電磁場與交換技術(shù)第二章

電磁場與交換技術(shù)第二章第1頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-2三種常用的正交坐標系（1.4.1）直角坐標系——（方向矢量）直角坐標系中的長度元、面積元和體積元（1.4.1）（1.4.2）（1.4.3）第2頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-3圓柱坐標系——（方向矢量）圓柱坐標系中的長度元、面積元和體積元（1.4.5）（1.4.6）（1.4.7）第3頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-4球面坐標系——（方向矢量）球面坐標系中的長度元、面積元和體積元第4頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-5直角坐標系與圓柱坐標系之間的關(guān)系三種常用正交坐標系的轉(zhuǎn)換（1.4.2）直角坐標系與球面坐標系之間的關(guān)系圓柱坐標系與球面坐標系之間的關(guān)系第5頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-6廣義坐標系——(方向單位矢量)廣義柱坐標系——(方向單位矢量)不同坐標系中的長度元、面積元和體積元線積分或、面積分或和體積分不隨位置坐標而改變隨著位置坐標的改變而改變(方向)三種常用的正交坐標系的相互轉(zhuǎn)換（坐標的轉(zhuǎn)換和方向矢量的轉(zhuǎn)換）幾點說明第6頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-7物理量的分類標量場矢量場1.1矢量的代數(shù)運算物理量與位置無關(guān)的量

與位置有關(guān)的量（場量）時間、長度、重量……標量場（只有大?。┦噶繄觯ù笮?方向）

溫度、濕度、電位……速度、電場、磁場……第7頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-81.1.1

矢量與矢量的表示法

（1.1.1）單位矢量——模等于1的矢量叫做單位矢量。（1.1.2）矢量表示法——在三維空間中，矢量可表示為一根有方向的線段該線段的長度代表該矢量的模，該線段的方向代表該矢量的方向第8頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-9直角坐標系中矢量的表示（1.1.3）（1.1.4）（1.1.5）例如：（1.1.6）（1.1.7）第9頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-10位置矢量與距離矢量場點坐標源點坐標場點矢徑

源點矢徑第10頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-11位置矢量與距離矢量位置矢量——由坐標原點出發(fā)引向空間某一點的有方向線段，稱為該點的位置矢量或矢徑。距離矢量——由源點出發(fā)引向場點的矢量稱為距離矢量。（1.1.13）第11頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-121.1.2矢量的代數(shù)運算一個矢量經(jīng)平移后所得到的新矢量與原矢量相等。在直角坐標系下，兩個相等的矢量必有相等的坐標分量。矢量與標量的乘積（1.1.18）（1.1.19）負矢量——與原矢量大小相等，方向相反的矢量。第12頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-13矢量加法和減法矢量加法滿足交換律和結(jié)合律，矢量減法不滿足交換律。（1.1.20）（1.1.21）第13頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-14直角坐標系中矢量加法和減法只有矢量和矢量之間才能進行相加減。（1.1.24）（1.1.25）14第14頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-15標量積(thedotproduct)和矢量積(thecrossproduct)兩個矢量的標量積（點積）定義為這兩個矢量的模以及這兩個矢量之間夾角的余弦三者的乘積。（1.1.26）兩個矢量的矢量積（叉積）的模等于這兩個矢量的模以及這兩個矢量之間夾角的正弦三者的乘積，而方向垂直于兩矢量所構(gòu)成的平面，其指向按“右手法則”來確定。（1.1.29）第15頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-16“右手法則”和“右手螺旋法則”

16第16頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-1717第17頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-18標量積滿足交換律和分配律，矢量積只滿足分配律。若兩個矢量垂直,即它們間夾角為90o,則標量積等于零,而矢量積最大,等于這兩個矢量模的乘積;若兩個矢量平行,即它們間夾角為零,則矢量積等于零,而標量積最大,等于這兩個矢量模的乘積。若兩個非零矢量的標量積等于零，則這兩個矢量必相互垂直；若兩個非零矢量的矢量積等于零，則這兩個矢量必相互平行。第18頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-19標量積和矢量積在直角坐標系中的計算（1.1.33）（1.1.35）思考題：兩個矢量恒等式的證明，書Page.6。第19頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月若某空間中的每一個點都對應(yīng)著某個物理量的一個確定值，就稱在該空間中定義了這個物理量的場或函數(shù)若這個物理量是標量，則這個場或函數(shù)稱為標量場或標量函數(shù)。如一幢建筑物內(nèi)的溫度分布、一個區(qū)域內(nèi)的電位分布等等若這個物理量是矢量，則這個場或函數(shù)稱為矢量場或矢量函數(shù)。如某河流區(qū)段內(nèi)水流的速度分布、一個區(qū)域內(nèi)電場強度的分布等若標量場中各點標量值的大小都相同，則稱場中物理量是常數(shù)若矢量場中各點矢量大小和方向都相同，則稱場中物理量為常矢若場中的物理量在各點所對應(yīng)的值不隨時間而變化，則這個場稱為靜態(tài)場或恒定場；否則，就稱為時變場?！峨姶艌雠c電磁波理論》第1章矢量分析1-201.2場的微分運算1.2.1

場的基本概念20第20頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-21標量場的等值面等值面——函數(shù)均取相同值的曲面。例如，靜電場中的等位面。在三維空間中，每一點對應(yīng)著也僅對應(yīng)著一個確定的函數(shù)值，因此它必屬于也僅屬于一個等值面?？臻g中所有的點均有等值面通過，所有的等值面均互不相交。對于同一個常數(shù)值，可以有多個互不相交的等值面。如果是在二維空間，函數(shù)均取相同值的點構(gòu)成就是一條條的等值線，例如山體的等高線就是一種常用的等值線。21第21頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-22矢量場的矢量線或通量線矢量線——一系列有向曲線。線上每一點的切線方向代表該點矢量場方向，而橫向的矢量線密度代表該點矢量場大小。例如，電場中的電力線、磁場中的磁力線矢量場中的每一點均有一條矢量線通過，所以矢量線充滿了整個矢量場所在的空間矢量線可以匯聚于某一點，但是不能相互交叉。矢量場的矢量線滿足的微分方程22第22頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-231.2.2標量場的方向?qū)?shù)和梯度1.標量場的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)——空間某一點的標量場沿某一方向的變化率定義為該標量場在該點沿該方向的方向?qū)?shù)（1.2.1）其中第23頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-24根據(jù)求導(dǎo)法則（1.2.2）方向余弦該方向上的單位矢量（1.2.3）第24頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-25標量函數(shù)在空間給定點沿方向的方向?qū)?shù)等于該點的梯度矢量在該方向上的投影。2.標量場的梯度（gradient）標量場的梯度——大小等于標量函數(shù)在該點最大的方向?qū)?shù)值，方向指向使函數(shù)值增加最快的方向。（1.2.5）（1.2.6）第25頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月梯度的表示——哈密頓（Hamilton）算子（讀作del）《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-26直角坐標系中的哈密頓算子（1.2.7）直角坐標系中的梯度表示式（1.2.8）第26頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月算子具有類似于矢量和微分的性質(zhì)，稱為矢量微分算子《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-27梯度的基本公式（1.2.9）（1.2.10）（1.2.11）（1.2.12）（1.2.13）其中，為常數(shù)；，為標量函數(shù)。第27頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.2.1試證明：①；②。式中和分別表示對場點坐標和源點坐標的哈密頓算子?！峨姶艌雠c電磁波理論》第1章矢量分析1-28證明：①②依梯度的基本公式第28頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-291.2.3矢量場的通量和散度通量線或矢量線——一系列有方向的曲線，該線上每一點的切線方向代表該點矢量場方向，而橫向的通量線密度代表該點矢量場的大小。1.矢量場的通量

(flux)

通量

——矢量場穿過曲面的通量線的總數(shù)，它可表示為矢量沿該曲面的面積分。（1.2.16）（1.2.17）第29頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-30開口曲面的正法線方向需要事先設(shè)定。通量的正、負與面積元矢量的方向選取有關(guān)。閉合曲面的正法線方向規(guī)定為由的內(nèi)部指向外部，即外法線方向。通量可以用來描述矢量場在空間的分布。借助于通量的概念，矢量又稱為通量密度。例如，電位移也常常稱為電通量密度。發(fā)出通量線的點稱為“源”，吸收通量線的點稱為“溝”。例如，靜電場中的正電荷是發(fā)出電力線的“源”，負電荷是吸收電力線的“溝”。穿過整個閉合曲面的總通量等于“源”發(fā)出的通量線減“溝”吸收的通量線。幾點說明第30頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-31通量概念描述了空間一個較大范圍內(nèi)場與源之間的關(guān)系散度概念將描述空間每一點場與源之間的關(guān)系。矢量場的散度

——矢量穿過閉合曲面的通量與該閉合曲面所包圍的小體積之比的極限。2.

矢量場的散度(divergence)（1.2.18）一個矢量場的散度是一個標量，可理解為穿過包圍單位體積的閉合表面的通量。因此，人們也習(xí)慣地將散度稱為通量源密度。第31頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-32三種典型的散度值對于靜電場，在有電荷存在的點上，散度不為零。且散度大于零處具有正電荷，散度小于零處具有負電荷對于恒定磁場，因為不存在磁荷，散度必處處為零第32頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-33直角坐標系中的散度表示式（1.2.22）第33頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-34散度的基本公式注意：這些基本公式均與坐標系的類型無關(guān)。它們不但在直角坐標系中成立，在其它坐標系中仍然成立。其中，為常矢；為常數(shù)；為標量函數(shù)，為矢量函數(shù)。（1.2.23）（1.2.24）（1.2.25）（1.2.26）第34頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.2.2設(shè)表示空間兩點與之間距離，試求?！峨姶艌雠c電磁波理論》第1章矢量分析1-35解：第35頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-36值得提醒注意的一點是：在上述計算中，需假設(shè)距離R不等于零。否則，函數(shù)(1/R)將出現(xiàn)奇異點。在第3章討論鏡像法時（3.7節(jié)）將會證明：但是即（1.2.27）（1.2.28）第36頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-371.2.4

矢量場的環(huán)量和旋度環(huán)量

——矢量場沿空間一條閉合曲線的線積分。1.

矢量場的環(huán)量（circulation）（1.2.29）矢量場的環(huán)量是一個標量用來描述一個矢量場的旋渦特性。大小和正負取決于矢量場的分布以及該閉合曲線積分的環(huán)繞方向。第37頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-38旋度在某一方向上的投影2.矢量場的旋度（rotation或curl）矢量場的旋度或

——大小等于該點最大的環(huán)量密度，方向為取得最大環(huán)量密度的那塊小面積的法線方向環(huán)量密度——矢量沿閉合曲線的環(huán)量與小面積之比的極限,其大小與矢量的分布和閉合曲線的方向有關(guān)。（1.2.30）第38頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-39不同閉合路徑位置情況下的環(huán)量39第39頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-40直角坐標系中旋度的推導(dǎo)（1.4.5）第40頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-41直角坐標系中的旋度表示式（1.2.34）（1.2.35）第41頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-42旋度的基本公式注意：這些基本公式均與坐標系類型無關(guān)。它們不但在直角坐標系中成立，在其它坐標系中仍然成立其中，為常矢；為常數(shù)；為標量函數(shù)，為矢量函數(shù)（1.2.36）（1.2.37）（1.2.38）（1.2.39）第42頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.2.3試證明：?！峨姶艌雠c電磁波理論》第1章矢量分析1-43證明：第43頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-441.2.5

梯度、散度、旋度的比較一個標量函數(shù)的梯度是一個矢量函數(shù)，它描述了空間各點標量位的最大變化率及其方向；一個矢量函數(shù)的散度是一個標量函數(shù)，它描述了空間各點場矢量與通量源之間的關(guān)系；一個矢量函數(shù)的旋度是一個矢量函數(shù)，它描述了空間各點場矢量與旋渦源之間的關(guān)系。只有當(dāng)場函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)時，梯度、散度、旋度的定義才是有意義的。在某些場量不連續(xù)的交界面上，就不可能定義梯度、散度和旋度。第44頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-45第45頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-46矢量場的“源”有兩種，建立散度的通量源和建立旋度的旋渦源。要使矢量場是非零場，則必存在產(chǎn)生這種場的一種源。非零矢量場不可能既是無源場又是無旋場若一個矢量場的散度處處為零，就不存在通量源，該矢量場稱為無源場(恒定磁場)。若一個矢量場的旋度處處為零，就不存在旋渦源，該矢量場稱為無旋場(靜電場)。存在通量源的矢量場為有源場。在源區(qū)，該矢量場散度不為零；在非源區(qū)，該場散度仍然可以為零。存在旋渦源的矢量場為有旋場，但該場旋度僅在旋渦源所在空間點上不為零，在其它點上仍然可以為零。第46頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-471.3矢量的恒等式和基本定理大部分矢量恒等式和矢量基本定理都可通過直接計算來證明。為簡單起見，可在直角坐標系中證明，對其它正交坐標系，也都是成立的。1.3.1

三個重要的恒等式（1.3.1）（1.3.2）（1.3.3）第47頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-48恒等式的意義任何一個標量函數(shù)的梯度的旋度必等于零。任何一個梯度場必然為無旋場，而任何一個無旋場也必為有位場。例如靜電場。恒等式的意義任何一個矢量函數(shù)的旋度的散度必等于零。任何一個旋度場必為無源場，而任何一個無源場必為有旋場。例如恒定磁場。第48頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-49拉普拉斯（Laplace）算子在直角坐標系中的拉普拉斯算子例如對于其它坐標系（1.3.4）但（1.3.9）第49頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-501.3.2

矢量場的基本定理高斯(Gauss)散度定理——矢量場穿過空間任一閉合曲面的通量等于該矢量的散度在曲面所包圍體積內(nèi)的體積分。證明：將體積分割成N個的小體積（1.3.10）第50頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-51斯托克斯（Stokes）定理

——矢量場沿空間任一閉合曲線的環(huán)量等于該矢量場的旋度穿過以閉合曲線作為邊界曲線的任一開放曲面的通量。證明：將該曲面剖分為N個小面積（1.3.11）第51頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-52格林（Green）第一定理或格林第一恒等式這個定理可以通過令，利用高斯散度定理證明。格林（Green）第二定理或格林第二恒等式（1.3.13）（1.3.12）（1.3.14）（1.3.15）第52頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-53證明：采用反證法。假設(shè)同時存在兩個矢量場和，它們具有相同的散度和旋度以及邊界條件，即令則有唯一性定理——若在區(qū)域內(nèi)矢量場的散度、旋度以及在邊界面上的切向分量或(法向分量)已給定，則矢量場在該區(qū)域內(nèi)的解是唯一的。由矢量恒等式和格林定理，可證明要滿足上述兩式，必有得證。第53頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-54亥姆霍茲(Helmholtz)定理——空間有限區(qū)域內(nèi)任一矢量場均可以表示為一個無源場(即或)和一個無旋場(即或)之和，即（1.3.25）（1.3.26）（1.3.24）第54頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-55亥姆霍茲定理的一個特例——空間區(qū)域為無限大，而場源卻分布在一個有限區(qū)域內(nèi)。在這種情況下，如假設(shè)矢量場在無限遠處以足夠快的速度減弱至零，即則有在無限大空間中，只要知道矢量場的散度和旋度，就能將其定量地確定下來。既無源又無旋的場是不存在的。（1.3.27）（1.3.28）（1.3.29）（1.3.30）第55頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-561.4常用正交曲線坐標系正交曲線坐標系——三個坐標面均為一般的曲面。任意兩坐標面的交線為第三個坐標變量的坐標軸，一般為曲線?？臻g任一點有三個坐標軸通過，坐標軸上的單位矢量相互正交且符合右手螺旋法則。這三個單位矢量的方向隨空間點位置的不同而變化。正交曲線坐標系的類型很多,已出現(xiàn)的有10多種。除直角坐標系這種特殊的正交曲線坐標系以外，其它還有圓柱、球面、橢圓柱、拋物柱等正交曲線坐標系。常用的就是直角坐標系，圓柱坐標系和球面坐標系。第56頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-571.4.1

三種常用的正交坐標系直角坐標系——（方向矢量）直角坐標系中的長度元、面積元和體積元（1.4.1）（1.4.2）（1.4.3）第57頁，課件共67頁，創(chuàng)作于2023年2月《電磁場與電磁波理論》第1章矢量分析1-58圓柱坐標系——