牛頓迭代法實(shí)驗(yàn)

牛頓迭代法實(shí)驗(yàn)第1頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)

x*是方程

f(x)=0的根,x0是x*的近似值.在

x0附近,對(duì)函數(shù)做局部線性化x0x1x*

(n=0,1,2,·····)牛頓迭代格式:第2頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月[X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);Z=X.*exp(-X.^2-Y.^2);pcolor(Z);shadinginterppcolor：用于繪制偽彩色圖Shadinginter使圖形更精細(xì)第3頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月給定初值

z0,產(chǎn)生牛頓迭代數(shù)列z0,z1,z2,·········,

zn,

·······Newton迭代法實(shí)驗(yàn)方程z3–1=0在復(fù)平面上有三個(gè)根(n=0,1,·····)

令

第4頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮正方形區(qū)域牛頓迭代法具有局部收斂性，如果z0使迭代收斂。問迭代數(shù)列將收斂于何處？取定初值實(shí)驗(yàn)將確定初值z(mì)0產(chǎn)生的牛頓迭代數(shù)列收斂于三個(gè)根中哪一個(gè)。第5頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月選擇區(qū)域中規(guī)則網(wǎng)格點(diǎn)(x,y)確定迭代初始值z(mì)=x+iy進(jìn)行實(shí)驗(yàn).將導(dǎo)致收斂的初值z(mì)分為三類,分別標(biāo)以不同顏色(例如紅、黃、藍(lán))。繪出牛頓迭代法對(duì)該方程的收斂域彩色圖。

第6頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月——收斂到

z1初值點(diǎn)集合——收斂到

z2初值點(diǎn)集合——收斂到

z3初值點(diǎn)集合圖1牛頓迭代法收斂區(qū)域第7頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月在復(fù)平面內(nèi),使牛頓迭代不收斂的初值點(diǎn)集構(gòu)成了茹利亞集(為紀(jì)念法國(guó)數(shù)學(xué)家Julia).圖2牛頓迭代法不收斂區(qū)域——不收斂初值點(diǎn)集合第8頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月functionp=newton0(z)ifz==0,p=0;return;endforn=1:10p=z-(z^3-1)/(3*z^2);ifabs(p-z)<0.00001,break;endz=p;end牛頓迭代法子程序第9頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月functionA0=Newtonlab(n)ifnargin==0,n=101;endt=linspace(-2,2,n);[x,y]=meshgrid(t);X=roots([1,0,0,-1]);[A0,A1,A2,A3]=Nlab(x,y,X);A=A0+2*A1+3*A2+4*A3;figure(1),pcolor(x,y,A),shadinginterp

figure(2),pcolor(x,y,A0),

shadinginterp

實(shí)驗(yàn)繪圖主程序第10頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月function[A0,A1,A2,A3]=Nlab(x,y,X);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);Z=x+y*i;[M,N]=size(Z);A0=zeros(M,N);A1=A0;A2=A0;A3=A0;fork1=1:Mfork2=1:Nz=Z(k1,k2);p=newton0(z);%取初值調(diào)用牛頓迭代

ifabs(p-r1)<0.01,A1(k1,k2)=1;elseifabs(p-r2)<0.01,A2(k1,k2)=1;elseifabs(p-r3)<0.01,A3(k1,k2)=1;elseA0(k1,k2)=1;%確定不收斂的初始點(diǎn)

endendend調(diào)用牛頓迭代程序創(chuàng)建矩陣(照片)第11頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月[m,n]=size(A0);N=m*n;II=find(A0==1);N0=length(II);II=find(A1==1);N1=length(II);II=find(A2==1);N2=length(II);II=find(A3==1);N3=length(II);formatbankresults=100*[N0,N1,N2,N3]/N利用矩陣統(tǒng)計(jì)各區(qū)域百分比程序第12頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月functionprop=Newtonlab2(n)ifnargin==0,n=100;endP=rand(n,2);x=4*P(:,1)-2;y=4*P(:,2)-2;Z=x+i*y;A0=[];A1=[];A2=[];A3=[];X=roots([1,0,0,-1]);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);fork=1:nz=Z(k);p=newton0(z);ifabs(p-r1)<0.01,A1=[A1,1];elseifabs(p-r2)<0.01,A2=[A2,1];elseifabs(p-r3)<0.01,A3=[A3,1];else__________________________________;endendN0=sum(A0);N1=sum(A1);N2=sum(A2);N3=sum(A3)formatbankprop=______________________________________;第13頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)驗(yàn)結(jié)果表1.規(guī)則點(diǎn)不收斂域與收斂域百分比分辨率不收斂域收斂域III收斂域II收斂域I51*516.4230.2630.2633.06101*1016.4830.3030.3032.92201*2016.5230.2730.2732.93表2.隨機(jī)點(diǎn)不收斂域與收斂域百分比隨機(jī)點(diǎn)數(shù)不收斂域收斂域III收斂域II收斂域I1006.0027.0031.0036.0010007.1029.7029.1034.10100006.1130.8430.0632.99第14頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)驗(yàn)結(jié)論：方程

z3–1=0在復(fù)平面上有三個(gè)根取正方形區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)確定復(fù)數(shù)為牛頓迭代法初值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,牛頓迭代法具有局部收斂性。至少有6%的點(diǎn)導(dǎo)致牛頓迭代法不收斂;導(dǎo)致牛頓迭代法收斂的點(diǎn)分布于三個(gè)區(qū)域;三個(gè)區(qū)域中分別包含了三個(gè)根,初值點(diǎn)接近于根所在位置,必收斂于附近根;在三個(gè)區(qū)域分界處取初值點(diǎn),可能導(dǎo)致迭代法不收斂.第15頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月不斂域斂域III斂域II