空間向量及其線性運算

1.1.1空間向量及其線性運算1.理解空間向量的含義，能夠區(qū)別于平面向量，懂得一些特殊向量如零向量和單位向量。理解相等向量和相反向量，后續(xù)進一步理解共面向量和異面向量。加法、減法和數乘等線性法則、以及結合律和交換律等運算律，并通過空間幾何體加深對運算的理解。培養(yǎng)數形結合思想，發(fā)展數學抽象等核心素養(yǎng)。在滑翔過程中,飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，如拉力、風力、重力.國慶節(jié)期間，某游客從上海世博園（O）游覽結束后乘車到外灘（A）觀賞黃浦江，然后抵達東方明珠（B）游玩，如圖（1），游客的實際位移是什么？可以用什么數學概念來表示這個過程？OABD圖（2）問題1我們已經學習過平面向量的概念和線性運算，你能類比平面向量，給出空間向量的概念和線性運算嗎？追問(1)平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？平面向量的概念空間向量的概念

平面內，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長度或模，記作或|a|.

空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長度或模，記作或|a|.追問(2)如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空間向量的表示嗎？

平面向量的表示法空間向量的表示法

(1)有向線段(1)有向線段A(起點)B(終點)a(2)字母a，b，c，…(3)坐標表示：a＝(x，y)(2)字母a，b，c，…(3)坐標表示：a＝(x，y，z)acb印刷體：a手寫體：追問(3)從平面向量的概念出發(fā)，我們又學習了不少新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？零向量：單位向量：相等向量：相反向量：共線向量：模為0的向量，記作

0；零向量的方向任意；模為1的向量；模和方向都相同的兩個向量，記作a＝b；模相同，方向相反的兩個向量，記作a＝－b；零向量：單位向量：相等向量：相反向量：平面向量的相關概念空間向量的相關概念

共線向量：方向相同或相反的兩個非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.共線向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.空間向量的基礎概念

說明任意兩個空間向量都可以平移到同一平面內，成為同一平面內的兩向量.問題2

在學習完平面向量的相關概念以后，我們研究了平面向量的線性運算.你能類比平面向量，研究空間向量的線性運算嗎？追問(1)

平面向量的線性運算有哪些？我們如何研究這些運算？平面向量的線性運算有加法、減法和數乘運算.先研究它們的定義及運算法則，再研究它們的運算律.追問(2)

平面向量的加法、減法和數乘運算的定義及運算法則分別是什么？你能類比它們得出空間向量的加法、減法和數乘運算的定義及運算法則嗎？特點:共起點，連終點，指向被減1.向量加法三角形法則:特點:首尾順次連，起點指終點特點:同起點，對角連2.向量加法平行四邊形法則:3.向量減法三角形法則:AOB實數λ與平面向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；

若λ<0，λa與a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)數乘運算：

由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，

這樣任意兩個空間向量的運算就可以轉化為平面向量的運算．空間向量的線性運算轉化平面向量的線性運算空間向量的線性運算加法：(三角形法則，首尾接)(平行四邊形法則，同起點)減法：

(三角形法則，同起點/指向被減向量)數乘：(結果仍是一個向量)交換律：結合律：分配律：因為任意兩個空間向量都可平移到同一平面內，所以任意兩個空間向量的運算可以轉化為平面向量的運算.課本P5-1.舉出一些表示三個不同在一個平面內的向量的實例．生活中的例子，如墻角的三條棱所在的直線可用于表示三個不同在一個平面內的向量．ABCDEF第2題ABCD圖【拓展提升】空間向量的線性運算課本P5-2EF同起點的兩個平面向量的和向量為平行四邊形的對角線所在向量；同起點的三個空間向量的和向量為平行六面體的體對角線所在向量.ABCDEF(第4題)課本P5-4.如圖，已知四面體ABCD，E，F分別是BC，CD的中點，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結果的向量.【考查要點】空間向量的加法法則(平行