10導體內(nèi)有大量自由電子在電場力作用下運動使電荷重新分布

第十章

靜電場中的導體和電介質(zhì)導體內(nèi)有大量自由電子，自由電子在電場力作用下運動使電荷重新分布，稱為導體的靜電感應。電介質(zhì)（絕緣體）內(nèi)幾乎沒有自由電荷，但在外電場作用下會產(chǎn)生極化電荷（束縛電荷），稱為電介質(zhì)的極化。感應電荷和極化電荷產(chǎn)生的電場稱為附加電場。當電場中引入導體或電介質(zhì)后，空間的電場分布發(fā)生變化：

E

=

E0

+

E'

E0

:

E'

:外電場（原來的電場）；附加電場。主要內(nèi)容：導體的靜電平衡條件；電介質(zhì)的極化、有電介質(zhì)時的高斯定理；電容和電容器；電場的能量。§10-1靜電場中的導體1、導體的靜電平衡條件：導體不帶電或不受外電場作用時，因電子的無規(guī)則熱運動，導體內(nèi)任一體積內(nèi)無凈電荷—電中性。在外電場E0作用下，電子逆電場方向運動；導體表面出現(xiàn)感應電荷，導體內(nèi)產(chǎn)生附加電場E'

；外電場與附加場等值而反向時，電荷運動停止，導體處于靜電平衡狀態(tài)。導體內(nèi)：E=

E0

?

E'

=

0導體的靜電平衡導體的靜電平衡條件：導體內(nèi)電場強度處處為零；導體是個等勢體，導體表面為等勢面；導體表面場強處處與導體表面正交。QS2、導體上電荷的分布：(1)

實心導體：導體內(nèi)任取高斯面。

E

=0

，\

q內(nèi)=0?(2)

空腔導體（腔內(nèi)無電荷）：導體內(nèi)任取高斯面，則：

q內(nèi)=0內(nèi)表面上也不可能有等量異號電荷，否則：b

E

dl

?

0a與導體是等勢體的結(jié)論不符。QSS(3)

空腔導體（腔內(nèi)有電荷）：導體內(nèi)、外表面間任取高斯面。+qQ+q

E

=0

，\

q內(nèi)=0空腔內(nèi)表面感應出電量-q，而外表面電量為Q+q。結(jié)論：導體靜電平衡時，電荷只分布在表面上。導體表面電荷面密度與表面曲率半徑的關(guān)系：1ρσ（近似）3、導體表面外附近的場強：在導體表面取柱狀高斯面，則其側(cè)面和導體內(nèi)底面的電通量為零。εε0

0EΔS

=

1

q

=

1

σΔS內(nèi)E

=

σε0即：ρ

E

σ1

,

所以：導體表面曲率半徑小的地方，電場強度大。尖端放電：針尖狀導體處電場很強，可使周圍的空氣電離，同時產(chǎn)生“電風”—尖端放電。4、靜電屏蔽：利用空腔導體可消除腔內(nèi)、腔外電場的相互影響。\

E

=

0內(nèi)(1)

對腔外電場的屏蔽：由靜電平衡條件，導體內(nèi)和導體內(nèi)表面均無電荷。

但外電場變化時，將使腔內(nèi)電場發(fā)生變化，可通過

“接地”解決。

E內(nèi)=0(2)

對腔內(nèi)電場的屏蔽：

腔內(nèi)電荷q在腔內(nèi)表面感應出電荷?q，同時外表面感應出電荷q。若將導體空腔接地，則腔外空間的電場、電勢不受腔內(nèi)電場的影響。靜電屏蔽例10-1例10-1：半徑R1，帶電Q1的金屬球A，外面有一內(nèi)、外半徑分別為R2

、R3

，帶電Q的同心球殼B

。求：(1)電場和電勢的分布；(2)球與球殼間的電勢差。(1)

電場分布：

Q

+

Q=

0Q(

r

<

R

)

E

=

04πε

r

20=

1

EIII

EIV

(

R1

<

r

<

R2

)(

R2

<

r

<

R3

)(

r

>

R3

)4πε

r

20=

1

EII1IBR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IVER1R2

R3or電場分布不連續(xù)。電勢分布：（場勢法）BR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IVR3R2UI

dr

+

EIV

dr=

EIIR1￥Q3R4πε0

r1R4πε0

r1Q

+

Q￥2

dr

+

R2=

1r

<

R1

：R1<

r

<

R2

：3RR2

dr

+

EIVU

II

=

EIIr￥R2

4πε0

R34πε0

R1Q

1

1

Q

+

Q)

+

1

-2

dr

=

(

1

R2

4πε0

R34πε0

rQ

1

1

Q

+

Q)

+

1

-dr

=

1

(BR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IV￥￥1R32

drR3

4πε0

rdr

=

U

III

=

EIV

Q

+

Q

0

34πε

R=

Q1

+

QR2<

r

<

R3

：r

>

R3

：U

IV

￥14πε0

rQ

+

Q=

EIV

dr

=rUR1R2

R3or可見：電場強度為零處，電勢不一定為零。電勢連續(xù)4πε

rU03=

Q1

+

QQ4πε0

rU1

=

1

4πε

r0Q12U

=

-R1<

r

<

R2

：R1

Q1

PA

r?Q1R2

PrBBR3Q1+QrP電勢分布：（電勢疊加法）金屬球A單獨存在時的電勢：金屬球殼B的內(nèi)表面單獨存在時的電勢：金屬球殼B的外表面單獨存在時的電勢：BR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IVr

<

R1

：R1<

r

<

R2

：R2

4πε0

R34πε0

R1Q1

1

1 Q1

+

Q(

-

)

+UI

=II4πε0

r

R2

4πε0

R3Q1

(

1

-

1

)

+

Q1

+

QU

=R2<

r

<

R3

：00III4πε0

R3

4πε0

R34πε

r4πε

rQ1Q1

+

Q1

+

Q

=

Q1

+

Q-U

=r

>

R3

：4πε

r4πε

r4πε0

r 4πε0

r00Q1IVQ1

+

Q1

+

Q

=

Q1

+

Q-U

=(2)球與球殼間的電勢差。BR1AR2R3Q1?Q1Q1+QIII

III

IV4πε0

R1

R2Q1

1

1(

-

)=U

AB

=

UI

-U

III1

U

AB

=

EIIR

Q

1

14πε0

R1

R2-

)dr

=

1

(或由場勢法：R2例10-例210-2：面積均為S的兩塊大金屬平板A、B平行放置，A帶電Q，B不帶電，求：靜電平衡時A、B板上電荷分布及周圍電場分布。（忽略邊緣效應）σ1

σ2

σ3

σ4A

BIIIIIISP由電荷守恒：作高斯面S，得：40300對P點：

σ1+

-

=

0+

σ2

σ

σSQσ1

+

σ2

=σ3

+

σ4

=

0σ2

+

σ3

=

02ε

2ε

2ε1

2ε0σ

-

σ4

=

0

（向右）

Q

2ε0

S=EII

=

EIII2S3σ

=

-

Q

2SQσ1

=

σ2

=

σ4

=2ε

S0IE

=

Q

（向左）§10-2電容和電容器1、孤立導體的電容：一導體周圍無其他導體、電介質(zhì)、帶電體時，則該導體稱為孤立導體。孤立導體的電容定義為：C

=

Q如：半徑為R，帶電量為Q的球形導體的電容為：U0C

=

Q

=

4πε

R孤立導體的電容與Q、U無關(guān)，只決定于導體本身性質(zhì)（形狀、大小等）和周圍情況。單位：法拉U

1V1F

=

1C2、電容器的電容：帶等量異號電荷的兩個導體（極板）組成的系統(tǒng)稱為電容器。電容器的電容：C

=

QUA

-UB當兩極板之一移到無窮遠時，C=Q/U即為孤立導體的電容。C取決于電容器的結(jié)構(gòu)及周圍電介質(zhì)的電學性質(zhì)。(1)

平行板電容器：ABS+Q?Qd

E當兩極板間的距離遠小于極板的線度時，極板間電場可近似看作勻強電場。ε

S0A

BU

-U

=

E

d

=

Q

d所以：dBAQ

=

ε0

SU

-UC

=平(2)

球形電容器：球形電容器的兩極板由球形導體A和同心球殼B組成。Q

dr

Q

1

1B0

ARr

20BRA-

R

)=

4πε

(

RUA

-

UB

=

4πε所以：CBAQ

=

4πε0

RA

RBU

-U (

RB

-

RA

)=球BRAARB?Q+Q=

Q(

RB

-

RA

)4πε0

RA

RB若d=RB

-RA

<<RA、RB，則：dd4πε

R2

ε

SC

?

0

=

0 RRln

B

2πε0

r 2πε0

l

RAλ

dr

Q(3)

圓柱形電容器：當l>>RB?RA

時：RBA=UA

-

UB

=

所以：A

BRln

B

CU

-U=

Q

=

2πε0

l柱RA若d=RB

-RA

<<RA、RB，則：dd=

ε0

SC

?

2πε0

l

RARARB-Q

+QlB

Aln

RB

=

ln(

1

+

d

)

?

d

RA

RA

RA

3、電容器的串聯(lián)和并聯(lián)：得：U

C1

C2q1

q2U1

U2Cn...

qnUnq

CU(1)

串聯(lián)：

q1

=

q2

=

=

qn

=

qU1

+

U2

+

+

Un

=

U1

=

U

=

1

+

1

+

+

1C

q

C1

C2

Cnn1

211

1:

:

:

C

CU1

:

U2

:

:

Un

=

C兩個電容器串聯(lián)時：U21C1C1

+

C2U

,

U

=,

U

=C1C2

C2C1

+

C2

C1

+

C2C

=電容器串聯(lián)時，等值電容變小，但耐壓增大。得：(2)

并聯(lián)：U1

=

U2

=

=

Un

=

Uq1

+

q2

+

+

qn

=

qn1

2UC

=

q

=

C

+

C

+

+

Cn2:

:

Cq1

:

q2

:

:

qn

=

C1

:

C兩個電容器并聯(lián)時：2q,

q

=

qC1

C2C1

+

C2

C1

+

C2C

=

C1

+

C2

, q1

=U

C1

C2

...

Cnq1

q2

qnq

CU電容器并聯(lián)時，等值電容變大，耐壓與耐壓值 最小的電容器相等。C1C2U1U2UA

B例10-3例10-3：A、B兩電容器參數(shù)分別為200pF/500V，300pF/900V，將它們串聯(lián)。求：(1)等值電容C;(2)加上1000V電壓時，是否會被擊穿？(3)此電容器組的最大耐壓值。(1)等值電容：C1C2=

120

pFC1

+

C2C

=(2)

UC21C

+

C21

2

1C12U

=

400VC

+

C=

U

=

600V

,

U

=擊穿！(3)取U1

=U1max

=500

V

，此時：C22

1maxU

=

C1

U

=

333VUmax=

U1max

+

U2=

833V\§10-3靜電場中的電介質(zhì)1、電介質(zhì)對電場的影響：，空氣平行板電容器的電容為C0極板充電至Q，極板間電勢差為U0

。C0+Q?Qd

E0U0CUd+Q?Q

E插入介質(zhì)板（充滿）后，保持極板上電量不變，極板間電勢差為U

。UU0r0>

1則：

U

<

U

,

即：

ε

=εr

：相對介電常數(shù)（相對電容率），為無量綱純數(shù)。C0+Q?Qd

E0U0CUd+Q?Q

EU0rU

>

1ε

=可見：當空氣（真空）電容器極板間充滿電介質(zhì)后，極板間電場強度減小、電勢差下降、電容增大。E

=

Ud

=

U0

d

=

E0

εr

εrr

00rQ ε

QU

U=

=

ε

CC

=2、電介質(zhì)的極化：(1)

無極分子的位移極化：無極分子：無外電場時，分子正、負電荷中心重合。在外電場作用下，分子正、負電荷中心產(chǎn)生位移，形成取向外電場方向的分子電矩，使介質(zhì)表面出現(xiàn)極化電荷（束縛電荷）。極化電荷產(chǎn)生的附加場方向與外電場方向相反。E

=

E0

+

E'

, E

=

E0

-

E'

<

E0

E0=0E0E0(2)

有極分子的取向極化：有極分子：無外電場時，分子正、負電荷中心不重合。在外電場作用下，分子電矩受外電場力矩作用而取向外電場方向，使介質(zhì)表面出現(xiàn)極化電荷（束縛電荷）。附加電場方向仍與外電場方向相反。E

=

E0

+

E'

, E

=

E0

-

E'

<

E0

E0E0取向極化只發(fā)生在有極分子電介質(zhì)中，而位移極化則發(fā)生在任何電介質(zhì)中。通常，取向極化效應>>位移極化效應，在有極分子電介質(zhì)中，可不計位移極化。但在高頻電場作用下，位移極化效應可大于取向極化效應。兩種極化產(chǎn)生的宏觀效果完全相同，在實際問題中，常不加以區(qū)別。電介質(zhì)的極化3、有電介質(zhì)時的高斯定理：+Q?Q'+Q'?Q

ES以平行板電容器為例：取圖示高斯面S，則：ε10(

Q

-

Q'

)

S

E dS

=0

rr00σε ε

εE=

E

=

E

-

E'

=σS

Q ε

ε

=

ε

ε0

r

0

r\

E dS

=

ES

=即：

ε0

εrE dS

=

QQ：自由電荷

Q'：束縛電荷

ε0

εrE dS

=

Q

定義：電位移矢量

D

=

ε0

εr

Em

2單位：C有電介質(zhì)時的高斯定理：

D dS

=

QQ：自由電荷引入電位移矢量的好處是無須知道束縛電荷的分布也可以求電場；電位移矢量是一個輔助矢量，電場的基本性質(zhì)任由電場強度矢量描述。例1例0-510-5：一平行板電容器：S

=100cm2, d=1.0cm，充電到極板間電壓U0=100V，將電源斷開后插入厚b=0.5cm，

εr=7的電介質(zhì)板，求：(1)電容器內(nèi)空隙間和電介質(zhì)板中的場強；(2)插入介質(zhì)板后，極板間的電勢差；(3)插入介質(zhì)板后的電容?？諝馄叫邪咫娙萜鳎篸0C

=

ε0

S

=

8.85

pFQ

=

C

U

=

8.85

·

10

-10

C0

0

0(1)空隙間：取高斯面A1Q0A1

D dS

=

DS

=

Q0

D

=

S

mε

ε

S000E

=

D

=

Q0

=

1.0

·104

V?Q0S

+Q0

dAb1

E0

D

E

D電介質(zhì)板內(nèi)：取高斯面A2S0AD dS

=

DS

=

Q

D

=

Q0

mε0

εr

ε0

εr

S

εr=

0.14

·104

VD

Q0

=

E0=E

=2（與空隙內(nèi)相同?。?2)

極板間電勢差：U

=

E0

(

d

-

b

)

+

Eb

=

57V插入電介質(zhì)板后，電勢差下降。b+Q0?Q0E0S

dE

A2D

D(3)插入電介質(zhì)板后的電容：

按定義：UQ0=

15.5

pFC

=

看作兩個電容器的串聯(lián)：介質(zhì)板位置不影響電容的大小。ε0

S ε0

εr

SC1C2

ε0

εr

S=

15.5

pF=ε0

S

+

ε0

εr

Sd-

b

bd

-

b

bC1

+

C2

εrd

+

b(

1

-

εr

)C

=

=Sbd討論：

若電介質(zhì)充滿電容器內(nèi)部：U

=

Ed

=

14V20U

=

E

d

=

50VU

若插入厚度為d/2的金屬板：QC

=

0

=

62

pFUC

=

Q0

=

17.7

pF或：C

=

εr

C

=

62

pF§10-4電場的能量電荷之間存在電場力的相互作用。因此，使物體帶電的過程（電場的建立過程）是外力克服電場力作功的過程。由能量守恒與轉(zhuǎn)化定律：外力克服電場力所作的功=帶電系統(tǒng)的靜電能。（如：電容器的充電過程）反過來，帶電系統(tǒng)的靜電能也可以轉(zhuǎn)化為其它形式的能量。（如：閃光燈內(nèi)電容器的放電過程將電能轉(zhuǎn)化為光的能量）1、電容器的儲能公式：電容器的充電過程中，電源克服電場力作功將其它形式的能量（如：化學能）轉(zhuǎn)化為電場能量。t

時刻，極板上電量為q，極板間電勢差為u，電量dq由負極板移至正極板過程中電源作功為：dA

=

udq

=

q

dqC充電至Q時，電容器內(nèi)電場的能量為：CU

212C1

QQU

=Q

2

12C

=

2W

=

qdq

=0稱為電容器的儲能公式。ε+q?quE

例10-6例10-6：電容器C =8μF,充電到1

0U

=120V，移去電源，將C1與C2

=4μF并聯(lián)。求：(1)電容器組的電壓；(2)接通開關(guān)前后系統(tǒng)的能量。C11=

80V=

Q1\

U

=

UC1SC2(1) C1與C2并聯(lián)后：C1充電后的電量：Q0

=

C1U0

=

960

μC021C11Q

=

640

μCC

+

CQ

=(2)

開關(guān)接通前C1的能量：C

U1221

00-2=

5.76

·10

JW

=開關(guān)接通后系統(tǒng)的能量：122211-2=

3.84

·10

J(

C

+

C

)UW

=系統(tǒng)損失能量：-2ΔW

=

W0

-W1

=

1.92

·

10

J損失的能量部分被導線電阻所消耗，部分以電磁波的形式被輻射出去。2、電場的能量和能量密度：ε

ε

E (

Sd

)122d2

d1 1

ε

ε

S ε

ε

S220

r20