華師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 勾股定理單元測(cè)試 含答案

華師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)勾股定理單元測(cè)試含答案第頁(yè)勾股定理一、單項(xiàng)選擇題〔共8題；共17分〕1.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折疊紙片使DA與對(duì)角線DB重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，折痕為DE，那么A′G的長(zhǎng)是

A.

1

B.

C.

D.

2【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，∴。

由折疊的性質(zhì)可得，△ADG≌△A'DG，∴A'D=AD=3，A'G=AG。∴。

設(shè)AG=x，那么A'G=AG=x，BG=，

在Rt△A'BG中，，解得x=，即AG=。

應(yīng)選C。2.如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=9，AF平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AF于點(diǎn)G，BG=4，EF=AE，那么△CEF的周長(zhǎng)為〔

〕．

A.

8

B.

10

C.

14

D.

16【答案】A【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，∠BAF=∠DFA，∠DAF=∠CEF，

∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∴∠BAF=∠DAF，

∴∠CEF=∠CFE，∠BAE=∠AEB，

∴EC=FC，AB=BE=6，

∵AD=BC=9，

∴EC=FC=3，

∵BG=4，AB=6，

∴AG=2，

∵AB=BE，BG⊥AE，

∴EG=2，

∵EF=AE，

∴EF=2，

∴△CEF的周長(zhǎng)為：EC+FC+EF=8．

故答案為：8．故答案為：A

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得到，兩組對(duì)邊平行且相等；由角平分線的性質(zhì)，得到等腰三角形，得到EC=FC，AB=BE的值，由AD=BC的值，求出EC=FC的值，再根據(jù)勾股定理求出AG的值，根據(jù)三線合一求出EG的值，求出△CEF的周長(zhǎng).3.如圖，正方形ABCD的面積為1，那么以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊正方形EFGH的周長(zhǎng)為〔

〕

A.

B.

2

C.

+1

D.

2+1【答案】B【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面積為1，

∴BC=CD==1，∠BCD=90°，

∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，

∴CE=BC=，CF=CD=，

∴CE=CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EF=CE=，

∴正方形EFGH的周長(zhǎng)=4EF=4×=2；

故答案為：B．

【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積，求出邊長(zhǎng)，由E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)，得到△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出EF的值，得到正方形EFGH的周長(zhǎng).4.如圖，在4×3的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，A，B兩點(diǎn)為格點(diǎn)〔網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)〕，假設(shè)C也為該網(wǎng)格中的格點(diǎn)，且△ABC為等腰直角三角形，那么格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為〔

〕

A.

5

B.

6

C.

3

D.

4【答案】B【解析】【解答】解：如圖：故6個(gè)．

【分析】根據(jù)題意和勾股定理得到格點(diǎn)C的個(gè)數(shù).5.如下列圖的一塊地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積S為〔

〕cm2．

A.

54

B.

108

C.

216

D.

270【答案】C【解析】【解答】解：連接AC，

那么在Rt△ADC中，

AC2=CD2+AD2=122+92=225，

∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，

AC2+BC2=152+362=1521，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴S△ABC﹣S△ACD=AC?BC﹣AD?CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．

答：這塊地的面積是216平方米．

故答案為：C。

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理，得到△ACB是直角三角形，由三角形的面積公式求出這塊地的面積.6.如下列圖，是一圓柱體，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=10，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱外表爬行到對(duì)角C處去捕食，那么它爬行最短路徑是〔〕〔此題π取3〕．

A.

13

B.

3

C.

D.

2【答案】A【解析】【解答】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為線段AC的長(zhǎng)．

在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長(zhǎng)，AD=5π=15，

所以AC=

此時(shí)考慮一種情況就是螞蟻在圓柱體上方走直徑這一情況：即路程為=3+10=13

∵13＜3

∴最短路徑為13．

應(yīng)選A．

【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．7.如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=6，OB=8，OC=10，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，以下結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為8；③S四邊形AOBO′=24+12；④S△AOC+S△AOB=24+9；⑤S△ABC=36+25；其中正確的結(jié)論有〔

〕

A.

1個(gè)

B.

2個(gè)

C.

3個(gè)

D.

4個(gè)【答案】D【解析】【解答】①∵△ABC為正三角形，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，

∴∠OBO′=∠ABC=60°，OB=O′B，AB=BC，

即∠1+∠2=∠2+∠3=60°，

∴∠1=∠3，

在△BO′A和△BOC中，

，

∴△BO′A≌△BOC，

又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；

故①正確；

②如圖1：連接OO′，

∵將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，

∴∠OBO′=60°，OB=O′B，

∴△OBO′為正三角形，

又∵OB=8，

∴OO′=8；

故②正確；

③由①知△BO′A≌△BOC，

∵OC=10，

∴AO′=CO=10，

∴AO′2=AO2+OO′2，

∴△AOO′為直角三角形，

∴S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△BOO′=×6×8+×8×4=24+16；

故③錯(cuò)誤；

④如圖2，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O′′，

∴∠OAO′′=60°，OA=O′′A，OB=O′′C，

∵OA=6，

∴△AOO′′是邊長(zhǎng)為6的正三角形，

又∵OB=8，OC=10，

∴O′′C=8，

∴OC2=OO′′2+O′′C2，

∴△COO′′為直角三角形，

∴S△AOC+S△AOB=S△AOC+S△AO′′C=S△O′′OC+S△AO′′O=×6×8+×6×3=24+9，

故④正確；

⑤S△AOB=×6×8×=12，

∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=S△AOB+S△ABO′+S△AOC=S△AOO′+S△BOO′+S△O′′OC+S△AO′′O-S△AOB=24+16+24+9-12=36+25；

故⑤正確；

綜上所述正確的結(jié)論有：①②④⑤.

故答案為：D.

【分析】①由正三角形和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OBO′=∠ABC=60°，OB=O′B，AB=BC，等量代換得∠1=∠3，根據(jù)SAS得△BO′A≌△BOC，從而得①正確；

②如圖1：連接OO′，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OBO′=60°，OB=O′B，根據(jù)等邊三角形的判定得△OBO′為正三角形，從而得②正確；

③由①知△BO′A≌△BOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AO′=CO=10，再由勾股定理逆定理得△AOO′為直角三角形，根據(jù)S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△BOO′

得③正確；

④如圖2，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O′′，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠OAO′′=60°，OA=O′′A，OB=O′′C，根據(jù)等邊三角形的判定得△AOO′′是邊長(zhǎng)為6的正三角形，再由勾股定理逆定理得△COO′′為直角三角形，根據(jù)S△AOC+S△AOB=S△AOC+S△AO′′C=S△O′′OC+S△AO′′O得④正確；

⑤由S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=S△AOB+S△ABO′+S△AOC=S△AOO′+S△BOO′+S△O′′OC+S△AO′′O-S△AOB得⑤正確；8.以下結(jié)淪中，錯(cuò)誤的有〔〕

①Rt△ABC中，兩邊分別為3和4，那么第三邊的長(zhǎng)為5；

②三角形的三邊分別為a、b、c，假設(shè)a2+b2=c2，那么∠A=90°；

③假設(shè)△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，那么這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形；

④假設(shè)〔x﹣y〕2+M=〔x+y〕2成立，那么M=4xy．A.

0個(gè)

B.

1個(gè)

C.

2個(gè)

D.

3個(gè)【答案】C【解析】解答：①分兩種情況討論：當(dāng)3和4為直角邊時(shí)，斜邊為5；當(dāng)4為斜邊時(shí)，另一直角邊是，所以錯(cuò)誤；

②三角形的三邊分別為a、b、c，假設(shè)a2+b2=c2，應(yīng)∠C=90°，所以錯(cuò)誤；

③最大角∠C=×6=90°，這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形，正確；

④假設(shè)〔x﹣y〕2+M=〔x+y〕2成立，那么M=〔x+y〕2﹣〔x﹣y〕2=4xy，正確．

應(yīng)選C

分析：根據(jù)勾股定理以及逆定理即可解答，此題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．勾股定理的逆定理：假設(shè)三角形三邊滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形二、填空題〔共13題；共13分〕9.在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形〔如下列圖〕．斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，那么S1+S2+S3+S4=________．

【答案】4【解析】【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠BAC=∠EBD，

∴△ABC≌△BDE〔AAS〕，

∴BC=ED，

∵AB2=AC2+BC2，

∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，

即S1+S2=1，

同理S3+S4=3．

那么S1+S2+S3+S4=1+3=4．

故答案為：4．

【分析】根據(jù)圖形和正方形的性質(zhì)，由AAS得到△ABC≌△BDE，得到對(duì)應(yīng)邊BC=ED，根據(jù)勾股定理得到S1+S2+S3+S4的值.10.：如圖，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，那么BC的長(zhǎng)為________．

【答案】3【解析】【解答】解：因?yàn)椤鰽BD中,∠ABD=90°,∠DAB=30°

所以BD=AD又AD=12

所以BD=6那么AB=6

因?yàn)椤螩=90°，所以三角形ABC是直角三角形

在直角三角形ABC中,AC=BC

AB=6

所以=54，那么BC=3

【分析】根據(jù)在直角三角形中，30度角所對(duì)的邊是斜邊的一半；求出BD的值，根據(jù)勾股定理求出AB的值；再由勾股定理求出BC的值.11.如圖，沿折痕AE折疊矩形ABCD的一邊，使點(diǎn)D落在BC邊上一點(diǎn)F處．假設(shè)AB=8，且△ABF的面積為24，那么EC的長(zhǎng)為________．

【答案】3【解析】【解答】解：∵AB=8，S△ABF=24

∴BF=6．

∵在Rt△ABF中，AF==10，

∴AD=AF=BC=10

∴CF=10﹣6=4

設(shè)EC=x，那么EF=DE=8﹣x．

在Rt△ECF中，EF2=CF2+CE2，即〔8﹣x〕2=x2+42，解得，x=3．

∴CE=3．

故答案為：3．

【分析】根據(jù)三角形的面積，得到BF的值，再根據(jù)勾股定理和折疊的性質(zhì)，求出AD=AF=BC的值，得到CF的值，由矩形的性質(zhì)和勾股定理，求出EC的長(zhǎng).12.如圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重疊情形，其中D、E兩點(diǎn)分別在AB、BC上，且BD=BE．假設(shè)AC=18，GF=6，那么F點(diǎn)到AC的距離為________．

【答案】【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，交GF于K，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=60°，

∵BD=BE，

∴△BDE是等邊三角形，

∴∠BDE=60°，

∴∠A=∠BDE，

∴AC∥DE，

∵四邊形DEFG是正方形，GF=6，

∴DE∥GF，

∴AC∥DE∥GF，

∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，

∴F點(diǎn)到AC的距離為6﹣6．

故答案為：6﹣6．

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和BD=BE，得到△BDE是等邊三角形，得到AC∥DE，由正方形的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一，求出KH的值，得到F點(diǎn)到AC的距離是KH的值.13.△ABC中，AD是BC邊上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，那么△PQR周長(zhǎng)的最小值為________．【答案】【解析】【解答】如圖1中，作P點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P′，作P點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P″，連接P′P″，與AB交于點(diǎn)Q′，與AC交于點(diǎn)R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，

此時(shí)△PQ′R′的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小值=P′P″，

∵PM=MP′，PN=NP″，

∴P′P″=2MN，

∴當(dāng)MN最小時(shí)P′P″最?。鐖D2中，

∵∠AMP=∠ANP=90°，

∴A、M、P、N四點(diǎn)共圓，線段AP就是圓的直徑，MN是弦，

∵∠MAN是定值，

∴直徑AP最小時(shí)，弦MN最小，

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PA最小，此時(shí)MN最?。?/p>

如圖3中，

∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，

∴AB=，在RT△ADC中，

∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，

∴AC=，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴?AC?DN=?DC?AD，

∴DN=，AN=，

∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，

∴△AMD∽△ADB，∴，

∴=AM?AB，同理=AN?AC，

∴AM?AB=AN?AC，

∴，

∵∠MAN=∠CAB，∴△AMN∽△ACB，

∴，

∴，

∴MN=，

∴△PQR周長(zhǎng)的最小值=P′P″=2MN=．

故答案為：．

【分析】如圖1中，作P點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P′，作P點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P″，連接P′P″，與AB交于點(diǎn)Q′，與AC交于點(diǎn)R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，此時(shí)△PQ′R′的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小值=P′P″，然后證出P′P″=2MN，當(dāng)MN最小時(shí)P′P″最小．如圖2中，根據(jù)圓周角定理得出A、M、P、N四點(diǎn)共圓，線段AP就是圓的直徑，MN是弦，又由于∠MAN是定值，故直徑AP最小時(shí)，弦MN最小，從而知道當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PA最小，此時(shí)MN最小，如圖3中，首先根據(jù)勾股定理得出AB,AC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)面積法得出DN長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理算出AN的長(zhǎng)，進(jìn)而判斷出△AMD∽△ADB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AD2=AM?AB，同理AD2=AN?AC，故AM?AB=AN?AC，從而再判斷出△AMN∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出MN的長(zhǎng)，從而得出答案。14.如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)，假設(shè)，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為________．

【答案】【解析】【解答】解：

∵反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,12)，

∴k=12×5=60，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=，

設(shè)D(m,)，

由題可得OA的解析式為y=x,又AO∥BC，

∴可設(shè)BC的解析式為y=x+b，

把D(m,)代入,可得m+b=，

∴b=?m，

∴BC的解析式為y=x+-m

令y=0,那么x=m?,即OC=m?，

∴平行四邊形ABCO中,AB=m?，

如下列圖,過(guò)D作DE⊥AB于E,過(guò)A作AF⊥OC于F,那么△DEB∽△AFO，

∴DB∶DE=AO∶AF,而AF=12,DE=12?,OA=13,

∴DB=13?

∵AB=DB，

∴m?=13?，

解得m1=5,m2=8，

又∵D在A的右側(cè)，即m>5，

∴m=8，

∴D的坐標(biāo)為(8).

故答案為：(8,).

【分析】用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式為y=，再設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)D(m,)用待定系數(shù)法求出OA的解析式，根據(jù)OA∥BC，進(jìn)而設(shè)出BC的解析式為y=x+b，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入可以表示出b=?m，進(jìn)而BC的解析式為y=x+-m，令y=0,那么x=m?,即OC=m?，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等得出AB=m?，如下列圖,過(guò)D作DE⊥AB于E,過(guò)A作AF⊥OC于F,那么△DEB∽△AFO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出DB∶DE=AO∶AF,而AF=12,DE=12?,OA=13,進(jìn)而得出DB=13?，根據(jù)AB=DB，列出關(guān)于m的方程，求解得出m的值，根據(jù)D在A的右側(cè)，即m>5，得出D點(diǎn)的坐標(biāo)。15.圖，正方形ABCD，M是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)B作BE⊥DM于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)F，過(guò)F作FG∥BC交BD于點(diǎn)G，連接GM，假設(shè)S△EFD=DF2，AB=4，那么GM=________．

【答案】8〔﹣1〕【解析】【解答】解：如圖，作EH⊥CD于H，CN⊥DM于N，NK⊥CD于K．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCF=∠DCM=90°，BC=DC，

∵BE⊥DM，

∴∠BEM=90°，

∴∠CBF+∠BME=90°，∠BME+∠CDM=90°，

∴∠CBF=∠CDM，

∴△BCF≌△DCM，

∴BF=DM，CF=CM，

∴∠FMB=∠GBM=45°，

∵FG∥BM，

∴四邊形BMFG是等腰梯形，

∴GM=BF=DM，

∵S△DEF=?DF?EH=DF2，

∴EH=DF，即DF=4EH，

∵△DEF∽△DNC∽△DCM，

∴CD=4NK，DM=4CN，

∵AB=CD=4，

∴NK=，設(shè)CK=x，那么DK=4﹣x，

∵△DKN∽△NKC，

∴NK2=DK?KC，

∴2=x〔4﹣x〕，

∴x=2﹣或2+〔舍棄〕，

在Rt△CKN中，CN===2〔﹣1〕，

∴GM=DM=4CN=8〔﹣1〕．

故答案為8〔﹣1〕．

【分析】如圖，作EH⊥CD于H，CN⊥DM于N，NK⊥CD于K．首先證明△BCF≌△DCM，推出BF=DM，CF=CM，四邊形BMFG是等腰梯形，進(jìn)一步推出GM=BF=DM，由三角形的面積推出EH=DF,即DF=4EH，由△DEF∽△DNC∽△DCM，可得CD=4NK，DM=4CN，由△DKN∽△NKC，得出NK2=DK?KC，從而得出方程求解，然后根據(jù)勾股定理得出CN,從而得出答案。16.如圖，正方形ABCD，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，且∠EOF=90°，那么以下結(jié)論①AE=BF，②OE=OF，③BE+BF=AD，④AE2+CF2=2OE2中正確的有________〔只寫序號(hào)〕

【答案】①②③④【解析】【解答】解：如圖延長(zhǎng)FO交AD于H，連接EH．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=AD，OA=OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，

∴∠EOF=∠BOC=90°，

∴∠EOB=∠FOC，

在△EOB和△FOC中，

，

∴△EOB≌△FOC，

∴BE=CF，OE=OF，

∵AB=BC，

∴AE=BF，

∴BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正確，

在△AOH和△COF中，

，

∴△AOH≌△COF，

∴AH=CF，OH=OE=OF，

∴△EOH是等腰直角三角形，

∴EH=OE，

在Rt△AEH中，

AE2+AH2=EH2，

∴AE2+CF2=2OE2，故④正確．

故答案為①②③④．

【分析】如圖延長(zhǎng)FO交AD于H，連接EH．首先證明△EOB≌△FOC，推出BE=CF，OE=OF，由AB=BC，推出AE=BF，BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正確，再證明△AOH≌△COF，推出AH=CF，OH=OE=OF，推出△EOH是等腰直角三角形，推出EH=OE，在Rt△AEH中，根據(jù)AE2+AH2=EH2，推出AE2+CF2=2OE2，故④正確．17.如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，∠EAF=60°，連接EF，那么△AEF的面積最小值是________．

【答案】【解析】【解答】當(dāng)AE⊥BC時(shí)，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

∴∠B=∠ACF=60°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，

∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，

∴∠AEB=∠AFC，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF〔AAS〕，

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∵當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AB=4，

∴AE=2，

∴△AEF的面積最小值=.

【分析】由△AEF的面積的最小值和菱形的性質(zhì)，得到當(dāng)AE⊥BC，△ABC是等邊三角形時(shí)，得到△ABE≌△ACF，得到對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等，得到△AEF是等邊三角形，得到AE的最小值，求出△AEF的面積最小值.18.如圖，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD、△ACE、△BCF都是等邊三角形，那么四邊形AEFD的面積S=________．

【答案】30【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，

∴BC2=AB2+AC2，

∴∠BAC=90°，

∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，

∴∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAE=150°．

∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，

∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，

∴∠DBF=∠ABC．

在△ABC與△DBF中，

∴△ABC≌△DBF〔SAS〕，

∴AC=DF=AE=12，

同理可證△ABC≌△EFC，

∴AB=EF=AD=5，

∴四邊形DAEF是平行四邊形〔兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形〕．

∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，

∴S?AEFD=AD?〔DF?sin30°〕=5×〔12×〕=30，

即四邊形AEFD的面積是30，

故答案為：30．

【分析】在△ABC中，由勾股定理逆定理得出∠BAC=90°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DAB=∠EAC=60°，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，由等量代換

得出∠DBF=∠ABC；再由全等三角形的判定SAS得出△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=DF=AE=12，AB=EF=AD=5，由平行四邊形的判定得出四邊形DAEF是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，從而求出四邊形AEFD的面積.19.〔2023?阿壩州〕如圖，拋物線的頂點(diǎn)為P〔﹣2，2〕，與y軸交于點(diǎn)A〔0，3〕．假設(shè)平移該拋物線使其頂點(diǎn)P沿直線移動(dòng)到點(diǎn)P′〔2，﹣2〕，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，那么拋物線上PA段掃過(guò)的區(qū)域〔陰影局部〕的面積為________．

【答案】12【解析】【解答】連接AP，A′P′，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PP′于點(diǎn)D，

由題意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，

∴四邊形APP′A′是平行四邊形，

∵拋物線的頂點(diǎn)為P〔﹣2，2〕，與y軸交于點(diǎn)A〔0，3〕，平移該拋物線使其頂點(diǎn)P沿直線移動(dòng)到點(diǎn)P′〔2，﹣2〕，

∴PO==2，∠AOP=45°，

又∵AD⊥OP，

∴△ADO是等腰直角三角形，

∴PP′=2×2=4，

∴AD=DO=sin45°?OA=×3=，

∴拋物線上PA段掃過(guò)的區(qū)域〔陰影局部〕的面積為：4×=12．

故答案為：12．

【分析】連接AP，A′P′，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PP′于點(diǎn)D，由平移性質(zhì)可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，再根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形APP′A′是平行四邊形，由平移性質(zhì)得出P′〔2，﹣2〕，根據(jù)勾股定理得出PO=2，∠AOP=45°，從而得出△ADO是等腰直角三角形；從而得出PP′=4，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AD=DO=，從而得出陰影局部的面積.20.〔2023?陜西〕如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC．假設(shè)AC=6，那么四邊形ABCD的面積為________．

【答案】18【解析】【解答】如圖，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；

∵∠BAD=∠BCD=90°

∴四邊形AMCN為矩形，∠MAN=90°；

∵∠BAD=90°，

∴∠BAM=∠DAN；

在△ABM與△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN〔AAS〕，

∴AM=AN〔設(shè)為λ〕；△ABM與△ADN的面積相等；

∴四邊形ABCD的面積=正方形AMCN的面積；

由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；

∴2λ2=36，λ2=18，

故答案為：18．

【分析】作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；由條件可以判斷出四邊形AMCN為矩形；根據(jù)矩形的性質(zhì)和條件可以證明△ABM≌△ADN〔AAS〕；由全等三角形的性質(zhì)得出AM=AN〔設(shè)為λ〕；從而得出四邊形ABCD的面積=正方形AMCN的面積；由勾股定理

AC2=AM2+MC2得出λ2=18.21.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，當(dāng)A'E⊥AC時(shí)，A'B=________．【答案】或7【解析】【解答】解：分兩種情況：①如圖1，過(guò)D作DG⊥BC與G，交A′E與F，過(guò)B作BH⊥A′E與H，

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴BD=AB=AD，

∵∠C=90，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴BD=AD=5，

sin∠ABC=，

∴，

∴DG=4，

由翻折得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，

∴sin∠DA′E=sin∠A=，

∴，

∴DF=3，

∴FG=4﹣3=1，

∵A′E⊥AC，BC⊥AC，

∴A′E∥BC，

∴∠HFG+∠DGB=180°，

∵∠DGB=90°，

∴∠HFG=90°，

∵∠EHB=90°，

∴四邊形HFGB是矩形，

∴BH=FG=1，

同理得：A′E=AE=8﹣1=7，

∴A′H=A′E﹣EH=7﹣6=1，

在Rt△AHB中，由勾股定理得：A′B==；

②如圖2，過(guò)D作MN∥AC，交BC與于N，過(guò)A′作A′F∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于F，延長(zhǎng)A′E交直線DN于M，

∵A′E⊥AC，

∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F，

∴∠M=∠MA′F=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠F=∠ACB=90°，

∴四邊形MA′FN是矩形，

∴MN=A′F，F(xiàn)N=A′M，

由翻折得：A′D=AD=5，

Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4，

∴FN=A′M=4，

Rt△BDN中，∵BD=5，

∴DN=4，BN=3，

∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，

BF=BN+FN=3+4=7，

Rt△ABF中，由勾股定理得：A′B==7；

綜上所述，A′B的長(zhǎng)為或7．

故答案為：或7．

【分析】分兩種情況：

①如圖1，作輔助線，構(gòu)建矩形，先由勾股定理求斜邊AB=10，由中點(diǎn)的定義求出AD和BD的長(zhǎng)，證明四邊形HFGB是矩形，根據(jù)同角的三角函數(shù)列式可以求DG和DF的長(zhǎng)，并由翻折的性質(zhì)得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，由矩形性質(zhì)和勾股定理可以得出結(jié)論：A′B=；②如圖2，作輔助線，構(gòu)建矩形A′MNF，同理可以求出A′B的長(zhǎng)．三、解答題〔共2題；共20分〕22.如下列圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線CD上一點(diǎn)，射線ED和射線AF交于點(diǎn)G，且∠AGE=∠DAB．〔1〕求線段CD的長(zhǎng)；〔2〕如果△AEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長(zhǎng)；〔3〕如果點(diǎn)F在邊CD上〔不與點(diǎn)C、D重合〕，設(shè)AE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．

【答案】〔1〕解：〔1〕作DH⊥AB于H，如圖1，

易得四邊形BCDH為矩形，

∴DH=BC=12，CD=BH，

在Rt△ADH中，AH=，

∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，

∴CD=7；

〔2〕當(dāng)EA=EG時(shí)，那么∠AGE=∠GAE，

∵∠AGE=∠DAB，

∴∠GAE=∠DAB，

∴G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即ED=EA，

作EM⊥AD于M，如圖1，那么AM=AD=，

∵∠MAE=∠HAD，

∴Rt△AME∽R(shí)t△AHD，

∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；

當(dāng)GA=GE時(shí)，那么∠AGE=∠AEG，

∵∠AGE=∠DAB，

而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，

∴∠GAE=∠ADG，

∴∠AEG=∠ADG，

∴AE=AD=15，

綜上所述，△AEC是以EG為腰的等腰三角形時(shí)，線段AE的長(zhǎng)為或15；

〔3〕作DH⊥AB于H，如圖2，那么AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，

在Rt△ADE中，DE==，

∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，

∴△EAG∽△EDA，

∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，

∴EG=，

∴DG=DE﹣EG=﹣，

∵DF∥AE，

∴△DGF∽△EGA，

∴DF：AE=DG：EG，即y：x=〔﹣〕：，

∴y=〔9＜x＜〕．【解析】【分析】〔1〕作DH⊥AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，那么DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理計(jì)算出AH，從而得到BH和CD的長(zhǎng)；〔2〕分類討論：當(dāng)EA=EG時(shí)，那么∠AGE=∠GAE，那么判斷G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如圖1，那么AM=AD=，通過(guò)證明Rt△AME∽R(shí)t△AHD，利用相似比可計(jì)算出此時(shí)的AE長(zhǎng)；當(dāng)GA=GE時(shí)，那么∠AGE=∠AEG，可證明AE=AD=15，〔3〕作DH⊥AB于H，如圖2，那么AH=9，HE=AE﹣A