九年級數(shù)學上冊專題03 《配方法解一元二次方程》重難點題型分類（解析版）

/專題03《配方法解一元二次方程》重難點題型分類專題簡介：本份資料專攻《配方法解一元二次方程》中“用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程”、“用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程”、“利用一元二次方程的配方求字母的值”、“利用一元二次方程的配方法解新定義問題”、“配方法的應用”、“一元二次方程的幾何解法”、重點題型；適用于老師給學生作復習培訓時使用或者考前刷題時使用?？键c1：用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程方法點撥：二次項系數(shù)為1時配方法的步驟：（1）找出一次項系數(shù)；（2）加一次項系數(shù)一半的平方，減一次項系數(shù)一半的平方，常數(shù)項不管（加了就要減，不改變原式的大?。唬?）配方處理，合并常數(shù)項，寫成完全平方的形式。1．（2022·云南·紅河縣教育科學研究室九年級期末）用配方法解一元二次方程，變形后的結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先將二次項配成完全平方式，再將常數(shù)項移項，即得答案．【詳解】解：∵，∴，即，故選：D．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關鍵．2．（2022·全國·九年級單元測試）用配方法解方程x2－2x－3＝0，下面配方正確的是（）A．（x－1）2＝4 B．（x－2）2＝3C．（x＋1）2＝4 D．（x＋2）2＝6【答案】A【分析】把常數(shù)項移項后，再在等式的兩邊同時加上1，進行配方．【詳解】由原方程，得x2-2x+1=3+1，即（x-1）2=4．故選A．【點睛】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．3．（2022·山西大同·二模）用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意直接對一元二次方程配方，然后把常數(shù)項移到等號右邊即可．【詳解】解：，移項得：，配方得：，即．故選：B．【點睛】本題考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步驟：把常數(shù)項移到等號的右邊；把二次項的系數(shù)化為1；等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．4．（2022·湖南岳陽·九年級期末）用配方法將方程變?yōu)榈男问剑瑒t________．【答案】5【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方即可求得a、b的值，進而求得a＋b的值．【詳解】解：方程，變形得：x2?2x＝3，配方得：x2?2x＋1＝4，即（x?1）2＝4，∴a＝1，b＝4，∴a＋b＝5故答案為：5．【點睛】此題考查了解一元二次方程?配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．5．（2022·山東泰安·一模）當滿足時，方程的根是________．【答案】【分析】先求出不等式組的解集，再計算方程的解，根據(jù)解集的范圍得到一元二次方程的根．【詳解】解：，解不等式①得x>2，解不等式②得x<6，∴不等式組的解集為2<x<6，∵，∴，解得，∴方程的根是，故答案為．【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，解一元二次方程，正確掌握計算法則及計算順序是解題的關鍵．6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期末）對方程進行配方，得，其中______．【答案】【分析】方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，依此可求m．【詳解】解：由題意得：m=，故答案為：．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．7．（2022·安徽銅陵·九年級期末）解一元二次方程：【答案】，【分析】先配方，然后開方求解即可．【詳解】解：解得，∴方程的解為，．【點睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關鍵在于熟練掌握配方法解一元二次方程．8．（2021·貴州銅仁·九年級期末）商場某品牌運動鞋每雙進價120元，在試銷期間發(fā)現(xiàn)，當每雙售價130元時，每天可銷售70雙，當每雙售價高于130元時，每漲價1元，日銷售量就減少1雙，據(jù)此規(guī)律，請回答：（1）當每雙鞋售價定為170元時，每天可銷售多少雙鞋？商場獲得的日盈利是多少元？（2）在上述條件不變，運動鞋銷售正常的情況下，每雙鞋的銷售價定為多少元時，商場日盈利可達到1600元？【答案】（1）每天可銷售30雙鞋子，商場獲得的日盈利是1500元；（2）每雙鞋子的售價為160元時，商場日盈利達到1600元．【分析】（1）首先求出每天可銷售商品數(shù)量，然后可求出日盈利．（2）設商場日盈利達到1600元時，每件商品售價為x元，根據(jù)每件商品的盈利×銷售的件數(shù)=商場的日盈利，列方程求解即可．【詳解】解：（1）當每件商品售價為170元時，比每件商品售價130元高出40元，即170130=40（元），則每天可銷售30雙鞋，即7040=30（雙），商場可獲日盈利為（170120）×30=1500（元）．答：每天可銷售30雙鞋子，商場獲得的日盈利是1500元．（2）設商場日盈利達到1600元時，每雙鞋的售價為x元，則每雙鞋子比130元高出（x-130）元，每雙可盈利（x120）元每日銷售鞋子為：70（x130）=200x（雙）依題意得方程（200x）（x120）=1600整理，得x2320x+25600=0，即（x160）2=0解得：x=160答：每雙鞋子的售價為160元時，商場日盈利達到1600元．【點睛】解與變化率有關的實際問題時：（1）注意變化率所依據(jù)的變化規(guī)律，找出所含明顯或隱含的等量關系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增長率）n=現(xiàn)有量，n表示增長的次數(shù)．考點2：用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程方法點撥：（1）明確二次項系數(shù)；（2）提出系數(shù)（注意不是去掉），是將二次項系數(shù)提出來，包括一次項一起放入括號，常數(shù)項可不管，仍然放括號外面；（3）按照系數(shù)為1時配方法進行操作；（4）寫成完全平方形式，處理常數(shù)項。1．（2022·安徽宿州·九年級期末）慧慧將方程2x2+4x﹣7＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+n）2＝p的形式，則p的值為（）A．7 B．8 C．3.5 D．4.5【答案】D【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【詳解】解：∵2x2+4x-7=0，∴2x2+4x=7，∴x2+2x=，∴x2+2x+1=+1，∴（x+1）2=，則p==4.5，故選：D．【點睛】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．2．（2020·吉林長春·九年級期中）若用配方法解方程，通常要在此方程兩邊同時加上一個“適當”的數(shù)，則下面變形恰當?shù)氖牵ǎ〢． B．C． D．【答案】C【分析】把原方程變形為，將2x看成未知數(shù)，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方即可．【詳解】解：方程變形為，∴故選：C【點睛】本題考查了解一元二次方程的應用，關鍵是能正確配方．3．（2022·湖南永州·九年級期末）將方程配方變形后所得方程正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】把常數(shù)項移到等號的右邊得，，二次項系數(shù)化為，得，配方，方程左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方得，，所以，即，故選：．4．（2021·江蘇連云港·九年級階段練習）方程配成的形式為_______________．【答案】【分析】根據(jù)配方法的一般步驟計算：(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；(2)把二次項的系數(shù)化為1；(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【詳解】解：∵3x2?8x?3=0，∴3x2?8x=3，∴，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．5．（2021·河北承德·九年級期末）用配方法解方程，將方程變?yōu)榈男问?，則_____．【答案】1【分析】先整理方程，然后再運用完全平方公式配方即可解答．【詳解】解：3x2-6x+2=0，，即m=1．故填1．【點睛】本題主要考查了運用配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．6．（2022·山東淄博·九年級期中）（1）請用配方法解方程；（2）請用配方法解一元二次方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先將兩邊同時除以二次項系數(shù)；再移項，將常數(shù)項移到右邊；左右兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，將左邊寫成完全平方式，最后再直接開平方；（2）先將兩邊同時除以二次項系數(shù)；再移項，將常數(shù)項移到右邊；左右兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，將左邊寫成完全平方式，最后再直接開平方；【詳解】解：（1）兩邊同時除以2得：，移項得：，兩邊同時加上得：，配方得：，解得：；（2）兩邊同時除以得：，移項得：，兩邊同時加上得：，配方得：，當時，解得：，當時，，當時，該方程無實數(shù)根．【點睛】本題主要考查用配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確運用，在含字母參數(shù)時要注意是否需要分類討論．7．（2021·河南南陽·九年級期末）下面是聰聰同學解一元二次方程的過程，請認真閱讀并完成相應任務．．解：，…………………第一步，……………第二步，即，………………第三步，………………第四步．………………第五步(1)任務一：填空：①以上解方程的步驟中，第______步利用完全平方公式配方．②第______步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是______．(2)任務二：請直接寫出該一元二次方程的正確解．(3)任務三：除上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，寫出一條利用配方法解一元二次方程時要注意的事項．【答案】(1)①三；②四，開平方時有兩個平方根，過程中只寫出了一個；(2)，；(3)答案不唯一，如移項要變號．【分析】（1）①根據(jù)完全平方公式即可得出答案，②由一個正數(shù)有兩個平方根，從而得出答案；（2）根據(jù)配方法求解一元二次方程即可得出答案；（3）根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟即可得出配方時的注意事項．(1)解：①由完全平方公式可得，，第三步利用完全平方公式配方；②一個正數(shù)有兩個平方根，過程中只寫出了一個平方根，第四步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是開平方時有兩個平方根，過程中只寫出了一個；故答案為：①三；②四，開平方時有兩個平方根，過程中只寫出了一個；(2)解：．，，，即，，，，(3)解：因為利用配方法求解一元二次方程的步驟為：①把原方程化為一般形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；.⑤進一步通過直接開平方法求出方程的解，如果右邊是非負數(shù)，則方程有兩個實根；如果右邊是一個負數(shù)，則方程有一-對共軛虛根．所以利用配方法解一元二次方程時要注意的事項不唯一，可以是移項時要變號，也可以是開平方時有兩個平方根等．【點睛】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．考點3：利用一元二次方程的配方求字母的值方法點撥：配?法在求值中的應?，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平?式后，再運??負數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．1．（2022·山東淄博·八年級期中）已知方程，等號右側(cè)的數(shù)字印刷不清楚，若可以將其配方成的形式，則印刷不清楚的數(shù)字是（

）A．6 B．9 C．2 D．【答案】C【分析】設印刷不清的數(shù)字是a，根據(jù)完全平方公式展開得出x2-2px+p2=7，求出x2-2px+4=11-p2，再根據(jù)題意得出-2p=-6，a=11-p2，最后求出答案即可．【詳解】設印刷不清的數(shù)字是a，（x-p）2=7，x2-2px+p2=7，∴x2-2px=7-p2，∴x2-2px+4=11-p2，∵方程x2-6x+4=□，等號右側(cè)的數(shù)字印刷不清楚，可以將其配方成（x-p）2=7的形式，∴-2p=-6，a=11-p2，∴p=3，a=11-32=2，即印刷不清的數(shù)字是2，故選：C．【點睛】本題考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p=-6是解此題的關鍵．2．（2022·廣西河池·九年級期末）若將方程化為，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．【詳解】解：由可得：，即，所以a＝2，故選：A．【點睛】本題考查配方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用配方法，本題屬于基礎題型．3．（2022·福建泉州·九年級期末）若把方程化為的形式，則的值是（

）A．5 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)配方法求解即可．【詳解】解：將配方得，，則，故選A．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關鍵．4．（2022·云南文山·九年級期末）若將一元二次方程化成的形式，則和的值分別是（

）A．、 B．、 C．、 D．3、．【答案】B【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：配方得：即和的值分別是、故選B【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關鍵．5．（2022·遼寧丹東·九年級期末）將方程配方成的形式為______．【答案】【分析】先將-9移到等號右邊變成，然后等號左右兩邊同時除以2得到，最后等號左右兩邊同時加上1，再把左邊變成完全平方的形式即可．【詳解】解：

故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的配方，掌握如何配方是解題關鍵．6．（2022·重慶合川·九年級期末）已知是關于x的方程的一個根，則實數(shù)______．【答案】3【分析】根據(jù)題意可將代入中，解出m的值即可．【詳解】將代入，得：，解得：．故答案為：3．【點睛】本題考查一元二次方程的解與解一元二次方程．掌握方程的解即是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關鍵．7．（2021·江蘇南京·九年級期中）若x2+4x+6＝（x+1）2+a（x+1）+b，則2a+b＝__．【答案】7【分析】利用配方法得到x2+4x+6＝x2+2x+1+2x+2+3＝（x+1）2+2（x+1）+3，然后利用已知的等量關系可確定a、b、c的值．【詳解】解：x2+4x+6＝x2+2x+1+2x+2+3＝（x+1）2+2（x+1）+3，而x2+4x+6＝（x+1）2+a（x+1）+b，所以a＝2，b＝3，故2a+b＝2×2+3＝7．故答案為：7．【點評】本題考查了配方法的應用：理解配方法的理論依據(jù)是公式a2+2ab+b2＝（a+b）2是解題的關鍵．考點4：利用一元二次方程的配方法解新定義問題方法點撥：配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．解題時還要注意審題，學會學以致用．1．（2021·山東濱州·三模）新定義：關于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0與a2(x﹣m)2+k＝0稱為“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0與3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．現(xiàn)有關于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0與(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代數(shù)式ax2+bx+2026能取的最小值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．2018【答案】B【分析】根據(jù)同族二次方程，可得出a和b的值，從而解得代數(shù)式的最小值．【詳解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0與（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，∴，解得：，∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，則代數(shù)式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．故選：B．【點睛】此題主要考查了配方法的應用，解二元一次方程組的方法，理解同族二次方程的規(guī)律是解答本題的關鍵．2．（2021·河南安陽·八年級期末）對于有理數(shù)，，定義：當時，；當時，．若，則的值為______．【答案】36【分析】根據(jù)與40的大小，再根據(jù)，從而確定m，n的值即可得出的值．【詳解】解：∵，∴40≤；∴∴（m+6）2+（n-2）2≤0，∵（m+6）2+（n-2）20，∴m+6=0，n-2=0，∴m=-6，n=2，∴故答案為：36．【點睛】本題考查了配方法的應用和非負數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意理解新定義的計算公式是解題的關鍵．3．（2020·江蘇·揚州市梅嶺中學九年級期中）對于實數(shù)，我們定義一種運算“”為：化簡：；解關于的方程【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題目定義的運算利用乘法公式化簡原式；（2）列出方程，用配方法解一元二次方程．【詳解】解：（1）∵，；（2），，，，．【點睛】本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是掌握解一元二次方法的方法．4．（2021·全國·九年級專題練習）規(guī)定一種新的運算△：a△b＝a（a+b）+a﹣b．例如，1△2＝1×（1+2）+1﹣2＝2．（1）10△12＝．（2）若x△3＝﹣7，求x的值．（3）求代數(shù)式﹣2x△4的最小值．【答案】（1）218；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)a△b=a（a+b）+a-b列出運算式子，根據(jù)有理數(shù)的運算法則進行計算即可；（2）若x△3=-7，則x（x+3）+x-3=-7，解一元二次方程即可得；（3）根據(jù)a△b=a（a+b）+a-b，可得-2x△4=-2x（-2x+4）-2x-4，據(jù)此求出-2x△4的最小值是多少即可．【詳解】解：（1）∵a△b＝a（a+b）+a﹣b，∴10△12＝10×（10+12）+10﹣12＝218，故答案為：218；（2）∵x△3＝﹣7，∴x（x+3）+x﹣3＝﹣7，∴x2+4x+4＝0，解得，故x的值為；（3）∵a△b＝a（a+b）+a﹣b，∴﹣2x△4＝﹣2x（﹣2x+4）﹣2x﹣4＝4x2﹣10x﹣4＝（2x﹣2.5）2﹣10.25由偶次方的非負性得：當2x﹣2.5＝0，即x＝1.25時，﹣2x△4取最小值，最小值是．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算，同時還考查了解一元二次方程的應用．考點5：配方法的應用方法點撥：將一元二次方程配成的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．1．（2022·全國·九年級單元測試）一元二次方程x2+4x-1＝0經(jīng)過配方后可變形為（

）A．(x-2)2＝3 B．(x-2)2＝5C．(x+2)2＝3 D．(x+2)2＝5【答案】D【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后可得答案．【詳解】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，則x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，故選：D．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．2．（2022·云南昆明·九年級期末）把一元二次方程x2+12x+27＝0，化為(x+p)2+q＝0的形式，正確的是（）A．(x﹣6)2﹣9＝0 B．(x+6)2﹣9＝0C．(x+12)2+27＝0 D．(x+6)2+27＝0【答案】B【分析】利用完全平方公式進行判斷．【詳解】解：∵x2+12x+27=0，∴x2+12x+62-62+27=0，∴（x+6）2-9=0．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的變形，需要學生了解配方法的步驟并將方程進行正確變形，解題關鍵是了解配方法.3．（2022·福建省廈門集美中學一模）把方程化成（a，b為常數(shù)）的形式，a，b的值分別是（

）．A．2，7 B．2，5 C．，7 D．，5【答案】C【分析】利用配方法將一元二次方程進行化簡變形即可得．【詳解】解：，，，，∴，，故選：C．【點睛】題目主要考查利用配方法將一元二次方程進行變形，熟練掌握配方法是解題關鍵．4．（2022·全國·九年級單元測試）利用配方法填空：x2-x+_______=．【答案】【分析】根據(jù)配方法，若二次項系數(shù)為1，則常數(shù)項是一次項系數(shù)的一半的平方．【詳解】解：x2-x+=．故答案為：．【點睛】此題考查了配方法的應用；解題時要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．5．（2022·江蘇常州·九年級階段練習）已知實數(shù)滿足x2＋3x﹣y﹣3＝0，則x＋y的最小值是______．【答案】-7【分析】由已知可得y關于x的表達式，把y的表達式代入x+y中得關于x的二次三項式，利用配方法即可求得最小值．【詳解】∵x2＋3x﹣y﹣3＝0∴∴∵∴∴x+y的最小值為-7故答案為：-7【點睛】本題考查了配方法在求二次三項式最值中的應用，根據(jù)已知條件變形代入得到x+y為關于x的表達式，然后配方是關鍵．6．（2022·福建福州·二模）若，則的最小值是__________．【答案】【分析】由，得，代入中得關于n的二次三項式，配方即可求得最小值．【詳解】由，得∴∴的最小值是?1故答案為：?1【點睛】本題考查了配方法的應用，關鍵是把m用n的代數(shù)式表示并代入，然后配方．7．（2022·廣西南寧·一模）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為，，，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值是_________．【答案】【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式，根據(jù)完全平方公式的變形即可求出解．【詳解】解：∵，p=3，c=2，∴，∴a+b=4，∴a=4?b，∴∴當b=2時，S有最大值為．【點睛】本題考查了二次根式與完全平方公式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，表示出相應的三角形的面積．8．（2022·寧夏·彭陽縣教學研究室一模）【閱讀材料】把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：對于．(1)用配方法因式分解：；(2)對于代數(shù)式，有最大值還是最小值？并求出的最大值或最小值．【答案】(1)(2)代數(shù)式有最大值，最大值為【分析】（1）先用配方法，再用平方差公式分解即可；（2）先利用配方法變形，根據(jù)偶次方的非負性可知最小值，繼而即可求得的最大值．(1)；(2)∵，∴當時，即有最小值-8，∴代數(shù)式有最大值，最大值為．【點睛】本題考查配方法在因式分解中的應用及代數(shù)式求值，解題的關鍵是熟練掌握配方法．9．（2022·云南昆明·一模）我們可以用以下方法求代數(shù)式的最小值．∵∴∴當時，有最小值．請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時x的值；(3)求證：無論x和y取任何實數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．【答案】(1)-2(2)當時，有最大值(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題中所給方法進行求解即可；（2）由題中所給方法可得，然后問題可求解；（3）由題意可得，進而問題可求解．(1)解：由題意得：，∵∴∴當時，有最小值．(2)解：由題意得：，∵∴∴當時，有最大值．(3)解：由題意得：==；∵∴，∴無論x和y取任何實數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．【點睛】本題主要考查配方法的應用及完全平方公式，熟練掌握配方法及完全平方公式是解題的關鍵．10．（2022·福建省漳州第一中學八年級期中）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法如：①利用配方法分解因式：．解：原式②，利用配方法求M的最小值．解：原式∵，，∴，∴當時，M取得最小值，且最小值為1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)用配方法因式分解：；(2)若，求N的最值．【答案】(1)(2)-2【分析】（1）根據(jù)題意，利用配方法將轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合平方差公式解答；（2）由題意，利用配方法將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)平方的非負性解答．(1)解：原式(2)∵又∵，，∴，∴N的最小值為．【點睛】本題考查配方法的應用，涉及平方差公式，平方的非負性等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．考點6：一元二次方程的幾何解法方法點撥：一元二次方程的幾何解法就是利用幾何圖形來配方,通過構造一個巧妙的正方形,進而利用等面積法分離變量,得到含未知數(shù)項的平方是多少,然后通過開平方運算,把一元二次方程成功轉(zhuǎn)化為2個一元一次方程,最終解得方程的根。1．（2022·山東德州·二模）如圖1，將一張長20cm，寬10cm的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋長方體紙盒，紙盒底面積為，則該有蓋紙盒的高為（

）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【分析】設當紙盒的高為xcm時，紙盒的底面積是48cm2，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面積是48cm2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設當紙盒的高為xcm時，紙盒的底面積是48cm2，依題意，得：，化簡，得：x2-15x+26=0，解得：x1=2，x2=13．當x=2時，10-2x=6＞0，符合題意；當x=13時，10-2x=-16＜0，不符合題意，舍去，答：若紙盒的底面積是48cm2，紙盒的高為2cm．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．2．（2022·貴州畢節(jié)·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是由四個全等的直角三角形拼成.若四邊形ABCD的面積為13，中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，則（

）A．12 B．13 C．24 D．25【答案】D【分析】根據(jù)a+1=b和勾股定理建立方程，再解出a即可．【詳解】解：由圖可得：b=a+1，由勾股定理得：，即，解得，∴b=3，故選D．【點睛】本題考查勾股定理和一元二次方程在幾何題中的應用，掌握這些知識點是關鍵．3．（2022·浙江金華·二模）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”，圖1是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．連接圖1中相應的頂點得到圖2，記陰影部分的面積為，空白部分的面積為，若大正方形的邊長為，，則小正方形的邊長為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】如圖2，由題意可設，，則可以用表示出，又由于大正方形的邊長為，可得，與構成方程組，可求出，從而得到的值，然后在中，利用勾股定理列出關于的方程，然后解方程即可．【詳解】解：如圖2，設，，∴，∴，∵大正方形的邊長為，，∴，∴，解得：，∴，解得：，（舍去），在中，，∴，解得：，（舍去），∴小正方形的邊長為．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，三角形的面積，正方形的面積，二元一次方程組，一元二次方程等知識．設出參數(shù)，用參數(shù)表示出線段或者面積，利用勾股定理列方程，是解決本題的關鍵．4．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，正方形ABCD的邊長是1，點M，N分別在BC，CD上，使得△CMN的周長為2，則△MAN的面積最小值為____．【答案】【分析】如圖，延長CB至L，使BL＝DN，則Rt△ABL≌Rt△AND，故AL＝AN，進而求證△AMN≌△AML，即可求得∠MAN＝∠MAL＝45°設CM＝x，CN＝y(tǒng)，MN＝z，根據(jù)x2+y2＝z2，和x+y+z＝2，整理根據(jù)△＝4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0可以解題．【詳解】解：延長CB至L，使BL＝DN，則Rt△ABL≌Rt△ADN，故AL＝AN，∵CM+CN+MN＝2，CN+DN+CM+BM＝1+1＝2，∴MN＝DN+BM＝BL+BM＝ML，∴△AMN≌△AML（SSS），設CM＝x，CN＝y(tǒng)，MN＝zx2+y2＝z2，∵x+y+z＝2，則x＝2﹣y﹣z∴（2﹣y﹣z）2+y2＝z2，整理得2y2+（2z﹣4）y+（4﹣4z）＝0，∴△＝4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0，即（z+2﹣2）（z+2+2）≥0，又∵z＞0，∴z≥2﹣2此時S△AMN＝S△AML＝ML?AB＝z因此，當z＝2﹣2，S△AMN取到最小值為﹣1．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應用，考查了正方形各邊相等，各內(nèi)角是直角的性質(zhì)，本題求證三角形全等是解題的關鍵．5．（2022·湖北武漢·模擬預測）將圖1中的矩形和正方形紙片沿圖2中的虛線剪成5塊，再用這5塊拼接成如圖3所示矩形，其中陰影部分為空余部分，若AB=2AD，則的值為________.【答案】【分析】如圖，設FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先證明x=3b-2a，利用相似三角形的性質(zhì)構建關系式，即可解決問題．【詳解】解：如圖，設FH=EJ=AK=x，則PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，∴CD=2a-b，∵KQ=PF，∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，∴x=3b-2a，∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，∴∠EFH=∠FTP，∴△EHF∽△FPT，∴，∴，整理得，3b2-15ab+14a2=0，∴b=a，∵4a-2b＞0，∴＜2，∴=．故答案為：．【點睛】本題考查圖形拼剪，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2022·上?！ぐ四昙壠谥校﹦诩颊n上某小組的同學們要用40厘米長的鋁合金材料加工成長方形的框架．分別在下列條件下，求相鄰兩邊的長．(1)面積為36平方厘米；(2)面積為100平方厘米；(3)面積為120平方厘米．【答案】(1)2厘米，18厘米(2)均為10厘米(3)不存在【分析】設長方形框架的一邊長為x厘米，則另一邊長為（20﹣x）厘米．（1）根據(jù)矩形的面積公式得到方程x（20﹣x）＝36，通過解該方程求得x的值，然后求（20﹣x）的值即可；（2）根據(jù)矩形的面積公式得到方程x（20﹣x）＝100，通過解該方程求得x的值，然后求（20﹣x）的值即可；（3）根據(jù)矩形的面積公式得到方程x（20﹣x）＝120，結(jié)合根的判別式進行解答．(1)設長方形框架的一邊長為x厘米，則另一邊長為（20﹣x）厘米．根據(jù)題意，得方程x（20﹣x）＝36，整理，得x2﹣20x＋36＝0，解得x1＝18，x2＝2，經(jīng)檢驗，x1、x2都符合實際意義．當x＝18時，20﹣x＝2；當x＝2時，20﹣x＝18．答：長方形的鄰邊長為2厘米，18厘米；(2)設長方形框架的一邊長為x厘米，則另一邊長為（20﹣x）厘米．根據(jù)題意，得方程x（20﹣x）＝100，整理，得x2﹣20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10，經(jīng)檢驗，x＝10符合實際意義．當x＝10時，20﹣x＝10，答：長方形的鄰邊長均為10厘米；(3)設長方形框架的一邊長為x厘米，則另一邊長為（20﹣x）厘米．根據(jù)題意，得方程x（20﹣x）＝120，整理，得x2﹣20x＋120＝0，∵?＝400﹣480＝﹣80＜0，∴此方程無實數(shù)根．答：用40厘米長的材料加工成長方形框架，面積不可能120平方厘米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．7．（2022·上?！ぐ四昙壠谥校┮粡埉嬈L20厘米、寬16厘米，要在畫片的外面鑲上一條同樣寬的金色紙條，使金色紙條的面積是畫片面積的，求金色紙條的寬．【答案】1厘米【分析】設金色紙邊的寬度為x厘米，則掛圖的長為（20＋2x）厘米，寬就為（16＋2x）厘米，根據(jù)題目條件列