新人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第二章3圓與圓的位置關系培優(yōu)練習題

2．5.2圓與圓的位置關系學習指導核心素養(yǎng)1.能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關系．2．能用圓和圓的方程解決一些簡單的問題，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．1.邏輯推理、數(shù)學運算：圓與圓的位置關系的判斷．2．直觀想象、數(shù)學運算：兩圓相交及相切的問題．知識點圓與圓的位置關系1．代數(shù)法通過兩圓方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)進行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交；,Δ＝0?內(nèi)切或外切；,Δ＜0?內(nèi)含或外離Ｗ．))2．幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，圓心距為d，則兩圓有以下位置關系：位置關系公共點個數(shù)圓心距與半徑的關系圖示兩圓外離0d>r1＋r2兩圓內(nèi)含d<|r1－r2|兩圓相交2|r1－r2|<d<r1＋r2兩圓內(nèi)切1d＝|r1－r2|兩圓外切d＝r1＋r2已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，問：m為何值時，(1)圓C1與圓C2外切？(2)圓C1與圓C2內(nèi)含？【解】對于圓C1，圓C2的方程，配方得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果圓C1與圓C2外切，則有eq\r(（m＋1）2＋（－2－m）2)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.故當m＝－5或2時，圓C1與圓C2外切．(2)如果圓C1與圓C2內(nèi)含，則有eq\r(（m＋1）2＋（－2－m）2)<3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2<1，整理得m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.故當－2<m<－1時，圓C1與圓C2內(nèi)含．幾何法判斷兩圓位置關系的步驟(1)將兩圓的方程化為標準方程．(2)求出兩圓的圓心距d和半徑r1，r2.(3)根據(jù)d與|r1－r2|，r1＋r2的大小關系作出判斷．1．圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關系是()A．外離B．相交C．外切D．內(nèi)切解析：選B.圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2：x2＋y2－4y＝0，故圓心坐標與半徑分別為O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝eq\r(5)，r2－r1＝1，r1＋r2＝3，1＜eq\r(5)＜3，所以兩圓相交．2．圓A：x2＋y2＝1與圓B：x2－4x＋y2－5＝0的公共點個數(shù)為()A．0B．3C．2D．1解析：選D.因為圓B：(x－2)2＋y2＝9，其圓心為B(2，0)，半徑為3，圓A的圓心為A(0，0)，半徑為1，所以圓心距為|AB|＝2，半徑之差為2，所以兩圓內(nèi)切，只有一個公共點．考點一兩圓相切問題已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，求圓C的方程．【解】設圓C的半徑為r，又圓心距d＝eq\r(（4－0）2＋（－3－0）2)＝5，所以當圓C與圓O外切時，r＋1＝5，r＝4，當圓C與圓O內(nèi)切時，r－1＝5，r＝6，所以圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.若圓x2＋y2＝m與圓x2＋y2＋6x－8y－11＝0內(nèi)切，則m＝________．解析：圓x2＋y2＝m的圓心坐標為(0，0)，半徑r1＝eq\r(m)，圓x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圓心坐標為(－3，4)，半徑r2＝6.因為兩圓內(nèi)切，且圓心距d＝5，所以|6－eq\r(m)|＝5，解得m＝1或m＝121.答案：1或121考點二兩圓相交問題已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．【解】設兩圓交點為A，B，則A，B兩點的坐標均滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，①,x2＋y2－4x＋2y－11＝0.②))①－②，得3x－4y＋6＝0.因為A，B兩點坐標都滿足此方程，所以3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．易知圓C1的圓心為C1(－1，3)，半徑r＝3.又點C1到直線AB的距離d＝eq\f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(9,5).所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))\s\up12(2))＝eq\f(24,5)，即兩圓的公共弦長為eq\f(24,5).(1)兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長為2eq\r(3)，則a＝________．解析：兩圓的公共弦所在的直線方程為ay－1＝0(a＞0)，圓x2＋y2＝4的圓心為(0，0)，半徑為2，圓心到公共弦所在直線的距離d＝eq\f(|－1|,\r(a2))＝eq\f(1,a).所以2eq\r(3)＝2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))\s\up12(2))，解得a＝1.答案：11．圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1和圓(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置關系是()A．相切B．內(nèi)含C．相交D．外離解析：選B.因為兩圓的圓心距d＝eq\r(（3＋3）2＋（－6－2）2)＝10＜12－1＝11，所以兩圓內(nèi)含．2．已知圓M的圓心坐標為(2，0)，圓M與圓O：x2＋y2＝1外切，則圓M的方程為()A．(x－2)2＋y2＝2 B．(x－2)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1解析：選B.兩圓圓心距2，圓M的半徑為2－1＝1，所以圓M的方程為(x－2)2＋y2＝1.3．已知圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點，則公共弦AB的垂直平分線的方程為()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析：選C.由題意知公共弦AB的垂直平分線即為兩圓圓心連線所在直線．兩圓的圓心分別為(2，－3)，(3，0)，所以所求直線的斜率k＝eq\f(－3－0,2－3)＝3，故所求直線方程為3x－y－9＝0.4．已知以C(3，4)為圓心的圓與圓x2＋y2＝1外切，求圓C的方程．解：設圓C的半徑為r，則圓C的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝r2.由題意得兩圓圓心距d＝eq\r(（3－0）2＋（4－0）2)＝5，因為兩圓外切，所以圓心距等于兩圓半徑之和，即5＝r＋1，解得r＝4.故圓C的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝16.[A基礎達標]1．圓C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－6y＋5＝0的位置關系為()A．外切 B．內(nèi)切C．相離 D．內(nèi)含解析：選A.方程x2＋y2－6y＋5＝0化為x2＋(y－3)2＝4，所以兩圓的圓心為C1(0，0)，C2(0，3)，半徑為r1＝1，r2＝2，而|C1C2|＝3＝r1＋r2，則兩圓相外切，故選A.2．圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則()A．E＝－4，F(xiàn)＝8 B．E＝4，F(xiàn)＝－8C．E＝－4，F(xiàn)＝－8 D．E＝4，F(xiàn)＝8解析：選C.由題意聯(lián)立兩圓方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋F＝0，,x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，))得4x＋Ey－4－F＝0，則eq\f(E,4)＝－1，eq\f(－4－F,4)＝1，解得E＝－4，F(xiàn)＝－8.故選C.3．已知圓A，圓B相切，圓心距為10cm，其中圓A的半徑為4cm，則圓B的半徑為()A．6cm或14cm B．10cmC．14cm D．無解解析：選A.當兩圓外切時，d＝rA＋rB，即10＝4＋rB，所以rB＝6cm；當兩圓內(nèi)切時，rB－rA＝10，則rB＝10＋4＝14(cm).4．圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0與圓x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切線的條數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D.兩圓的圓心距d＝eq\r(（－2－2）2＋（2＋5）2)＝eq\r(65)，半徑r1＝1，r2＝4，所以d＞r1＋r2，所以兩圓相離，故有4條公切線，故選D.5．已知直線y＝－x被圓M：x2＋y2＋Ey＝0(E＜0)截得的弦長為2eq\r(2)，且圓N的方程為x2＋y2－2x－2y＋1＝0，則圓M與圓N的位置關系為()A．相交 B．外切C．相離 D．內(nèi)切解析：選A.圓M：x2＋y2＋Ey＝0(E＜0)的圓心Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(E,2)))，半徑為－eq\f(E,2).所以eq\f(E2,4)＝2＋(eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(E,2))),\r(2)))2，解得E＝－4.所以圓M的圓心M(0，2)，半徑為2.圓N的圓心N(1，1)，半徑為1.因為|MN|＝eq\r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq\r(2)，且2－1＜|MN|＜2＋1，所以兩圓相交．6．(多選)半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程可以是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36解析：選CD.由題意可設圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝36，又由兩圓內(nèi)切，得eq\r(a2＋（6－3）2)＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，所求圓的方程為(x－4)2＋(y－6)2＝36或(x＋4)2＋(y－6)2＝36.7．兩圓交于點A(1，3)和B(m，1)，兩圓的圓心都在直線x－y＋4＝0上，則m＝________．解析：直線AB與兩圓圓心所在直線垂直，所以eq\f(3－1,1－m)×1＝－1，解得m＝3.答案：38．已知兩圓(x＋2)2＋(y－2)2＝1與(x－2)2＋(y－5)2＝r2(r＞1)相交，則實數(shù)r的取值范圍是________．解析：因為兩圓的圓心距為d＝5，又因為兩圓相交，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|r－1|＜5，,r＋1＞5，))所以4＜r＜6.答案：(4，6)9．若點A(a，b)在圓x2＋y2＝4上，則圓(x－a)2＋y2＝1與圓x2＋(y－b)2＝1的位置關系是________．解析：因為點A(a，b)在圓x2＋y2＝4上，所以a2＋b2＝4.又圓x2＋(y－b)2＝1的圓心C1(0，b)，半徑r1＝1，圓(x－a)2＋y2＝1的圓心C2(a，0)，半徑r2＝1，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(4)＝2＝r1＋r2，所以兩圓外切．答案：外切10．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，判斷圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系．解：把圓M的方程化成標準方程為x2＋(y－a)2＝a2，所以M(0，a)，r1＝a.所以點M到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(a,\r(2))，由題意可得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))eq\s\up12(2)＋2＝a2，又a>0，所以a＝2，所以M(0，2)，r1＝2.又N(1，1)，r2＝1，所以|MN|＝eq\r(2)，所以|r1－r2|<|MN|<r1＋r2，所以兩圓相交．[B能力提升]11．(多選)(2022·廈門高二期末)已知圓O：x2＋y2＝4和圓M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0相交于A，B兩點，則()A．圓O與圓M有兩條公切線B．圓O與圓M關于直線AB對稱C．線段AB的長為eq\f(\r(11),2)D．若E，F(xiàn)分別是圓O和圓M上的點，則|EF|的最大值為4＋eq\r(5)解析：選ABD.圓O：x2＋y2＝4的圓心為(0，0)，半徑r＝2，圓M：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝4，其圓心為(－2，1)，半徑R＝2.對于A，因為圓O與圓M相交，所以有兩條公切線，A正確；對于B，兩圓方程相減得4x－2y＋5＝0，即直線AB的方程為4x－2y＋5＝0，易知圓心O(0，0)與圓心M(－2，1)關于直線AB對稱，又兩圓半徑相等，所以B正確；對于C，由B的結論，可知|AB|＝2eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|OM|,2)))\s\up12(2))＝2eq\r(4－\f(5,4))＝eq\r(11)，故C錯誤；對于D，若E，F(xiàn)分別是圓O和圓M上的點，則|EF|的最大值為|MO|＋r＋R＝eq\r(5)＋4，故D正確．故選ABD.12．已知M，N是圓A：x2＋y2－2x＝0與圓B：x2＋y2＋2x－4y＝0的公共點，則△BMN的面積為________．解析：由題意，可知圓B的圓心坐標為(－1，2)，半徑為eq\r(5).聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＝0，,x2＋y2＋2x－4y＝0，))可得直線MN的方程為x－y＝0，所以B(－1，2)到直線MN的距離為eq\f(|－1－2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，線段MN的長度為2eq\r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，所以△BMN的面積為eq\f(1,2)×eq\f(3\r(2),2)×eq\r(2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)13．已知點P(2，－2)和圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝16，則P在圓C________(填“內(nèi)”、“外”或“上”)；以P為圓心且和圓C內(nèi)切的圓的標準方程為________．解析：由題知C(－1，2)，圓C的半徑為4，所以|PC|＝eq\r(（2＋1）2＋（－2－2）2)＝5＞4，所以P在圓C外．設以P為圓心且和圓C內(nèi)切的圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝r2，r＞0，則|PC|＋4＝r，即r＝9，所以以P為圓心且和圓C內(nèi)切的圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝81.答案：外(x－2)2＋(y＋2)2＝8114．已知圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長．解：(1)證明：將圓C1的一般方程化成標準方程，為(x－1)2＋(y－3)2＝11，則圓C1的圓心C1(1，3)，半徑r1＝eq\r(11).將圓C2的一般方程化成標準方程，為(x－5)2＋(y－6)2＝16，則圓C2的圓心C2(5，6)，半徑r2＝4.兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圓C1和C2相交．(2)將圓C1和圓C2的方程相減，得4x＋3y－23＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.設圓心C2(5，6)到直線4x＋3y－23＝0的距離為d1，則d1＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦長為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).[C拓展沖刺]15．一圓過圓x2＋y2－2x＝0和直線x＋2y－3＝0的交點，且圓心在y軸上，則這個圓的方程是()A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0B．x