基本立體圖形及幾何體的表面積與體積(原卷版)

8.1基本立體圖形及幾何體的表面積與體積思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相且多邊形互相且側(cè)棱相交于，但不一定相等延長(zhǎng)線交于側(cè)面形狀梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，于底面相交于延長(zhǎng)線交于軸截面等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖扇環(huán)2.直觀圖的斜二測(cè)畫法(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為，z′軸與x′軸、y′軸所在平面.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的.3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝S圓錐側(cè)＝S圓臺(tái)側(cè)＝4.簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝球S＝V＝[常用結(jié)論]1.正方體與球的內(nèi)切、外接常用結(jié)論：正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.2.長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，其外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).3.正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長(zhǎng)).4.直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.典型例題分析考向一基本立體圖形和直觀圖角度1結(jié)構(gòu)特征例1給出下列四個(gè)命題，正確的是()A.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱B.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C.側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體D.底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱感悟提升空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.角度2直觀圖例2如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2)＋eq\r(2)感悟提升1.在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段：“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.”2.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原平面圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.角度3展開(kāi)圖例3(1)(2023·福州檢測(cè))在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F(xiàn)是線段A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，則AF＋FC1的最小值為_(kāi)_______.(2)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是________.感悟提升幾何體的表面展開(kāi)圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐、觀察并大膽想象立體圖形與表面展開(kāi)圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀.考向二面積與體積角度1側(cè)面積與表面積例4(2023·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)如圖，一種棱臺(tái)形狀的無(wú)蓋容器(無(wú)上底面A1B1C1D1)模型其上、下底面均為正方形，面積分別為4cm2，9cm2，且A1A＝B1B＝C1C＝D1D.若該容器模型的體積為eq\f(19,3)cm3，則該容器模型的表面積為_(kāi)_______.角度2體積例5(1)(2023·肇慶質(zhì)檢)如圖是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的一個(gè)銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2cm、底面邊長(zhǎng)為1cm的正三棱錐，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為()A.0.25cm3 B.0.65cm3C.0.15cm3 D.0.45cm3(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺的問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(eq\r(7)≈2.65)()×109m3×109m3×109m3×109m3(3)(2023·濰坊模擬)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈.問(wèn)積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD＝3丈，長(zhǎng)AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF與平面ABCD平行，EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是()立方丈立方丈立方丈立方丈(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1－D1MN的體積為_(kāi)_______.感悟提升1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.2.求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，直接利用公式進(jìn)行求解；(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體；(3)等體積法：通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．半徑為1的球的表面積為（

）A． B． C． D．2．如圖所示，是水平放置的的直觀圖，軸，軸，，，則中，（

）A． B． C． D．3．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的的直觀圖如圖所示，則在的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是（

）A．AB B．AD C．BC D．AC4．某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積(單位：cm3)是（

）A． B．C． D．5．若一個(gè)圓錐的高為3，母線與底面所成角為60°，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A．3π B．3π C．6π D．6π6．已知一圓柱的軸截面為正方形，母線長(zhǎng)為6，在該圓柱內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則a的最大值為（

）A． B． C． D．2二、多選題7．下列關(guān)于圓柱的說(shuō)法中正確的是（

）A．圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面C．用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)圓面D．一個(gè)矩形以其對(duì)邊中點(diǎn)的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體是圓柱8．下列命題正確的是（

）A．長(zhǎng)方體是直四棱柱，直四棱柱是長(zhǎng)方體B．有兩個(gè)面平行，其他各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱C．有一個(gè)面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形三、填空題9．半徑為的球的表面積為_(kāi)__________.10．已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和5，圓臺(tái)的高為3，則此圓臺(tái)的體積為_(kāi)_．11．現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體，如果以這個(gè)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為球心，以為半徑作球面，那么該球面被這個(gè)正方體的表面所截得的所有弧長(zhǎng)的和為_(kāi)_________.12．往一球型容器注入cm3的水，測(cè)得水面圓的直徑為cm，水深為cm，若以cm3/s的速度往該容器繼續(xù)注水，當(dāng)再次測(cè)得水面圓的直徑為cm時(shí)，則需經(jīng)過(guò)______s.四、解答題13．作出圓錐的直觀圖.14．如果一個(gè)幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是全等的長(zhǎng)方形，邊長(zhǎng)分別是與.如圖所示，俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形.（1）求該幾何體的表面積；（2）求該幾何體的體積.15．如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑．若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，求的取值范圍．

16．若已知一個(gè)三角形的面積為S，它的直觀圖面積是多少？提升題型訓(xùn)練一、單選題1．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積為，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．6 D．2．已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍颍虻谋砻娣e為，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．3．如圖，一個(gè)水平放置的面積是的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是等腰梯形，其中，則等腰梯形面積為（

）A． B． C． D．4．在三棱錐中，，二面角為直二面角，當(dāng)三棱錐的體積的最大值為時(shí)，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．5．在正三棱錐中，、分別是棱、的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱，則正三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．6．棱長(zhǎng)為2的正方體截去四個(gè)小三棱錐所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是(

)A．4 B． C． D．8二、多選題7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐．已知半球內(nèi)有一個(gè)方錐，方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點(diǎn)在半球的球面上，若方錐的體積為18，則半球的說(shuō)法正確的是（

）A．半徑是3 B．體積為C．表面積為 D．表面積為8．我們把所有棱長(zhǎng)都相等的正棱柱(錐)叫“等長(zhǎng)正棱柱(錐)”，而與其所有棱都相切的稱為棱切球，設(shè)下列“等長(zhǎng)正棱柱(錐)”的棱長(zhǎng)都為1，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．正方體的棱切球的半徑為B．正四面體的棱切球的表面積為C．等長(zhǎng)正六棱柱的棱切球的體積為D．等長(zhǎng)正四棱錐的棱切球被棱錐5個(gè)面(側(cè)面和底面)截得的截面面積之和為三、填空題9．已知正方形的面積為4，其直觀圖是四邊形，則四邊形的面積是____________．10．已知圓錐的表面積為a，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面直徑為_(kāi)_________m．11．四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為_(kāi)_____12．在直三棱柱中，，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是______．四、解答題13．把