《實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程》 省賽獲獎(jiǎng)

1.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟:(1)“設(shè)”，即設(shè)________，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種；(2)“列”，即根據(jù)題中________關(guān)系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的_________；(4)“檢驗(yàn)”，即驗(yàn)證是否符合題意；(5)“答”，即回答題目中要解決的問(wèn)題。未知相等解

（一）復(fù)習(xí)鞏固自主探究1問(wèn)題：有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？分析：1.設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，那么患流感的這一個(gè)人在第一輪中傳染了___人，第一輪后共有_____人患了流感：2.第二輪傳染中，這些人中的每個(gè)人又傳染了_______人，第二輪后共有_______人患了流感。則：列方程

，解得

即平均一個(gè)人傳染了

個(gè)人。再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？(1+x)

xx(1+x)(1+x)2(1+x)2

(1+x)2＝121x＝10或－12（舍去）(1+10)3＝133110自我嘗試：1.某種細(xì)菌，一個(gè)細(xì)菌經(jīng)過(guò)兩輪繁殖后，共有256個(gè)細(xì)菌，每輪繁殖中平均一個(gè)細(xì)菌繁殖了多少個(gè)細(xì)菌？解：設(shè)每輪繁殖中平均一個(gè)細(xì)菌繁殖了x個(gè)細(xì)菌，根據(jù)題意得(1+x)2＝256，解得x＝15或－17（舍去）自主探究21.問(wèn)題（1）兩年前甲種藥品的成本是5000元，現(xiàn)在的成本是3000元，那么該藥的平均下降額度為

____

_____。

（2）兩年前甲種藥品的成本是6000元，現(xiàn)在的成本是3600元，那么該藥的平均下降額度為

___

__

____

。

（3）如果今年成本為5000元，設(shè)下降率為x，那么明年年成本為

，后年成本為

，

n年后成本為_(kāi)_________

_______

。（4）兩年前甲種藥品的成本是5000元，現(xiàn)在的成本是3000元，那么該藥成本的平均下降率是多少？（5）算一算：甲種藥品成本的年平均下降率是多少?(5000-3000)÷2=1000(元)

(6000-3600)÷2=1200(元)5000(1-x)元5000(1

-x)2元

5000(1-x)n元

解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，依題意得

5000(1-x)2=3000

解方程，得x1≈22.5%或x2≈177.5%（不符題意，舍去）若平均增長(zhǎng)(或降低)百分率為x，增長(zhǎng)(或降低)前的是a，增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b，則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(其中增長(zhǎng)取+，降低取-)歸納小結(jié)：自我嘗試：

（1）某鄉(xiāng)無(wú)公害蔬菜的產(chǎn)量在兩年內(nèi)從20噸增加到35噸。設(shè)這兩年無(wú)公害蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，列出方程為

______________。（2）某電視機(jī)廠2010年生產(chǎn)一種彩色電視機(jī)，每臺(tái)成本

3000元，由于該廠不斷進(jìn)行技術(shù)革新，連續(xù)兩年降低成本，至2012年這種彩電每臺(tái)成本僅為1920元，設(shè)平均每年降低成本的百分?jǐn)?shù)為x，可列方程_________________（3）某經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，第一季度總產(chǎn)值175億元，設(shè)二月、三月平均每月增長(zhǎng)的百分率為x，根據(jù)題意得方程為

______________________________

20(1+x)2＝353000(1－x)2＝192050+50(1+x)+50(1+x)2＝175自主探究31.面積公式回顧（1）直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？

（2）正方形的面積公式是什么呢？長(zhǎng)方形的面積公式又是什么？

（3）梯形的面積公式是什么？

（4）菱形的面積公式是什么？

（5）平行四邊形的面積公式是什么？

（6）圓的面積公式是什么？2．小組合作探究題：如圖，要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面，封面長(zhǎng)27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？思考：（1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？（2）如何理解“正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？分析：依據(jù)題意知：中央矩形的長(zhǎng)寬之比等于封面的長(zhǎng)寬之比＝9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為

cm，則左、右邊襯的寬均為

cm，依題意，得：中央矩形的長(zhǎng)為

cm，寬為

cm。9x7x（27-18x）（21-14x）如圖，要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面，封面長(zhǎng)27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？解：依據(jù)題意知：中央矩形的長(zhǎng)寬之比等于封面的長(zhǎng)寬之比＝9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長(zhǎng)為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm．因?yàn)樗闹艿牟噬呉r所點(diǎn)面積是封面面積的

，則中央矩形的面積是封面面積的

。

所以（27-18x）（21-14x）=×27×21整理，得：16x2-48x+9=0，解方程，得：x=，

x1≈2.8cm，x2≈0.2

所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm

因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm。如圖所示，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為40米,寬為26米的矩形場(chǎng)地

上修建三條同樣寬的甬路，使其中兩條與AB平行，另一條與AB垂直，其余部分種草，若使每一塊草坪的面積都為144米2，求甬路的寬度?解:可設(shè)甬路寬為x米,依題意,得解得(不合題意,舍去)。答:甬路的寬度為2米。自我嘗試自主探究4將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè).已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，問(wèn)為了賺得8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？解：設(shè)商品的單價(jià)是（50+x）元，則每個(gè)商品的利潤(rùn)是[（50+x）-40]元，銷售量是（500-10x）個(gè)。由題意列方程為

整理，得

解方程，得

自主探究4將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè).已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，問(wèn)為了賺得8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？故商品的的單價(jià)可定為50+10=60元或50+30=80元。當(dāng)商品每個(gè)單價(jià)為60元時(shí)，其進(jìn)貨量只能是500-10×10=400個(gè)，當(dāng)商品每個(gè)單價(jià)為80元時(shí)，其進(jìn)貨量只能是500-10×30=200個(gè)。答：售價(jià)定為60元時(shí)，進(jìn)貨是400個(gè)，售價(jià)定為80元時(shí)，進(jìn)貨是200個(gè)。自我嘗試：某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，若每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對(duì)這種水產(chǎn)品情況，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算銷售量和月銷售利潤(rùn)。（2）商品想在月銷售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少?解：（1）銷售量：500-5×10=450（kg）；銷售利潤(rùn)：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）由于水產(chǎn)品不超過(guò)10000÷40=250kg，定價(jià)為x元，則（x-400）[500-10（x-5