人教A版2023選修三7.5正態(tài)分布含解析

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（共19題）

一、選擇題（共10題）

已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，若隨機(jī)變量，則等于

A．B．C．D．

已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則

A．B．C．D．

已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則圖中陰影部分的面積為

（附：若隨機(jī)變量，則，）

A．B．C．D．

已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則實數(shù)的值為

A．B．C．D．

已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則

A．，B．，

C．，D．，

已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于

A．B．C．D．

通過大數(shù)據(jù)分析，每天從岳陽去長沙的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量，且，則一天中從岳陽去長沙的旅客人數(shù)不超過的概率為（若，則，，）

A．B．C．D．

某單位有名員工，工作之余，工會積極組織員工參與“日行萬步”健身活動．經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，得到全體員工近段時間日均健步走步數(shù)（單位：千步）的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)直方圖可以認(rèn)為，該單位員工日均健步走步數(shù)近似服從正態(tài)分布，計算得其方差為．由此估計，在這段時間內(nèi)，該單位員工中日均健步走步數(shù)在千步至千步（含千步和千步）的人數(shù)約為

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表．

A．B．C．D．

已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率分別約為，和．某大型國有企業(yè)為名員工定制工作服，設(shè)員工的身高（單位：）服從正態(tài)分布，則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的工作服大約要定制

A．套B．套C．套D．套

設(shè)隨機(jī)變量，若，，則

A．B．C．D．

二、填空題（共5題）

設(shè)隨機(jī)變量，且，則．

已知正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為，則總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別是，．

已知隨機(jī)變量，且，則．

某鎮(zhèn)農(nóng)民年收入服從元，元的正態(tài)分布，則該鎮(zhèn)農(nóng)民年收入在元間人數(shù)的百分比約為．

對一個物理量做次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果．已知最后結(jié)果的誤差，為使誤差在內(nèi)的概率不小于，至少要測量次（若，則）．

三、解答題（共4題）

已知隨機(jī)變量，且其正態(tài)曲線在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且．

(1)求參數(shù)，的值；

(2)求．

已知某種零件的尺寸（單位：）服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布密度曲線在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且．

(1)求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式；

(2)求尺寸在（不包括，包括）的零件數(shù)大約占總數(shù)的百分比．

某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了人的體重數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率．

(1)估計這人體重數(shù)據(jù)的平均值和方差；（結(jié)果取整數(shù)，同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布，若，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的．試判斷該校學(xué)生的體重是否正常，并說明理由．

某種規(guī)格的矩形瓷磚（），根據(jù)長期檢測結(jié)果，各廠生產(chǎn)的每片瓷磚質(zhì)量都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量在之外的瓷磚作為廢品直接回爐處理，剩下的稱為正品．

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則；，，．

(1)從甲陶瓷廠生產(chǎn)的該規(guī)格瓷磚中抽取片進(jìn)行檢查，求至少有片是廢品的概率；

(2)若規(guī)定該規(guī)格的每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計算方式為：設(shè)矩形瓷磚的長與寬分別為，，則“尺寸誤差”為，按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，其中“優(yōu)等”、“一級”、“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍分別是，，（正品瓷磚中沒有“尺寸誤差”大于的瓷磚），每片價格分別為元、元、元．現(xiàn)分別從甲、乙兩廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚中隨機(jī)抽取片瓷磚，相應(yīng)的“尺寸誤差”組成的樣本數(shù)據(jù)如下：（甲廠瓷磚的“尺寸誤差”頻數(shù)表）

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率．

（?。┯浖讖S該種規(guī)格的片正品瓷磚賣出的錢數(shù)為（元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

（ⅱ）由如圖可知，乙廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚只有“優(yōu)等”、“一級”兩種，求片該規(guī)格的正品瓷磚賣出的錢數(shù)不少于元的概率．

答案

一、選擇題（共10題）

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

【解析】根據(jù)題意，隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布，得，，

則對稱軸為，且，

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，可得陰影部分的面積

4.【答案】A

【解析】因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，

所以．由．可知．

5.【答案】D

【解析】正態(tài)分布密度函數(shù)為，則對應(yīng)函數(shù)圖象的對稱軸為直線．

因為正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，

所以，

因為越小曲線越“瘦高”，

所以函數(shù)中的比函數(shù)中的要小，函數(shù)和的值相等．故選D．

6.【答案】B

7.【答案】D

【解析】因為，

所以，，又，

所以由正態(tài)曲線的對稱性可知，

則．

8.【答案】D

【解析】由頻率分布直方圖估計該單位員工日均健步走步數(shù)的均值

設(shè)日均健步走步數(shù)為（單位：千步），則，

所以，則，，

所以，

因為，

所以日均健步走步數(shù)在千步至千步（含千步和千步）的人數(shù)約為．

9.【答案】B

【解析】設(shè)身高為，則，

所以，

工作服大約要定制套．

10.【答案】C

【解析】由于隨機(jī)變量，滿足，，

因此，

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知．

二、填空題（共5題）

11.【答案】

【解析】由隨機(jī)變量，可得，

又，

所以．

12.【答案】；

【解析】因為正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為，

所以總體的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為．

13.【答案】

【解析】因為隨機(jī)變量，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，

因此有，．

14.【答案】

【解析】設(shè)表示該鎮(zhèn)農(nóng)民的年收入，則．

由，

得．

故此鎮(zhèn)農(nóng)民年收入在元間的人數(shù)的百分比約為．

15.【答案】

【解析】由題意知，且，

所以，

解得．

三、解答題（共4題）

16.【答案】

(1)由于正態(tài)曲線在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，即參數(shù)．

又，結(jié)合，可知．

(2)因為，

因為曲線關(guān)于對稱，

所以，

所以．

17.【答案】

(1)因為正態(tài)分布密度曲線在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于直線對稱，且在處達(dá)到峰值，

所以．

又，

所以，

故正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式為．

(2)由，，得，，

所以尺寸在（不包括，包括）的零件數(shù)大約點總數(shù)的．

18.【答案】

(1)．

(2)由題圖可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，其體重在的概率為．

隨機(jī)抽取人，相當(dāng)于重伯努利試驗，隨機(jī)變量服從二項分布，

，

，

，

，

所以的分布列為．

(3)由題意知服從正態(tài)分布，

則，

所以該校學(xué)生的體重是正常的．

19.【答案】

(1)由正態(tài)分布可知，抽取的一片瓷磚的質(zhì)量在之內(nèi)的概率為，則這片質(zhì)量全都在之內(nèi)（即沒有廢品）的概率為；

則這片中至少有片是廢品的概率為．

(2)（?。┯梢阎獢?shù)據(jù)，用這個樣本的頻率分布估