概率論 第六章

概率論第六章第1頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第六章樣本及抽樣分布引言隨機樣本抽樣分布第2頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月本章轉入課程的第二部分數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計的特點是應用面廣，分支較多.社會的發(fā)展不斷向統(tǒng)計提出新的問題.計算機的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強有力的技術支持，數(shù)理統(tǒng)計與計算機的結合是必然的發(fā)展趨勢.引言第3頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月學習統(tǒng)計無須把過多時間化在計算上，可以更有效地把時間用在基本概念、方法原理的正確理解上.

國內(nèi)外著名的統(tǒng)計軟件包：SAS，SPSS，MATLAB,STAT等，都可以讓你快速、簡便地進行數(shù)據(jù)處理和分析.第4頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關于錢糧、戶口、地震、水災等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計的工作.但是當時的統(tǒng)計，只是對有關事實的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.第5頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月到了十九世紀末二十世紀初，隨著近代數(shù)學和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計學這門學科.數(shù)理統(tǒng)計學是一門應用性很強的學科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議.第6頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月目前地震預測研究有3種不同的思路:①地震地質(zhì)。②地震統(tǒng)計。對過去已發(fā)生的地震，運用數(shù)理統(tǒng)計方法，從中發(fā)現(xiàn)地震發(fā)生的規(guī)律，特別是時間序列的規(guī)律，根據(jù)過去以推測未來。此法把地震問題歸結為數(shù)學問題。因需要對大量地震資料作統(tǒng)計，研究的區(qū)域往往過大，所以判定地震的地點有困難，而且外推常常不準確。③地震前兆。第7頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)理統(tǒng)計不同于一般的資料統(tǒng)計，它更側重于應用隨機現(xiàn)象本身的規(guī)律性進行資料的收集、整理和分析.由于大量隨機現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而從理論上講，只要對隨機現(xiàn)象進行足夠多次觀察，被研究的隨機現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來.但客觀上只允許我們對隨機現(xiàn)象進行次數(shù)不多的觀察試驗，也就是說,我們獲得的只是局部觀察資料.第8頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月在概率論中所研究的隨機變量，它的分布都是假設已知的,在這一前提下去研究它的性質(zhì)、特點和規(guī)律性,例如求出它的數(shù)字特征,討論隨機變量函數(shù)的分布,介紹常用的各種分布等。而在數(shù)理統(tǒng)計中的隨機變量，它的分布是未知的，或者不完全知道，人們通過對所研究的隨機變量進行重復、獨立的觀察，得到許多觀察值，對這些數(shù)據(jù)進行分析，從而對隨機變量的分布作出種種判斷。第9頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

現(xiàn)實世界中存在著形形色色的數(shù)據(jù),分析這些數(shù)據(jù)需要多種多樣的方法.

因此,數(shù)理統(tǒng)計中的方法和支持這些方法的相應理論是相當豐富的.概括起來可以歸納成兩大類:

參數(shù)估計──根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對分布的未知參數(shù)進行估計.

假設檢驗──根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對分布的未知參數(shù)進行檢驗.

它們構成了統(tǒng)計推斷的兩種基本形式.這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計的每個分支.第10頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1隨機樣本總體和樣本第11頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月在數(shù)理統(tǒng)計中，不是對所研究的對象全體(稱為總體)進行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進行觀察獲得數(shù)據(jù)(抽樣)，并通過這些數(shù)據(jù)對總體進行推斷.數(shù)理統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體”的特征.第12頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

實際上,我們真正關心的并不是研究對象本身,而是其某項數(shù)量指標.

比如某家工廠的一種產(chǎn)品的使用壽命這樣一項數(shù)量指標.1.總體某批燈泡的壽命該批燈泡壽命的全體就是總體國產(chǎn)轎車每公里的耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體第13頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月對研究對象上的某項數(shù)量指標進行觀察。試驗的全部可能的觀察值稱為總體.

這些值不一定各不相同(可能重復)，數(shù)目上也不一定有限.

每一個可能的觀察值稱為個體.

總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量.總體有限總體無限總體第14頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月例1研究某地區(qū)N個農(nóng)戶的年收人.

在上面的例子中,總體是很直觀的,是看得見摸得著的.但是客觀情況并不總是這樣.注意總體指他們的年收入的N個數(shù)字.例2用一把尺子去量一個物體的長度.總體應該理解為一切所有可能的測量值的全體.第15頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

對一個總體,如果我們用X表示它的數(shù)量指標,那么X的值對不同的個體取不同的值.因此,如果我們隨機地抽取個體,則X的值也就隨著抽取的個體的不同而不同.

所以X是一個隨機變量!2、總體的分布既然總體是隨機變量X,自然就有其概率分布.我們把X的分布稱為總體的分布.

總體的特性是由總體分布來刻畫的.

因此,我們常把總體和總體分布視為同義語.第16頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

例l中，若農(nóng)戶年收入以萬元計,

假定N戶中收入X為以下幾種取值:0.5,0.8,l,1.2和1.5.

取這些值的農(nóng)戶個數(shù)分別為：n1,n2,n3,n4,n5,(這里n1+n2+n3+n4+n5=N).例3(例l續(xù))

則總體X的分布為離散型分布,其分布律為:第17頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月例如:研究某批燈泡的壽命時，關心的數(shù)量指標就是壽命，那么，此總體就可以用隨機變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.

壽命X可用指數(shù)分布來刻劃鑒于此，常用隨機變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體.

如說總體X或總體F(x).某批燈泡的壽命…總體

壽命總體是指數(shù)分布總體第18頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

類似地，在研究某地區(qū)中學生的營養(yǎng)狀況時，若關心的數(shù)量指標是身高和體重，我們用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.第19頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月總體分布一般是未知,或只知道是包含未知參數(shù)的分布,為推斷總體分布及各種特征,按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗,以獲得有關總體的信息,這一抽取過程稱為“抽樣”,所抽取的部分個體稱為樣本.樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.3.樣本從國產(chǎn)轎車中抽5輛進行耗油量試驗樣本容量為5第20頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月當n次觀察一經(jīng)完成,得到n個具體的數(shù)x1,x2,…,xn,稱為樣本X1,…,Xn的一次觀察值,簡稱樣本值

.1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個與所考察的總體有相同的分布.2.獨立性：X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量.對總體X在相同的條件下,進行n次重復、獨立觀察,其結果依次記為X1,X2,…,Xn,這樣得到的隨機變量X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個簡單隨機樣本,與總體隨機變量具有相同的分布.n是樣本的容量.這種抽樣,叫作“簡單隨機抽樣”,其特點：第21頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月對有限總體,采用放回抽樣可得簡單隨機樣本,但放回抽樣使用起來不方便,當個體總數(shù)N比要得到的樣本的容量n大得多時,在實際中可將不放回抽樣近似當作放回抽樣來處理.對無限總體,因抽取一個個體不影響它的分布,所以總是采用不放回抽樣.第22頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：設X是具有分布函數(shù)F的隨機變量，若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函數(shù)的、相互獨立的隨機變量，則稱X1,X2,…,Xn為從分布函數(shù)F(或總體F、或總體X)得到的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱樣本，它們的觀察值x1,x2,…,xn稱為樣本值，又稱為X的n個獨立的觀察值.

簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時，若不特別說明，就指簡單隨機樣本.第23頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

既然樣本X1,X2,

,Xn

被看作隨機變量,自然就需要研究它們的分布．4.樣本的分布=F(x1)F(x2)…F(xn)

若總體的分布函數(shù)為F(x)、概率密度函數(shù)為f(x),則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為其簡單隨機樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為=f(x1)f(x2)…f(xn)

第24頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

假設某大城市居民的收入服從正態(tài)分布N(

,

2),其概率密度函數(shù)為:

例5設X1,X2,

,Xn是來自總體的一個樣本.則Xi～N(

,

2),i＝1,2,,n.于是樣本X1,X2,

,Xn的聯(lián)合概率密度為第25頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學生中抽取10人測量身高,得到10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機變量取的值而見不到隨機變量.4.總體、樣本、樣本值的關系第26頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月總體（理論分布）？樣本樣本值統(tǒng)計是從手中已有的資料—樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質(zhì).總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁第27頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月休息片刻繼續(xù)下一講第28頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2抽樣分布統(tǒng)計量與經(jīng)驗分布函數(shù)統(tǒng)計三大抽樣分布幾個重要的抽樣分布定理課堂練習布置作業(yè)第29頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進行“加工”，這就要構造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.1.統(tǒng)計量這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量.它是完全由樣本決定的量.一、統(tǒng)計量與經(jīng)驗分布函數(shù)第30頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：設X1,…,Xn

是來自總體X的一個樣本,g(X1,…,Xn

)是X1,…,Xn的函數(shù),若g中不含未知參數(shù),則稱g(X1,…,Xn)是總體X的一個統(tǒng)計量.設X1,…,Xn

是來自總體X的一個樣本,x1,…,xn

是樣本X1,…,Xn的一個觀察值,則

g(x1,…,xn

)是統(tǒng)計量g(X1,…,Xn)的觀察值.例：設X1,…,Xn

是總體X的一個樣本,X~N(m,s2),令T=X1-

,若

為已知的,則T為統(tǒng)計量;若

未知,T就不是統(tǒng)計量.第31頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個常用的統(tǒng)計量及其觀察值：1.樣本均值2.樣本方差樣本標準差它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息第32頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月3.樣本k階原點矩4.樣本k階中心矩它反映了總體k階矩的信息它反映了總體k階中心矩的信息第33頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計量的觀察值第34頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月結論:若總體X的k階原點矩存在,則當n趨于∞時證明:辛欽定理及依概率收斂的序列的性質(zhì).第七章矩估計法的理論根據(jù)第35頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)驗分布函數(shù)——是與總體X的分布函數(shù)F(x)相應的統(tǒng)計量.設X1,X2,…,Xn,是總體F的一個樣本,令S(x)表示X1,X2,…,Xn中不大于x的隨機變量的個數(shù).定義經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)為：對于一個樣本值x1,x2,…,xn,經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)的觀察值仍記為Fn(x).

2.經(jīng)驗分布函數(shù)第36頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：設總體F具有一個樣本1,2,3,則經(jīng)驗分布函數(shù)F3(x)的觀察值為例2：若樣本值為1,1,2,則經(jīng)驗分布函數(shù)F3(x)的觀察值為第37頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地,設x1,x2,…,xn,是總體F的一個容量為n的樣本值,要求經(jīng)驗分布函數(shù)的觀察值.首先將x1,x2,…,xn,按由小到大的順序排列,并重新編號,設為x(1)≤x(2)≤…≤x(n),則經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)的觀察值為,對不同的樣本值,得到的經(jīng)驗分布函數(shù)不同.但當樣本容量較大時,經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)是總體分布函數(shù)F(x)的良好近似.第38頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月

統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計中常用到來自正態(tài)總體的三個分布：

2—分布、t—分布和F—分布。第39頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月1.定義:

設X1,X2,…,Xn相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為

n

的

2分布.二、三大抽樣分布記為

2—分布第40頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2—分布的密度函數(shù)f(y)曲線第41頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月3.分位點設X

~2(n)，若對于

：0<

<1，存在滿足則稱為2(n)分布的上

分位點。第42頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月4.

性質(zhì)：設X1,X2,…,Xn,是來自正態(tài)總體N(

,

2)的一個樣本,則

當n=25時，通過查表1)求P{2>34.382}的值;2)若P{2>b}=0.975,求b的值.b.分布可加性若X

~

2(n1),Y~

2(n2),X,Y相互獨立,則

X+Y~

2(n1+n2).第43頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月c.期望與方差

若X~

2(n)，則E(X)=n，D(X)=2n.d．若X~

2(n)，則當n充分大時,近似正態(tài)分布N(0,1).第44頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月定義若X~N(0,1),Y~

2(n),X與Y獨立，則

t(n)稱為自由度為n的t—分布.t

—分布第45頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月t(n)的概率密度為第46頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2.性質(zhì)第47頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月分位點設t～t(n),若對

:0<

<1,存在t

(n)>0,

滿足P{t>t

(n)}=

，則稱t

(n)為

t(n)的上

分位點.第48頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月注:第49頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月定義若U

~

2(n1)，V~

2(n2)，U，V獨立，則

稱為第一自由度為n1，第二自由度為n2的F—分布。F

—分布注:

若F~F(n1,n2),則1/F~F(n2,n1).第51頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月F—分布的概率密度函數(shù)若F~F(n1,n2)，F(xiàn)的概率密度為第52頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

F—分布的分位點對于

：0<

<1，若存在F

(n1,n2)>0，滿足P{F>F

(n1,n2)}=

,則稱F

(n1,n2)為F(n1,n2)的上

分位點；注：第53頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月三、正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的分布設總體