內(nèi)k共有N個(gè)值(N為晶體原胞數(shù))。第4頁/共45頁由Bloch定理可得兩個(gè)重要結(jié)論：

〈1〉Bloch定理表明周期勢(shì)場中電子的本征函數(shù)有Bloch函數(shù)的形式，是一個(gè)被周期勢(shì)場調(diào)幅了的平面波，平面波的振幅具有周期勢(shì)場的周期性，這與自由電子的波函數(shù)不同，自由電子的波函數(shù)是一個(gè)平面波。

2〉Bloch波函數(shù)是周期勢(shì)場中電子的本征函數(shù)，這個(gè)波在晶體空間是自由（均勻）傳播的，既不隨時(shí)間和空間而衰減，也不會(huì)在傳播過程中突然改變形態(tài)，即不會(huì)由一個(gè)Bloch波變成另一個(gè)Bloch波。

第5頁/共45頁晶體中電子：自由電子：孤立原子：

如果晶體中電子的運(yùn)動(dòng)完全自由，

在晶體中運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，是兩者的組合。

由于晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被束縛在某個(gè)原子周圍，因此，其波函數(shù)就具有

的形式。周期函數(shù)反映了電子與晶格相互作用的強(qiáng)弱。

若電子完全被束縛在某個(gè)原子周圍，第6頁/共45頁Bloch函數(shù)中，行進(jìn)波因子描述晶體中電子的共有化運(yùn)動(dòng)，即電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)；而周期函數(shù)因子則描述電子的原子內(nèi)運(yùn)動(dòng)，取決于原子內(nèi)電子的勢(shì)場。

如果電子只有原子內(nèi)運(yùn)動(dòng)（孤立原子情況），電子

的能量取分立的能級(jí)；

晶體中的電子既有共有化運(yùn)動(dòng)也有原子內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因

此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量的允帶和禁帶

相間組成的能帶結(jié)構(gòu)。

若電子只有共有化運(yùn)動(dòng)（自由電子情況），電子的

能量連續(xù)取值（嚴(yán)格講電子能量應(yīng)是準(zhǔn)連續(xù)的）。第7頁/共45頁

電子能帶的形成是由于當(dāng)原子與原子結(jié)合成固體時(shí)，原子之間存在相互作用的結(jié)果，而并不取決于原子聚集在一起是晶態(tài)還是非晶態(tài)，即原子的排列是否具有平移對(duì)稱性并不是形成能帶的必要條件。

需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢(shì)場中推導(dǎo)出來的。但是，周期性勢(shì)場并不是電子具有能帶結(jié)構(gòu)的必要條件，在非晶固體中，電子同樣有能帶結(jié)構(gòu)。第8頁/共45頁1.模型：

假定周期場起伏較小，而電子的平均動(dòng)能比其勢(shì)能的絕對(duì)值大得多。作為零級(jí)近似，用勢(shì)能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作為微擾來處理。近自由電子近似2.勢(shì)場:。第9頁/共45頁3.波函數(shù)和能量第10頁/共45頁(1)在k=n

/a處(布里淵區(qū)邊界上），電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度為；(2)在k=n

/a附近，能帶底部電子能量與波矢的關(guān)系是向上彎曲的拋物線，能帶頂部是向下彎曲的拋物線；(3)在k遠(yuǎn)離n

/a處，電子的能量與自由電子的能量相近。利用以上特點(diǎn)，可以畫出近自由電子近似的能帶圖。4.結(jié)論:第11頁/共45頁Ek’(0)Ek(0)E－E＋TnTn由于周期場的微擾，E(k)函數(shù)在布里淵區(qū)邊界k=

n/a處出現(xiàn)不連續(xù)，能量的突變?yōu)椋悍Q為能隙，即禁帶寬度，這是周期場作用的結(jié)果。第12頁/共45頁電子能帶的三種圖示法(a)擴(kuò)展區(qū)圖：在不同的布里淵區(qū)畫出不同的能帶；(b)簡約區(qū)圖：將不同能帶平移適當(dāng)?shù)牡垢袷高M(jìn)入到第一布里淵區(qū)內(nèi)表示(在簡約布里淵區(qū)內(nèi)畫出所有能帶)；(c)周期區(qū)圖：在每一個(gè)布里淵區(qū)周期性地畫出所有能帶(強(qiáng)調(diào)任一特定的波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢來描述)。每個(gè)布里淵區(qū)中波矢k可取N個(gè)值，而能帶序號(hào)越小，能帶寬度越小，故能帶序號(hào)越小，能態(tài)密度越大。5.能帶圖第13頁/共45頁晶體中的電子在某個(gè)原子附近時(shí)主要受該原子勢(shì)場的作用，其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級(jí)近似。2.勢(shì)場緊束縛近似1.模型3.波函數(shù)4.能量表達(dá)式：5.能帶寬度：第14頁/共45頁從上式可以得到所謂的中心方程因此用一組代數(shù)方程取代了原來的微分方程。該方程組的方程數(shù)目巨大，看起來難以求解，但實(shí)際上常常只要解少數(shù)幾個(gè)就足夠了

將波函數(shù)和勢(shì)函數(shù)的傅里葉展開式代入波動(dòng)方程，得中心方程第15頁/共45頁能隙的起因第16頁/共45頁能隙的起因

對(duì)于一維點(diǎn)陣（點(diǎn)陣常數(shù)為a），電子的波函數(shù)若k遠(yuǎn)離Bz邊界時(shí)（即時(shí)），電子波不受

Bragg反射，從各原子散射的波沒有確定的位相關(guān)系，對(duì)入射波的傳播無什么影響，與x-ray在晶體中的傳播是相同的。第17頁/共45頁但當(dāng)時(shí)，如，此時(shí)平面波

滿足Bragg條件，波程差為2a，相位差為2π，從相鄰的原子反射的波有相同的位相，發(fā)生相長干涉，產(chǎn)生向反方向傳播的波，這個(gè)波同樣受到其近鄰原子的Bragg反射，再一次反向，這樣就形成了向相反方向傳播的兩列行進(jìn)波，平衡時(shí)兩波疊加形成駐波。第18頁/共45頁有兩種形態(tài)的駐波：

這是由自由電子的行波在Bz邊界上的Bragg反射而形成的，兩個(gè)駐波使電子聚積在不同的區(qū)域內(nèi)。

第19頁/共45頁第20頁/共45頁

∵ρ（+）這種分布時(shí)的能量低，

ρ（-）分布時(shí)能量高，電子的平均能量是不同的，沒有周期勢(shì)場的Ｅ-k曲線是一條拋物線，在有周期勢(shì)場存在時(shí)，在Bz邊界上分裂成兩個(gè)波函數(shù)，相應(yīng)的能量也分成兩個(gè)，一個(gè)E+、一個(gè)E-，可以證明，對(duì)的電子的能量與的電子的能量是不同的，這個(gè)能量差就是能隙，這個(gè)能隙就是所謂的禁帶。第21頁/共45頁準(zhǔn)經(jīng)典近似在外場作用下，電子如何運(yùn)動(dòng)？如何描述？用量子理論：不方便；經(jīng)典理論：困難.

準(zhǔn)經(jīng)典近似：描寫波的物理量與描寫粒子的量（速度、加速度、質(zhì)量間）的關(guān)系.一、k態(tài)電子的速度一維三維第22頁/共45頁證：波包—以為中心，波矢在范圍中的波函數(shù)迭加而成比線度小的多.所以可認(rèn)為波包的波函數(shù)：第23頁/共45頁第24頁/共45頁幾率：波包中心位置：波包運(yùn)動(dòng)速度：分量式：第25頁/共45頁二、動(dòng)量定理：定義電子準(zhǔn)動(dòng)量：則：第26頁/共45頁牛頓第二定律：電子有效質(zhì)量：證：其中第27頁/共45頁28運(yùn)動(dòng)方程

在時(shí)間間隔dt

內(nèi)電場對(duì)一個(gè)電子所作的功比較上述兩式，知由群速公式，得上式用合外力表示為第28頁/共45頁各向同性時(shí)：2.有效質(zhì)量是二級(jí)張量第29頁/共45頁3.帶頂有效質(zhì)量為負(fù)，帶底的有效質(zhì)量為正由能量曲線的開口方向可以得到解釋.時(shí)，電子從外場獲得的能量大于交給晶體的能量時(shí)，電子從外場獲得的能量小于交給晶體的能量電子吸收外場能量，使其波矢增加，當(dāng)增加到一定程度，在從外場中吸收了能量的電子的波矢量剛好滿足Bragge反射條件，使電子總的向前的動(dòng)量減少.—對(duì)應(yīng)于有效質(zhì)量為負(fù).第30頁/共45頁4.在同一能帶中有和必定有的點(diǎn)，該點(diǎn)此時(shí)電子不是不受外力影響第31頁/共45頁而是外場引起變化，而不隨變化例：對(duì)于簡立方，s電子的能帶表達(dá)式為：求：1.k態(tài)電子的速度2.能帶寬度3.用級(jí)數(shù)展開方法求帶頂、帶底的4.由有效質(zhì)量的定義求第32頁/共45頁解:（1）（2）能帶寬度（3）a.帶底第33頁/共45頁（4）由b.帶頂?shù)?4頁/共45頁底頂?shù)?5頁/共45頁金屬、半導(dǎo)體、絕緣體的能帶結(jié)構(gòu)空穴的概念固體能帶理論的主要貢獻(xiàn)在于它成功的解釋了物質(zhì)的導(dǎo)電機(jī)理，即說明了有的物質(zhì)為什么能導(dǎo)電，有的物質(zhì)為什么不導(dǎo)電.雖然同樣有大量的電子存在.一、幾個(gè)概念1.滿帶電子不導(dǎo)電第36頁/共45頁這證明k態(tài)電子與-k態(tài)的電子運(yùn)動(dòng)方向相反，大小相等.（1）無外場時(shí)，能帶完全被電子占滿，分布對(duì)稱，雖然每個(gè)電子均有電流,但總的效果為0,因?yàn)楸舜送耆窒?（2）有外場時(shí)，所有電子的波矢均向左移動(dòng)但這種移動(dòng)并未改變是電子的填充狀態(tài)，因?yàn)閺囊瞥龅碾娮訌狞c(diǎn)移進(jìn)來，整個(gè)能帶仍是滿的第37頁/共45頁在無外場時(shí)，電流為0，沒有外場作用時(shí)，電流不為0，無外場時(shí)，分布對(duì)稱，電流相互抵消.有外場時(shí)電子分布不對(duì)稱，有凈的剩余電流存在.2.不滿帶電子導(dǎo)電第38頁/共45頁二、用能帶理論解釋倒體、半導(dǎo)體、絕緣體1.導(dǎo)體能帶特點(diǎn)：能帶未被完全充滿，或能帶產(chǎn)生交迭(1).堿金屬：11電子組態(tài)：3s能帶未滿，因?yàn)樗扇菁{2N個(gè)電子.(2).堿金屬：各方向上的周期不一樣，能帶出現(xiàn)交迭，造成能帶實(shí)際不滿。禁帶消失第39頁/共45頁2.絕緣體：價(jià)電子剛好填滿整個(gè)價(jià)帶，而更高的許可帶與價(jià)帶之間存在著一個(gè)很大的禁帶，除非很強(qiáng)的電場，否則電子不會(huì)被激發(fā)到許可帶上去而導(dǎo)電。3.半導(dǎo)體能帶結(jié)構(gòu)基本上與絕緣體相似，只是禁帶較窄（一般在2.0eV以下）依靠熱激發(fā)就可以使電子躍遷到許可帶上去而導(dǎo)電.第40頁/共45頁41空穴

一個(gè)空穴在外加電場或磁場中的行為猶如它帶有正電荷+e，理由如下

1.定義：滿帶頂部附近的空狀態(tài)（如半導(dǎo)體中電子躍遷后留下的空位）第41頁/共45頁42

因?yàn)榻o定溫度下電子和空穴的濃度之乘積是一不依賴于雜質(zhì)濃度的常數(shù)，因此引入少量適當(dāng)?shù)碾s質(zhì)而使n

增大，那么必定會(huì)使p

較小該結(jié)果在實(shí)踐中很重要：通過有控制地引入適當(dāng)?shù)碾s質(zhì)，可以減少非純晶體內(nèi)的總載流子濃度n+p。第42頁/共45頁