八年級數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清511.2.1 第二課時 直角三角形的兩銳角互余含解析

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八年級數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清

十一章三角形

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1第二課時直角三角形的兩銳角互余

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.知道直角三角形兩銳角互余

2.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形

3.能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進行簡單的計算和推理.

老師對你說：

1.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余.

直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角ABC可以寫成Rt△ABC.

定理應(yīng)用格式：在Rt△ABC中，∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°.

2.直角三角形的判定：

有兩個角互余的三角形是直角三角形.

定理應(yīng)用格式：

∵∠A+∠B=90°，

∴△ABC是直角三角形.

基礎(chǔ)提升教材核心知識點精練

知識點1：直角三角形的兩銳角互余

【例1-1】①.如圖(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于點O，∠A與∠D有什么關(guān)系？請說明理由.

②如圖(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，∠A與∠C有什么關(guān)系？請說明理由.

【例1-2】如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？

知識點2：有兩個角互余的三角形是直角三角形

【例2-1】如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？

【例2-2】如圖所示，有一個三角尺（足夠大），其中，把直角三角尺放置在銳角上，三角尺的兩邊恰好分別經(jīng)過點．

(1)若，則_________°，__________°，___________°；

(2)若，求的度數(shù)；

(3)請你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

知識點3：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進行簡單的計算和推理.

【例3-1】如圖，一把直尺的一邊緣經(jīng)過直角三角形的直角頂點，交斜邊于點；直尺的另一邊緣分別交、于點、，若，，則度．

【例3-2】如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF分別是∠BAC，∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．

能力強化提升訓(xùn)練

如圖，，直線與，分別相交于點，，平分，平分．

求證：是直角三角形；

若，求的度數(shù)．

2.如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O．

（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度數(shù)．

（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度數(shù)．

（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），則∠DAE＝．（用含α、β的式子表示）

3.如圖，△ABC中，∠B=∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．

4.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點F．

(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；

(2)試說明：∠AEF＝∠AFE．

堂堂清

填空題（每小題4分，共32分）

1.已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，則∠B的度數(shù)是（）

A．30°B．35°C．40°D．50

在下列條件中：

①∠A+∠B=∠C；

②∠A：∠B：∠C=1：2：3；

③∠A=2∠B=3∠C；

④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

3.如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

4.在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝40°，則△ABC的形狀是（）

等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形

5.在下列條件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

6.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．下列結(jié)論中，不一定成立的是（）

A．∠A與∠1互余B．∠B與∠2互余C．∠A＝∠2D．∠1＝∠2

7.給定下列條件，不能判定三角形是直角三角形的是（）

A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．∠A+∠B＝∠C

C．∠A∠B∠CD．∠A＝2∠B＝3∠C

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，則∠DAE的度數(shù)為（）度．

A．23B．28C．52D．56

填空題（每小題4分，共20分）

9.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足為D．若∠A=32°，則∠BCD=__________°．

10.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=60°，那么∠A=__________°．

11.具備下列條件的：；；；其中，不是直角三角形的是填序號．

12.如圖，將一張直角三角形紙片剪去直角后，得到一個四邊形，則。

13.如圖，把一副直角三角板如圖那樣擺放在平行直線AB，CD之間，∠EFG＝30°，∠MNP＝45°．則：①EG∥PM；②∠AEG＝45°；③∠BEF＝75°；④∠CMP＝∠EFN．其中正確的序號是__________

解答題（共6小題，48分）

14.（7分）如圖△ABC中，∠A=90°，點D在AC邊上，DE∥BC，若∠ADE=155°，求∠B的度數(shù)．

15.（9分）如圖所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH與AC相交于點E，仔細(xì)觀察圖形，回答以下問題：

（1）圖中有幾個直角三角形？

（2）∠AEH和∠B是什么關(guān)系？為什么？

（3）若∠B＝70°，∠A和∠CED各是多少度？

16.（7分）如圖，已知D是線段BC的延長線上一點，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求證：△AOE是直角三角形．

17.（8分）如圖，在直角中，，，于，是的角平分線．

求的度數(shù)；

若，求證：．

18（8分）如圖，有一塊直角三角尺放置在上，恰好三角尺的兩條直角邊，分別經(jīng)過點，．中，，則__________，．

如圖，改變直角三角尺的位置，使三角尺的兩條直角邊，仍然分別經(jīng)過點，，那么的大小是否變化若變化，請舉例說明若不變化，請求出的大小．

19.（9分）把直角三角形OAB與直角三角形O'CD如圖1放置，直角頂點O與O′重合在一起，點D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．現(xiàn)將△O'CD固定，△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α（0°≤α＜90°），OB與DC交于點E．

（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，若OA∥CD時，則α＝；若AB∥OC時，則α＝；請寫出證明過程．

（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△ODE有兩個角相等時，α＝；請說明理由．

拓展培優(yōu)*沖刺滿分

閱讀并填空將三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（點P在△ABC內(nèi)），如圖1所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經(jīng)過點B和點C．我們來探究：∠ABP與∠ACP是否存在某種數(shù)量關(guān)系．

（1）特例探索：

若∠A＝50°，則∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；

（2）類比探索：

∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是；

（3）變式探索：

如圖2所示，改變?nèi)浅叩奈恢?，使點P在△ABC外，三角尺的兩邊PM、PN仍恰好經(jīng)過點B和點C，則∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是．

2.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，在CA的延長線上取一點E，過點E作EG⊥BC于點G，EG交于AB于點F，∠ABC、∠CEG的角平分線相交于點H．

（1）求證：∠C+∠BFE＝180°；

（2）延長EH交BC于點M，隨著∠C的變化，∠BHE的大小會發(fā)生變化嗎？如果有變化，求出∠BHE與∠C的數(shù)量關(guān)系；如果沒有變化，求出∠BHE的度數(shù)．

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十一章三角形

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1第二課時直角三角形的兩銳角互余（解析版）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.知道直角三角形兩銳角互余

2.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形

3.能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進行簡單的計算和推理.

老師對你說：

1.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余.

直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角ABC可以寫成Rt△ABC.

定理應(yīng)用格式：在Rt△ABC中，∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°.

2.直角三角形的判定：

有兩個角互余的三角形是直角三角形.

定理應(yīng)用格式：

∵∠A+∠B=90°，

∴△ABC是直角三角形.

基礎(chǔ)提升教材核心知識點精練

知識點1：直角三角形的兩銳角互余

【例1-1】①.如圖(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于點O，∠A與∠D有什么關(guān)系？請說明理由.

②如圖(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，∠A與∠C有什么關(guān)系？請說明理由.

①.解：∠A=∠D.理由如下：

方法一：(利用平行的判定和性質(zhì))

∵∠B=∠C=90°，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠D.

方法二：(利用直角三角形的性質(zhì))

在Rt△AOB和Rt△COD中，

∵∠B=∠C=90°，

∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°，

∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠D.

②解：∠A=∠C.理由如下：

在Rt△AOB和Rt△COD中，

∵∠B=∠D=90°，

∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°，

∵∠AOB=∠COD，

∴∠A=∠C.

【點評】兩個探究活動的設(shè)計讓學(xué)生在活用直角三角形性質(zhì)的同時，有圖形歸納總結(jié)初中幾何的基本圖形，由形得數(shù)量，讓學(xué)生學(xué)會在復(fù)雜圖形中找到基本圖形，掌握基本解題策略。

【例1-2】如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？

解：∠ACD=∠B.理由如下：

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

∴∠B+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠B.

知識點2：有兩個角互余的三角形是直角三角形

【例2-1】如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？

解：△ABD是直角三角形.理由如下：

∵CE⊥AD，

∴∠CED=90°，

∴∠C+∠D=90°.

∵∠A=∠C，

∴∠A+∠D=90°，

∴△ABD是直角三角形.

【例2-2】如圖所示，有一個三角尺（足夠大），其中，把直角三角尺放置在銳角上，三角尺的兩邊恰好分別經(jīng)過點．

(1)若，則_________°，__________°，___________°；

(2)若，求的度數(shù)；

(3)請你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(1)解：∵∠A=35°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=145°；

∵∠BDC=90°，

∴∠DBC+∠DCB=90°，

∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=55°，

故答案為：145°；90°；55°；

(2)解：∵∠A=60°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°；

∵∠BDC=90°，

∴∠DBC+∠DCB=90°，

∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=30°；

(3)解：∠ABD+∠ACD+∠A=90°，理由如下：

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A；

∵∠BDC=90°，

∴∠DBC+∠DCB=90°，

∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=180°-∠A-90°，

∴∠ABD+∠ACD+∠A=90°．

知識點3：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進行簡單的計算和推理.

【例3-1】如圖，一把直尺的一邊緣經(jīng)過直角三角形的直角頂點，交斜邊于點；直尺的另一邊緣分別交、于點、，若，，則度．

【答案】

【解析】解：，，

，

，

，

，

．

故答案為：．

先利用平行線的性質(zhì)求出，再利用平角的定義求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

即可．

【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

【例3-2】如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF分別是∠BAC，∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．

解：∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，

∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝60°

又∵AE，BF分別是∠BAC，∠ABC的平分線，

∴，，

∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝5°，

∵BF是∠ABC的角平分線

∴∠ABO＝30°

∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°

能力強化提升訓(xùn)練

1.如圖，，直線與，分別相交于點，，平分，平分．

求證：是直角三角形；

若，求的度數(shù)．

【答案】解：，

，

又平分，平分，

，

，

是直角三角形；

是直角三角形，，

，

又平分，

．

【解析】本題考查了平行線性質(zhì)，角平分線定義的運用，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．

根據(jù)平行線的性質(zhì)，由得到，再根據(jù)角平分線定義得，然后計算出，根據(jù)垂直的定義即可得到是直角三角形；

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義進行計算即可．

2.如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O．

（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度數(shù)．

（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度數(shù)．

（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），則∠DAE＝．（用含α、β的式子表示）

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，再由AE是角平分線，求出∠EAC∠BAC＝25°，由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝5°；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得∠OAB∠BAC，∠OBA∠ABC，所以∠BOE＝∠OAB+∠OBA（∠BAC+∠ABC）（180°﹣∠C）（180°﹣70°）＝55°；

（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC＝180°﹣α﹣β，再由AE是角平分線，求出∠EAC（180°﹣α﹣β），由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣β，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）（β﹣α）．

【解答】解：（1）∠ABC＝60°，∠C＝70°

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，

∵AE是角平分線，

∴∠EAC∠BAC50°＝25°，

∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，

∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°；

（2）∵AE，BF是角平分線，

∴∠OAB∠BAC，∠OBA∠ABC，

∴∠BOE＝∠OAB+∠OBA（∠BAC+∠ABC）（180°﹣∠C）（180°﹣70°）＝55°；

（3）∠ABC＝α，∠C＝β，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β，

∵AE是角平分線，

∴∠EAC∠BAC（180°﹣α﹣β），

∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣β，

∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）（β﹣α）．

故答案為（β﹣α）．

【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件。

3.如圖，△ABC中，∠B=∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．

【解析】∵∠AFD=152°，

∴∠DFC=28°，

∴∠B=∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，

∴∠EDB=∠DFC=28°，

∴∠EDF=180°﹣∠EDB﹣∠FDC=180°﹣90°﹣28°=62°．

4.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點F．

(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；

(2)試說明：∠AEF＝∠AFE．

(1)解：∵AD⊥BC，

∴∠ABD+∠BAD＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，

∴∠ABD＝∠CAD＝36°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠ABC＝18°，

∴∠AEF＝90°-∠ABE＝72°.

(2)證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，

∴∠AEF＝∠BFD，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠AEF＝∠AFE．

堂堂清

填空題（每小題4分，共32分）

1.已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，則∠B的度數(shù)是（）

A．30°B．35°C．40°D．50

【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，故選：A．

在下列條件中：

①∠A+∠B=∠C；

②∠A：∠B：∠C=1：2：3；

③∠A=2∠B=3∠C；

④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【解析】①∠A+∠B=∠C，是直角三角形；

②∠A：∠B：∠C=1：2：3，是直角三角形；

③∠A=2∠B=3∠C，不是直角三角形；

④∠A=∠B=∠C，不是直角三角形，是等邊三角形，

能確定△ABC是直角三角形的條件有2個，

故選：B．

3.如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C＝40°，則∠1的度數(shù)是（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠CED，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．

【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，

則∠CED＝90°﹣40°＝50°，

∵l∥AB，

∴∠1＝∠CED＝50°，

故選：C．

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．

4.在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝40°，則△ABC的形狀是（）

A．等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出第三個角即可作出判斷．

【解答】解：∵∠C＝180﹣∠A﹣∠B＝180﹣50﹣40＝90°，

∴△ABC是直角三角形．

故選：C．

【點評】本此題考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°是解決問題的關(guān)鍵．

5.在下列條件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，再根據(jù)已知的條件逐個求出∠C的度數(shù)，即可得出答案．

【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴2∠C＝180°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，∴①正確；

②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠C180°＝90°，

∴△ABC是直角三角形，∴②正確；

③∵∠A＝90°﹣∠B，

∴∠A+∠B＝90°，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，∴③正確；

④∵∠A＝∠B∠C，

∴∠C＝2∠A＝2∠B，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠A+∠A+2∠A＝180°，

∴∠A＝45°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，∴④正確；

故選：D．

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出每種情況的∠C的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中．

6.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．下列結(jié)論中，不一定成立的是（）

A．∠A與∠1互余B．∠B與∠2互余C．∠A＝∠2D．∠1＝∠2

【分析】A、B根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)判斷；

C、根據(jù)同角的余角來找等量關(guān)系；

D、分∠A＝∠B和∠A≠∠B兩種情況來討論．

【解答】解：A、在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，所以∠A與∠1互余，正確；

B、在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，所以∠B與∠2互余，正確；

C、∵∠A+∠1＝90°，∠1+∠2＝90°，

∴∠A＝∠2，正確；

D、當(dāng)∠A＝∠B時，AC＝BC，所以CD既是∠C的角平分線，也是斜邊上的高與中線，所以∠1＝∠2，正確；當(dāng)∠A≠∠B時，∠1≠∠2，錯誤；

故選：D．

【點評】解答本題時，主要利用了直角三角形中兩個銳角互余的性質(zhì)．

7.給定下列條件，不能判定三角形是直角三角形的是（）

A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．∠A+∠B＝∠C

C．∠A∠B∠CD．∠A＝2∠B＝3∠C

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出最大角，然后選擇即可．

【解答】解：A、最大角∠C180°＝90°，是直角三角形，不符合題意；

B、最大角∠C＝180°÷2＝90°，是直角三角形，不符合題意；

C、設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，

所以，x+2x+3x＝180°，

解得x＝30°，

最大角∠C＝3×30°＝90°，是直角三角形，不符合題意；

D、設(shè)∠A＝x，則∠Bx，∠Cx，

所以，xxx＝180°，

解得x＝180°90°，是鈍角三角形，符合題意．

故選：D．

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，求出各選項中的最大角是解題的關(guān)鍵．

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，則∠DAE的度數(shù)為（）度．

A．23B．28C．52D．56

【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得∠CAB+∠B＝90°，∠BDE+∠B＝90°，可得∠CAB＝∠BDE，根據(jù)角平分線的定義即可求出∠DAE的度數(shù)．

【解答】解：∵∠C＝90°，

∴∠CAB+∠B＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴∠BDE+∠B＝90°，

∴∠CAB＝∠BDE，

∵∠BDE＝56°，

∴∠CAB＝56°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠DAE∠CAB＝28°，

故選：B．

【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義等，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．

填空題（每小題4分，共20分）

9.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足為D．若∠A=32°，則∠BCD=__________°．

【解析】∵∠C=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠BCD=∠A=32°，

故答案為：32．

10.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=60°，那么∠A=__________°．

【解析】∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵∠A﹣∠B=60°，

∴2∠A=150°，

∴∠A=75°．

故答案為：75．

11.具備下列條件的：；；；其中，不是直角三角形的是填序號．

【答案】

【解析】

【分析】

本題考查的是直角三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)有一個角是的三角形是直角三角形結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理逐個判斷即可．

【解答】

解：，

，，

，

，，，故是直角三角形；

，

，

，

，，，故是直角三角形；

，

，

，

，故是直角三角形；

由可得，則是鈍角三角形，不是直角三角形．

故答案為：．

12.如圖，將一張直角三角形紙片剪去直角后，得到一個四邊形，則。

【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理．要會熟練運用內(nèi)角和定理求角的度數(shù)．

根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可求解．

【解答】

解：如圖，

根據(jù)題意可知，

，

．

故答案為．

13.如圖，把一副直角三角板如圖那樣擺放在平行直線AB，CD之間，∠EFG＝30°，∠MNP＝45°．則：①EG∥PM；②∠AEG＝45°；③∠BEF＝75°；④∠CMP＝∠EFN．其中正確的序號是__________

【分析】由直角板可得∠EGF＝∠MPN＝90°，可得∠GPM＝90°，即可判斷①，過點F作FQ∥AB，由∠EFG＝30°可得∠EFN＝150°，由平行線的性質(zhì)可得∠NFQ＝∠MNP＝45°，可得∠EFQ＝105°，再由平行線的性質(zhì)可得∠BEF＝75°，即可判斷③，由③即可判斷②，利用∠PMN可得∠CMP，即可判斷④．

【解答】解：如圖，過點F作FQ∥AB，

∵∠EGF＝∠MPN＝90°，

∴∠GPM＝90°，

∴EG∥PM，

∴①正確；

∵AB∥CD，

∴FQ∥CD，

∵∠EFG＝30°，∠MNP＝45°，

∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，∠NFQ＝∠MNP＝45°，

∴∠EFQ＝∠EFN﹣∠NFQ＝105°，

∵FQ∥AB，

∴∠BEF＝180°﹣∠EFQ＝75°，

∴③正確；

∵∠FEG＝60°，

∴∠AEG＝180°﹣∠BEF﹣∠FEG＝45°，

∴②正確；

∵∠MNP＝45°，

∴∠PMN＝45°，

∴∠CMP＝180°﹣∠PMN＝135°，

∴∠CMP≠∠EFN，

∴④錯誤；

綜上，正確的有①②③，

【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．

解答題（共6小題，48分）

14.（7分）如圖△ABC中，∠A=90°，點D在AC邊上，DE∥BC，若∠ADE=155°，求∠B的度數(shù)．

【解析】∵∠ADE=155°，∠ADE+∠CDE=180°，

∴∠CDE=25°．

∵DE∥BC，

∴∠C=∠CDE=25°．

在△ABC中，∠A=90°，

∴∠B+∠C=90°，

∴∠B=90°﹣25°=65°

15.（9分）如圖所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH與AC相交于點E，仔細(xì)觀察圖形，回答以下問題：

（1）圖中有幾個直角三角形？

（2）∠AEH和∠B是什么關(guān)系？為什么？

（3）若∠B＝70°，∠A和∠CED各是多少度？

【分析】（1）根據(jù)直角三角形定義，從直角頂點考慮寫出即可；

（2）根據(jù)同角的余角相等解答；

（3）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A，然后求出∠AEH，再根據(jù)對頂角相等求出∠CED．

【解答】解：（1）∵DH⊥AB于H，

∴△AEH和△BDH是直角三角形，

∵AC⊥BD于C，

∴△ABC和△CDE是直角三角形，

所以，直角三角形有四個；

（2）∵DH⊥AB，AC⊥BD，

∴∠AEH+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，

∴∠AEH＝∠B；

（3）∵AC⊥BD，

∴∠ACB＝90°，

∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，

由（2）可知，∠AEH＝∠B＝70°，

所以，∠CED＝∠AEH＝70°（對頂角相等）．

【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，以及直角三角形的定義，是基礎(chǔ)題，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．

16.（7分）如圖，已知D是線段BC的延長線上一點，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求證：△AOE是直角三角形．

【分析】根據(jù)平角的概念求出∠ACB＝90°，根據(jù)對頂角相等、直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．

【解答】證明：∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，

∴∠ACD＝∠ACB＝90°，

∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，

∴∠AOE＝∠B，

∵∠BAC+∠B＝90°，

∴∠BAC+∠AOE＝90°，

∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．

【點評】本題考查的是直角三角形的概念和性質(zhì)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．

17.（8分）如圖，在直角中，，，于，是的角平分線．

求的度數(shù)；

若，求證：．

【答案】解：，，

．

平分，，

，

．

證明：，，

，

．

18（8分）如圖，有一塊直角三角尺放置在上，恰好三角尺的兩條直角邊，分別經(jīng)過點，．中，，則__________，．

如圖，改變直角三角尺的位置，使三角尺的兩條直角邊，仍然分別經(jīng)過點，，那么的大小是否變化若變化，請舉例說明若不變化，請求出的大?。?/p>

【答案】解：

不變化．

，

．

，

．

．

19.（9分）把直角三角形OAB與直角三角形O'CD如圖1放置，直角頂點O與O′重合在一起，點D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．現(xiàn)將△O'CD固定，△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α（0°≤α＜90°），OB與DC交于點E．

（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，若OA∥CD時，則α＝；若AB∥OC時，則α＝；請寫出證明過程．

（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△ODE有兩個角相等時，α＝；請說明理由．

【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)求解即可；

（2）分兩種情形：當(dāng)∠D＝∠DOE＝45°時，當(dāng)∠DOE＝∠DEO＝67.5°時，分別求解．

【解答】解：（1）當(dāng)OA∥CD時，

∠AOD＝∠D＝45°，

∴α＝45°，

當(dāng)AB∥OC時，

∠AOD+∠A＝90°，

∴∠AOD＝30°，

∴α＝60°，

故答案為：45°，60°．

（2）當(dāng)∠D＝∠DOE＝45°時，α＝45°，

當(dāng)∠DOE＝∠DEO＝67.5°時，α＝67.5°，

故答案為：45°或67.5°．

【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會由分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．

拓展培優(yōu)*沖刺滿分

閱讀并填空將三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（點P在△ABC內(nèi)），如圖1所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經(jīng)過點B和點C．我們來探究：∠ABP與∠ACP是否存在某種數(shù)量關(guān)系．

（1）特例探索：

若∠A＝50°，則∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠