黑龍江省大慶市第四高三上學(xué)期第一次檢測數(shù)學(xué)（理）試題2

2020屆黑龍江省大慶市第四高三上學(xué)期第一次檢測數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則等于A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：因為，，所以，故選B.【考點】1、集合的表示；2、集合的交集.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)=∴復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點（1，1）位于第一象限．故選：A．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．已知平面向量，滿足，且，，則向量與的夾角（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)出夾角，根據(jù)?（+）=3，展開由已知和數(shù)量積公式可得夾角的余弦值，由角的范圍確定角.【詳解】設(shè)向量與的夾角為θ，θ∈[0，π]由?（+）=，代入數(shù)據(jù)可得22+2×1×cosθ=3，解之可得cosθ=，故可得θ=.故選：C.【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.4．命題“存在實數(shù)x,，使x>1”的否定是（）A．對任意實數(shù)x,都有x>1 B．不存在實數(shù)x，使x1C．對任意實數(shù)x,都有x1 D．存在實數(shù)x，使x1【答案】C【解析】【詳解】解：特稱命題的否定是全稱命題，否定結(jié)論的同時需要改變量詞．∵命題“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是“對任意實數(shù)x，都有x≤1”故選C．5．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，則（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,∵,∴a1+10d=13a1+d=13，解得a1=?17，d=3.則a9=?17+8×3=7.故選B.6．若偶函數(shù)在上的解析式為，則切點橫坐標(biāo)為1的切線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用函數(shù)是偶函數(shù)，得到時，函數(shù)的表達式，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】解：設(shè)，則，則，因為是偶函數(shù)，所以時，，所以此時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，當(dāng)x=1時，，所以切點坐標(biāo)為(1,0)，所以切線方程為，即.故選：A．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題是真命題的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】D【解析】試題分析：對于A，B選項，可能相交；對于C選項，可能異面，故選D.【考點】空間點線面的位置關(guān)系.8．若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，化簡整理得，又由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得的值，再利用兩角和的正弦函數(shù)的公式，即可化簡求解，得到答案．【詳解】由題意，可知，即，整理得，∵，∴，又由，解得，，∴，故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡、求值問題，其中解答中熟記三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及兩角和的正弦函數(shù)的公式，合理、準(zhǔn)確運算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．函數(shù)是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，則（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由可求出，再由是上的奇函數(shù)即可求出.【詳解】，，是上的奇函數(shù)，.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】由三視圖可知幾何體是個三棱錐，可看作棱長的正方體的一部分，則此幾何體的外接球就是正方體的外接球．

由正方體的外接球半徑與正方體的棱長間的關(guān)系可得外接球半徑．其表面積為．故本題選．

點睛：本題主要考查幾何體的三視圖,空間想象能力.空間幾何體的三視圖是分別從空間幾何體的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖.因此在分析空間幾何體的三視圖時,先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面,然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱,面的位置,再確定幾何體的形狀,即可得到結(jié)果.要能夠牢記常見幾何體的三視圖.11．已知數(shù)列滿足:.若，則數(shù)列的通項公式是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題干得到變形為，故是等比數(shù)列,公比為2，根據(jù)等比數(shù)列的公式得到，進而得到.【詳解】由得所以,故是等比數(shù)列,公比為,,.故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)的計算題，對于等差數(shù)列的小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項和公差，其二是觀察各項間的腳碼關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).12．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)F（x）=，求出導(dǎo)數(shù)，判斷F（x）在R上遞增．原不等式等價為F（lnx）＜F（），運用單調(diào)性，可得lnx＜，運用對數(shù)不等式的解法，即可得到所求解集．【詳解】可構(gòu)造函數(shù)F（x）=，F(xiàn)′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上遞增．不等式f（lnx）＜x2即為＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即為F（lnx）＜F（），由F（x）在R上遞增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集為（0，），故選B．【點睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等二、填空題13．已知，，，則、、從小到大的順序為_______<______<_______．【答案】cba【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性有：,則由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有：，所以故答案為：c，b，a【點睛】本題考查了根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用，屬于基礎(chǔ)題.14．已知正方形邊長為3，點是邊上的動點，則的最大值為______．【答案】9【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義可知在方向上的投影的最大值為3，進一步得到答案.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義得：當(dāng)點在點時，值的最大，此時在方向上的投影為3，又所以的最大值為9.故答案為：9.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的幾何意義，涉及到向量的投影，屬于常見的基礎(chǔ)題型．15．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積.弧田，由圓弧和其所對弦所圍成.公式中“弦”指圓弧對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為，弦長等于9米的弧田.按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與實際面積的差為__________．（實際面積-弧田面積）【答案】【解析】扇形半徑扇形面積等于，弧田面積圓心到弦的距離等于，所以矢長為．按照上述弧田面積經(jīng)驗公式計算，得．∴，按照弧田面積經(jīng)驗公式，計算結(jié)果比實際少平方米．故答案為．16．已知滿足，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前項和公式的方法，可求得__________．【答案】【解析】由

①；得

②；①+②得：．所以．點睛：本題主要考查數(shù)列的求和，用到了類比法，是一道好題目，關(guān)鍵點在于對課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的方法的理解和掌握．等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)主要利用錯位相減法，其關(guān)鍵點是在前項和的等式兩邊同時乘以公比，然后利用錯位相減求出結(jié)果.（錯位相減法：針對數(shù)列（其中數(shù)列分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列（公比）），一般采用錯位相減法求和，錯位相減的一般步驟是:1.…①；2.等式兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比，得到…②；3.最后①-②，化簡即可求出結(jié)果.）三、解答題17．已知向量，，．（1）求的最小正周期；（2）求的增區(qū)間【答案】（1）；（2），【解析】（1）由，將的坐標(biāo)代入可得出，從而得到答案.

（2）由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可直接求出答案.【詳解】由向量，，則所以所以的最小正周期（2）由（1）則所以的增區(qū)間為，【點睛】本題考查向量的運算，三角函數(shù)的化簡運算和三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，屬于中檔題.18．銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根據(jù)邊角互化得，再根據(jù)銳角三角形得；（2）先根據(jù)余弦定理得：，再根據(jù)兩邊平方得，進而得，故.【詳解】解：（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得：，因為，，所以，由于銳角三角形中，，所以.（2）結(jié)合（1）由余弦定理得：，由于，故兩邊平方得：，所以有：，解得：.所以.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化，余弦定理，三角形面積公式，考查運算能力，是中檔題.19．如圖，四棱錐中，底面為正方形，，平面，為棱的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）連接與相交于點，連結(jié)，證明即可；（2）根據(jù)條件證明平面即可；（3）在平面內(nèi)過作直線，由，，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角.【詳解】（1）證明：連接與相交于點，連結(jié)，因為四邊形為正方形，所以為中點，因為為棱中點，所以，因為平面，平面，所以直線平面；（2）證明：因為平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，平面所以平面平面；（3）在平面內(nèi)過作直線，因為平面平面，所以平面，由，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，所以，取，得，又是面的法向量所以，由圖可知二面角的平面角是鈍角，所以二面角的余弦值為．【點睛】本題考查線面平行、面面垂直的證明以及用向量法求二面角，屬于綜合題.20．已知數(shù)列的前項和為，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】(1)先根據(jù)求出遞推關(guān)系式，然后利用等比數(shù)列的定義進行證明；（2）先求出，然后利用裂項相消法求和.【詳解】由可得，當(dāng)時，當(dāng)時，有，將以上兩式相減.,整理得即，所以數(shù)列是等比數(shù)列．（2）由（1）可得所以，，，．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明及數(shù)列求和，等比數(shù)列證明一般是利用定義法，數(shù)列求和一般是根據(jù)通項公式的特點選擇合適的方法求解，屬于中檔題.21．函數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)零點個數(shù)；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍【答案】（1）有一個零點；（2）．【解析】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，分析導(dǎo)函數(shù)取得正負的區(qū)間，得原函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最值和圖象趨勢，可得答案；（2）原不等式等價于，，令，等價于，求導(dǎo)得．分和兩種情況討論所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，得出最值，從而求得的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以時，，在上單調(diào)遞增，時，，在單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)有一個零點．（2）當(dāng)時，等價于，，令，等價于，則．，，，在單調(diào)遞增，因為，所以，不合題意；，，令即，其中，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，因為，，符合題意．當(dāng)，，設(shè)的兩根是，，且，又，所以，所以時，單調(diào)遞增，，不合題意．綜上得，．【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)，根據(jù)不等式的恒成立求參數(shù)的范圍，關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的函數(shù)，求導(dǎo)，研究其導(dǎo)函數(shù)取得正負的區(qū)間，得出原函數(shù)的最值，屬于較難題．22．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，點，以極點為原點，以極軸為軸的